一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 5 & 2\end{array}\right]$, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ -17
$\text{B.}$ 17
$\text{C.}$ 13
$\text{D.}$ -13
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s ; \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t ; \boldsymbol{\gamma}$, 如果
$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right) < r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right), r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t, \boldsymbol{\gamma}\right)
$$
则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 但能被 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示
$\text{B.}$ $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\text{C.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关
$\text{D.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 能被向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,4)$, 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -3
设 $\boldsymbol{b}=(3,2)^{\mathrm{T}}$, 线性方程组 $\boldsymbol{A}_{2 \times 2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有通解 $k(-2,1)^{\mathrm{T}}+(3,-4)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{\beta}=(5$, $-10)^{\mathrm{T}}$ 是下列哪个方程组的解
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}5 \\ -10\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}9 \\ 6\end{array}\right)$.
设 3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-1,-1$, $2)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 必为
$\text{A.}$ 可逆矩阵.
$\text{B.}$ 正交矩阵.
$\text{C.}$ 对称矩阵.
$\text{D.}$ 正定矩阵.
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right)$ 合同, $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{B.}$ $-y_1^2-y_2^2+y_3^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆;(2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解.
正确的共有
$\text{A.}$ 1 个.
$\text{B.}$ 2 个.
$\text{C.}$ 3 个.
$\text{D.}$ 4 个.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆;(2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解.
正确的共有
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 均为单位向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=0, \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$, 则二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2$.
$\text{B.}$ $y_1^2-y_2^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}k x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+k x_2+x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+x_3=0\end{array}\right.$ 有零解, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $k$ 必定为 0
$\text{B.}$ $k$ 必定为 1
$\text{C.}$ $k$ 为 0 或 1
$\text{D.}$ 这样的 $k$ 值不存在
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $n(n \geqslant 3)$ 维列向量, 关于向量组 (I) $k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, k \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 (II) $-k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 向量组 (I) 必线性无关
$\text{B.}$ 向量组 (II) 必线性无关
$\text{C.}$ 若向量组 (I) 线性无关,则向量组 (II)也线性无关
$\text{D.}$ 若向量组 (II) 线性无关, 则向量组 (I) 也线性无关
设 $\boldsymbol{A}_i,(i=1,2)$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $n(n \geqslant 3)$ 维列向量, 关于向量组 (I) $k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, k \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 (II) $-k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 向量组 (I) 必线性无关
$\text{B.}$ 向量组 (II) 必线性无关
$\text{C.}$ 若向量组 (I) 线性无关, 则向量组 (II) 也线性无关
$\text{D.}$ 若向量组 (II) 线性无关,则向量组 (I) 也线性无关
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, $\beta_1$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示, $\beta_2$ 不能 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 由线性表示, 则对于任意常数 $\mathrm{k}$ 必有
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \mathrm{k} \beta_1+\beta_2$ 线性无关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \mathrm{k} \beta_1+\beta_2$ 线性相关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性无关
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性相关
设向量组A: $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 可由向量组B: $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{\mathrm{s}}$ 线性表示, 则
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，B组必线性相关
$\text{B.}$ 当 $r>s$ 时，B组必线性相关
$\text{C.}$ 当 $r < s$ 时, A组必线性相关
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时, A组必线性相关
设 $\alpha_1=(1,-1,2,4)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(0,3,1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,0,7,14)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(1,-2,2,0)^{\mathrm{T}}$ ， $\alpha_5=(2,1,5,10)^{\mathrm{T}}$, 则该向量组的最大无关组是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4, \alpha_5$
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 均不为零向量
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中有一部分向量组线性无关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中任意两个向量的分量不对应成比例
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中任意一个向量都不能由其余 $r-1$ 个向量线性表示
