试卷1-数学组卷-自助组卷

导出试卷打印试卷试卷白板

试卷1

数学

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A = [\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{array}]

, 则

| A^{*} | =

A.

-17

B.

C.

D.

-13

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

2. 设有向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}; β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}; γ

, 如果

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) < r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}), r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, γ) = r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}, γ)

则下列说法中错误的是

A.

向量

γ

不能被

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性表示, 但能被

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}

线性表示

B.

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, γ) = r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})

C.

如果向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关, 则向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}

线性无关

D.

如果向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

能被向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}

线性表示, 则向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}

能被

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, γ

线性表示

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

3. 设矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 3 & 1 & - 2 \\ 2 & - 5 & - 2 & - 2 \\ 0 & - 4 & 5 & 1 \\ - 3 & 9 & - 6 & 7 \end{array}), M_{3 j}

是

A

的第 3 行第

j

列元素的余子式

(j = 1, 2, 3, 4)

, 则

M_{31} + 3 M_{32} - 2 M_{33} + 2 M_{34} =

A.

B.

C.

-2

D.

-3

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

4. 设

b = (3, 2)^{T}

, 线性方程组

A_{2 \times 2} x = b

有通解

k (- 2, 1)^{T} + (3, - 4)^{T}

, 则

β = (5

- 10)^{T}

是下列哪个方程组的解

A.

A x = (\begin{matrix} 5 \\ - 10 \end{matrix})

B.

A x = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \end{matrix})

C.

A x = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})

D.

A x = (\begin{array}{l} 9 \\ 6 \end{array})

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

5. 设 3 阶实矩阵

A

的特征向量为

α_{1} = (- 1, 1, 0)^{T}, α_{2} = (1, 1, 1)^{T}, α_{3} = (- 1, - 1

2)^{T}

, 则

A

必为

A.

可逆矩阵.

B.

正交矩阵.

C.

对称矩阵.

D.

正定矩阵.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

6. 设实对称矩阵

A

与

B = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \end{array})

合同,

A^{*}

是

A

的伴随矩阵, 则二次型

x^{T} A^{*} x

的规范形为

A.

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

B.

- y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + y_{3}^{2}

C.

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}

D.

- y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

7. 设

A, B

为

n

阶可逆矩阵, 且满足

A B = A + B

, 则下面结论:
(1)

A + B

可逆;(2)

A B = B A

; (3)

A - E

可逆; (4)

(B - E) x = 0

有非零解.
正确的共有

A.

1 个.

B.

2 个.

C.

3 个.

D.

4 个.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

8. 设

A, B

为

n

阶可逆矩阵, 且满足

A B = A + B

, 则下面结论:
(1)

A + B

可逆;(2)

A B = B A

; (3)

A - E

可逆; (4)

(B - E) x = 0

有非零解.
正确的共有

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

9. 设三维列向量

α, β

均为单位向量, 且

α^{T} β = 0, A = 2 α α^{T} + β β^{T}

, 则二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x

的规范形为

A.

y_{1}^{2} + y_{2}^{2}

B.

y_{1}^{2} - y_{2}^{2}

C.

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

D.

y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

10. 设线性方程组

{\begin{cases} k x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + k x_{2} + x_{3} = 0 \\ 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0 \end{cases}

有零解, 则下列说法正确的是

A.

k

必定为 0

B.

k

必定为 1

C.

k

为 0 或 1

D.

这样的

k

值不存在

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

11. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为

n (n ⩾ 3)

维列向量, 关于向量组 (I)

k α_{1} + α_{2}, k α_{2} + α_{3}, k α_{3} + α_{1}

和 (II)

- k α_{1} + α_{2}, - α_{2} + α_{3}, k α_{3} + α_{1}

, 则下列结论正确的是

A.

向量组 (I) 必线性无关

B.

向量组 (II) 必线性无关

C.

若向量组 (I) 线性无关,则向量组 (II)也线性无关

D.

