一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k$
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
$\text{C.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
设 $A, B$ 为满足 $A B=0$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关
$\text{B.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关
$\text{D.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则矩阵 $A, B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 既不合同也不相似
设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k$, 必有
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
$\text{C.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 （ ） 个
①$B C A=E$
②$C A B=E$
③$C^* B^* A^*=E$
④${A}^T {C}^T {B}^T={E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中只能有一个为 $\mathbf{0}$
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $|A B|=0$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ 若 $|\boldsymbol{A B}|=0$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 或 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, $m < n, r(\boldsymbol{A})=m$, 以下选项中错误的是
$\text{A.}$ 存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$, 使得 $A Q=\left(\boldsymbol{E}_m \mid \boldsymbol{O}\right)$.
$\text{B.}$ 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P A}=\left(\boldsymbol{E}_m \boldsymbol{O}\right)$.
$\text{C.}$ 齐次线性方程组 $A x=0$ 有零解.
$\text{D.}$ 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实矩阵, 则 “ $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵” 是“ $\boldsymbol{A}$ 有 3 个相互正交的特征向量” 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件.
$\text{B.}$ 必要非充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 为方阵, $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ $A, B$ 为同阶方阵, 则 $(A B)^2=A^2 B^2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 为逆矩阵, 则 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶方阵, 则 $\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{M}_1=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\ -2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_2=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_3=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 2\end{array}\right)$, $\boldsymbol{M}_4=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{M}_1, \boldsymbol{M}_2, \boldsymbol{M}_3, \boldsymbol{M}_4$ 中不能与对角阵相似的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{M}_1$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{M}_2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{M}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{M}_4$
下列命题正确的个数为 ( ).
①设 $x$ 为 $n$ 维列向量, 且 $x^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=1$, 若 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-x \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$.
②$A_{n \times m}, B_{m \times n}, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 则 $B x=0$ 仅有零解.
③设向量组 I : $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由 II : $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示, 则当 $r>s$ 时, I 必线性 相关.
④设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵, 若 $A B=C$, 且 $B$ 可逆, 则 $C$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价.
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵$A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha $, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$
二、判断题 （共 5 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示, 但不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表示, 则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}, \beta$ 等价.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵, $B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 则 $R(A) < R(A B)$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若存在正整数 $k$ 使 $A^k=O$, 则 $A$ 的特征值只能是 0 .
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, $s \geq 3$, 则 $V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$ 的充分必要条件是 $V=\sum_{i=1}^s V_i$ 且 $\operatorname{dim} V=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} V_i$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, 则存在 $V$ 的真子空间 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ ( $s$ 为正整数), 使得 $V=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_s$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 23 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 3 阶行列式 $D$ 的第 2 行元素分别为 $1,2,-1$, 它们的余子式分别为 $1,-1,2$, 则$D=$
设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=r$, 则 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 的解集 $S$ 的最大无关组 $S_0$ 的秩 $R_{s_0}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则二次型 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A x}$ 的正惯性指数为
设 $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$, 且 $A^6=E, E$ 为 2 阶单位矩阵, 则 $A^{11}=$
设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$, 而且 $B=A^2+A-2 E$, 则 $|B|=$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 经过初等行变换化为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 选 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为最大无关组, 则 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示为 $\alpha_4=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个解向量, $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=$ 0 的基础解系中只有 1 个解向量, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right)=$
$$\text {设 } \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right), f(x)=x^2+x-2 \text { 及, 则 } f\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)=
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 是二阶矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}| < 0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 可对角化的 ________ 条件(充分、必要、充要);
设 $A=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$, 则 $|B|=$.
已知方阵 $A$ 满足 $A^2-3 A+2 E=0, E$ 为单位矩阵, 则 $(A+E)^{-1}=$
$A(2,-1,-1), B(1, a, 2), C(3,1,2)$ 以及 $D(1,0,1)$ 共面, 则 $a=$
在线性空间 $\mathrm{R}^{2 \times 2}$ 中, $\alpha_1=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \quad \alpha_2=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \alpha_4=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 是 一个基, 则向量 $\alpha=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ 在该基下的坐标为
设 $V$ 为次数小于 4 的实系数一元多项式的全体的线性空间, $V$ 上的线性 变换 $T$ 定义为: $\forall f(x) \in V, T(f(x))=f^{\prime \prime}(x)$, 求线性变换 $T$ 在基 $\left\{1, x, x^2, x^3\right\}$ 下的矩阵 $A$.
在殴氏空间 $\mathrm{R}^3$ 中, $\alpha_1=(1,0,0)^T, \alpha_2=(1,1,0)^T, \alpha_3=(1,1,1)^T$ 是一个基, 求 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的度量矩阵 $A$.
殴氏空间 $\mathrm{R}^2$ 中, 基 $\alpha_1, \alpha_2$ 下的度量矩阵为 $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right)$, 则向量 $2 \alpha_1+\alpha_2$ 与 向量 $\alpha_1-\alpha_2$ 的夹角 $\theta=$
在 3 维欧氏空间 $\mathbb{R}^3=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right): x, y, z \in \mathbb{R}\right\}$ (通常的内积)中建立了右手坐标系, 定义 旋转变换 $\rho$ : 旋转轴为起点在原点的向量 $(1,1,1)$, 旋转角为 $\frac{2 \pi}{3}$ (逆时针方向). 即 $\rho$ 把全体起 点在原点的向量绕轴转动 $\frac{2 \pi}{3}$.
(1) 求 $\rho$ 在 $\mathbb{R}^3$ 的标准基下的矩阵.
(2) 求 $\rho$ 的全部不变子空间.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 同为 $n$ 阶方阵.
(1) 证明: $\left(\begin{array}{cc}A B & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & B A\end{array}\right)$ 相似.
(2) 证明: $\boldsymbol{A B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 有相同的特征多项式.
线性空间 $E$ 上一个线性变换 $\varphi$ 称为半单的, 如果对 $\varphi$ 的每个不变子空间 $E_1 \subseteq E$, 都存在 $\varphi$ 的不变子空间 $E_2 \subseteq E$, 使得 $E=E_1 \oplus E_2$.
证明: 若 $\varphi$ 是线性空间 $E$ 上的半单变换, $E_1$ 是 $\varphi$ 的一个不变子空间, 则 $\varphi$ 限制在 $E_1$ 上也是 半单的.
向量 $\gamma$ 在 $\alpha_1=[1,0,1]^T, \alpha_2=[0,1,-1]^T, \alpha_3=[1,2,0]^T$ 下的坐标是 $[5,7,-4]^T$, 则 在 $\beta_1=[1,0,1]^T, \beta_2=[-1,1,1]^T, \beta_3=[1,-2,-2]^T$ 下的坐标是
多项式 $f(x)=2 x^4-3 x^3+2 x^2-1$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的标准分解式为