下列矩阵中, 不能相似于对角矩阵的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lll}1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right]$
下列命题中错误的是
$\text{A.}$ 含有零向量的向量组是线性相关的;
$\text{B.}$ 由 3 个 2 维向量组成的向量组是线性相关的;
$\text{C.}$ 由单个非零向量组成的向量组是线性相关的:
$\text{D.}$ 两个成比例的向量组成的向量组是线性相关的。
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-3,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,3$, $0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,-1, a)^{\mathrm{T}}$, 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 没有非零公共解, 则参数 $a$ 满足的条件是
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$, 则行列式 $\left|(2 \boldsymbol{A})^{-1}-(2 \boldsymbol{A})^*\right|=$
设三阶矩阵 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$, 三维列向量 $\alpha=(\mathrm{a}, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 已知 $\mathrm{A} \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关, 则 $\mathrm{a}=$
已知向量组 $\alpha_1=(1,2,3,4)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,3,4,5)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,4,5,6)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(4,5,6,7)^{\mathrm{T}}$, 则该向量组的秩是
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵, 特征值为 $1,2,3$, 则 $|\boldsymbol{A}|$ 的元素 $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ 的代数余子式 $A_{11}, A_{22}, A_{33}$的和 $\sum_{i=1}^3 A_{i i}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 5 阶方阵, 满足 $\boldsymbol{A}^5=\boldsymbol{O}$. 则 $|\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=$
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
21. 设 $A$ 为 2 阶矩阵, $P=(\alpha, A \alpha)$, 其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向荲.
(1) 证明 $P$ 为可逆矩阵
(2) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$, 求 $P^{-1} A P$, 并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
设向量 $\boldsymbol{\beta}=(b, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=(a, 0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,0, a)^{\mathrm{T}}$ 线性 表示,且表示法不唯一, 记 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$.
( I ) 求 $a, b$ 的值,并写出 $\boldsymbol{\beta}$ 由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 表示的线性表达式;
(II) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ( $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角矩阵).
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -3 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_4=\left(\begin{array}{r}0 \\ 2 \\ -6 \\ 3\end{array}\right)$, 求向量组的秩和一个最大无关组, 并把其余向量用该最大无关组线性表示.
已知向量组 A: $\alpha_1=(2,1,0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(0,1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(-2,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(1,3,1,2)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbb{R}^4$ 的一组基, 试求向量 $\beta=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下的坐标.
讨论下列向量组的线性相关性 $(3,-1,2,-1)^{\mathrm{T}}$
1. $\alpha_1=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(\mathrm{x}, 0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$
2. $\alpha_1=(1,1,3,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(4,1,-3,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(1,0,-1,2)^{\mathrm{T}}$
求下列矩阵的列向量组的秩及一个罖大无关组
$$
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 2 & 3 & 2 \\
-2 & -2 & -1 & 3 & -4 \\
-1 & -1 & 0 & 3 & -2 \\
0 & -3 & 2 & 3 & -3 \\
2 & 3 & 3 & 4 & 5
\end{array}\right)
$$
验证 $\alpha_1=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,1,3)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,1,2)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的一个基, 并求 ${ }^\alpha=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在这组基下的坐标.
$n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda$, 对应的特征向量为 $\xi$.
(1)证明 $\lambda \neq 0$;
(2)求 $\boldsymbol{A}^{-1}, \boldsymbol{A}^*, \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值和特征向量.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ (此时 $\boldsymbol{A}$ 称为幂等矩阵).
(1)求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值可能的取值;
(2)证明: $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵.
证明: $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的任意两个不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 对应的两个特征向量线性无关.
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值, $\boldsymbol{\xi}$ 是对应于 $\lambda_1$ 的特征向量, 证明: $\boldsymbol{\xi}$ 不是 $\lambda_2$ 的特征向量(即一个特征向量不能属于两个不同的特征值).
已知 $\xi_1, \xi_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量, 问 $k_1 \xi_1+k_2 \xi_2$ ( $k_1, k_2$ 是任意常数) 是否属于 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量?
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 已知 $|\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}|=0,(3 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解, $\boldsymbol{E}-3 \boldsymbol{A}$ 不可逆, 问 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵, 说明理由.