若向量组 (II) 线性无关, 则向量组 (I) 也线性无关

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

12. 设

A_{i}, (i = 1, 2)

均为

n

阶对称阵, 且

A = (\begin{array}{cc} A_{1} & E \\ E & A_{2} \end{array})

为正定矩阵, 则下列说法不正确的是

A.

A_{1}

正定

B.

A_{2}

正定

C.

A_{2} - A_{1}^{- 1}

正定

D.

| A | = | A_{2} - A_{1}^{- 1} |

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

13. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为

n (n ⩾ 3)

维列向量, 关于向量组 (I)

k α_{1} + α_{2}, k α_{2} + α_{3}, k α_{3} + α_{1}

和 (II)

- k α_{1} + α_{2}, - α_{2} + α_{3}, k α_{3} + α_{1}

, 则下列结论正确的是

A.

向量组 (I) 必线性无关

B.

向量组 (II) 必线性无关

C.

若向量组 (I) 线性无关, 则向量组 (II) 也线性无关

D.

若向量组 (II) 线性无关,则向量组 (I) 也线性无关

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

14. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关,

β_{1}

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示,

β_{2}

不能

α_{1}, α_{2}, α_{3}

由线性表示, 则对于任意常数

k

必有

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}

线性无关

B.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}

线性相关

C.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} + k β_{2}

线性无关

D.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} + k β_{2}

线性相关

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

15. 设向量组A:

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

可由向量组B:

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性表示, 则

A.

当

r < s

时，B组必线性相关

B.

当

r > s

时，B组必线性相关

C.

当

r < s

时, A组必线性相关

D.

当

r > s

时, A组必线性相关

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

16. 设

α_{1} = (1, - 1, 2, 4)^{T}, α_{2} = (0, 3, 1, 2)^{T}, α_{3} = (3, 0, 7, 14)^{T}, α_{4} = (1, - 2, 2, 0)^{T}

，

α_{5} = (2, 1, 5, 10)^{T}

, 则该向量组的最大无关组是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}, α_{4}

C.

α_{1}, α_{2}, α_{5}

D.

α_{1}, α_{2}, α_{4}, α_{5}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

17. 向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

线性无关的充分必要条件是

A.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

均不为零向量

B.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

中有一部分向量组线性无关

C.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

中任意两个向量的分量不对应成比例

D.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

中任意一个向量都不能由其余

r - 1

个向量线性表示

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

18. 下列矩阵中, 不能相似于对角矩阵的是

A.

A = [\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]

B.

B = [\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}]

C.

C = [\begin{array}{lll} 1 & - 2 & 1 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 1 & - 2 & 1 \end{array}]

D.

D = [\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 2 \\ 5 & - 3 & 3 \\ - 1 & 0 & - 2 \end{array}]

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

19. 下列命题中错误的是

A.

含有零向量的向量组是线性相关的;

B.

由 3 个 2 维向量组成的向量组是线性相关的;

C.

由单个非零向量组成的向量组是线性相关的:

D.

两个成比例的向量组成的向量组是线性相关的。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

20. 设

A x = 0

有基础解系

α_{1} = (1, 1, 2, 1)^{T}, α_{2} = (0, - 3, 1, 0)^{T}, B x = 0

有基础解系

β_{1} = (1, 3

0, 2)^{T}, β_{2} = (1, 2, - 1, a)^{T}

, 若

A x = 0

和

B x = 0

没有非零公共解, 则参数

a

满足的条件是

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

21. 设 3 阶矩阵

A

满足

| A | = \frac{1}{2}

, 则行列式

| (2 A)^{- 1} - (2 A)^{*} | =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

22. 设三阶矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \end{array})

, 三维列向量

α = (a, 1, 1)^{T}

已知

A α

与

α

线性相关, 则

a =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

23. 已知向量组

α_{1} = (1, 2, 3, 4)^{T}, α_{2} = (2, 3, 4, 5)^{T}, α_{3} = (3, 4, 5, 6)^{T}, α_{4} = (4, 5, 6, 7)^{T}

, 则该向量组的秩是

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

24. 已知

A

是 3 阶方阵, 特征值为

1, 2, 3

, 则

| A |

的元素

a_{11}, a_{22}, a_{33}

的代数余子式

A_{11}, A_{22}, A_{33}

的和

\sum_{i = 1}^{3} A_{i i} =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

25. 设

A

是 5 阶方阵, 满足

A^{5} = O

. 则

| A + 3 E | =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

三、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

26. 21. 设

A

为 2 阶矩阵,

P = (α, A α)

, 其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向荲.
(1) 证明

P

为可逆矩阵
(2) 若

A^{2} α + A α - 6 α = 0

, 求

P^{- 1} A P

, 并判断

A

是否相似于对角矩阵.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

27. 设向量

β = (b, 1, 1)^{T}

可由

α_{1} = (a, 0, 1)^{T}, α_{2} = (1, a - 1, 1)^{T}, α_{3} = (1, 0, a)^{T}

线性表示,且表示法不唯一, 记

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

.
( I ) 求

a, b

的值,并写出

β

由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

表示的线性表达式;
(II) 求一个可逆矩阵

P

, 使得

P^{- 1} A P = Λ

(

Λ

为对角矩阵).

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

28. 设有向量组

α_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}), α_{4} = (\begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array})

, 求向量组的秩和一个最大无关组, 并把其余向量用该最大无关组线性表示.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

29. 已知向量组 A:

α_{1} = (2, 1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (0, 1, 2, 2)^{T}, α_{3} = (- 2, 1, 2, 1)^{T}, α_{4} = (1, 3, 1, 2)^{T}

为

R^{4}

的一组基, 试求向量

β = (1, 1, 1, 1)^{T}

在

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

下的坐标.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

30. 讨论下列向量组的线性相关性

(3, - 1, 2, - 1)^{T}

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (x, 0, 1)^{T}, α_{3} = (0, 1, 1)^{T}

α_{1} = (1, 1, 3, 1)^{T}, α_{2} = (4, 1, - 3, 2)^{T}, α_{3} = (1, 0, - 1, 2)^{T}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

31. 求下列矩阵的列向量组的秩及一个罖大无关组

A = (\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 2 & 3 & 2 \\ - 2 & - 2 & - 1 & 3 & - 4 \\ - 1 & - 1 & 0 & 3 & - 2 \\ 0 & - 3 & 2 & 3 & - 3 \\ 2 & 3 & 3 & 4 & 5 \end{array})

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

32. 验证

α_{1} = (1, - 1, 0)^{T}, α_{2} = (2, 1, 3)^{T}, α_{3} = (3, 1, 2)^{T}

为

R^{3}

的一个基, 并求

^{α} = (1, 1, 1)^{T}

在这组基下的坐标.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

33.

n

阶可逆矩阵

A

有特征值

λ

, 对应的特征向量为

ξ

.
(1)证明

λ \neq 0

;
(2)求

A^{- 1}, A^{*}, E - A^{- 1}

的特征值和特征向量.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

34. 设

A

是

n

阶矩阵, 且满足

A^{2} = A

(此时

A

称为幂等矩阵).
(1)求

A

的特征值可能的取值;
(2)证明:

E + A

是可逆矩阵.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

35. 证明:

n

阶方阵

A

的任意两个不同特征值

λ_{1}, λ_{2}

对应的两个特征向量线性无关.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

36. 设

λ_{1}, λ_{2}

是

A

的两个不同的特征值,

ξ

是对应于

λ_{1}

的特征向量, 证明:

ξ

不是

λ_{2}

的特征向量(即一个特征向量不能属于两个不同的特征值).

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

37. 已知

ξ_{1}, ξ_{2}

是

A

的对应于

λ

的特征向量, 问

k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}

(

k_{1}, k_{2}

是任意常数) 是否属于

A

的对应于

λ

的特征向量?

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

38. 设

A

是 3 阶矩阵, 已知

| E + A | = 0, (3 E - A) x = 0

有非零解,

E - 3 A

不可逆, 问

A

是否相似于对角矩阵, 说明理由.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

他的试卷

试卷001 试卷000 试卷99 试卷98 试卷97

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与