试卷001-数学组卷-自助组卷

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试卷001

数学

一、单选题（共 14 题），每题只有一个选项正确

1. 设非齐次线性方程组

A x = β_{1}

有解,

A x = β_{2}

无解, 对于任意常数

k

A.

方程组

A x = k β_{1} + β_{2}

一定有解

B.

方程组

A x = k β_{1} + β_{2}

一定无解

C.

方程组

A x = β_{1} + k β_{2}

一定有解

D.

方程组

A x = β_{1} + k β_{2}

一定无解

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2. 设

A, B

为满足

A B = 0

的任意两个非零矩阵，则必有

A.

A

的列向量组线性相关，

B

的行向量组线性相关

B.

A

的列向量组线性相关，

B

的列向量组线性相关

C.

A

的行向量组线性相关，

B

的行向量组线性相关

D.

A

的行向量组线性相关，

B

的列向量组线性相关

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3. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

, 则矩阵

A, B

A.

合同且相似

B.

合同但不相似

C.

不合同但相似

D.

既不合同也不相似

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4. 设非齐次线性方程组

A x = β_{1}

有解,

A x = β_{2}

无解, 对于任意常数

k

, 必有

A.

方程组

A x = k β_{1} + β_{2}

一定有解

B.

方程组

A x = k β_{1} + β_{2}

一定无解

C.

方程组

A x = β_{1} + k β_{2}

一定有解

D.

方程组

A x = β_{1} + k β_{2}

一定无解

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5. 设

m, n

均为正整数, 并且

m < n

, 设

A

为

m \times m

的矩阵,

B

为

m \times n

的矩阵,

C

为

n \times m

的矩阵, 已知

A B C = E

, 设

A^{*}

为

A

的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有（　　）个
①

B C A = E

②

C A B = E

③

C^{*} B^{*} A^{*} = E

④

A^{T} C^{T} B^{T} = E

A.

B.

C.

D.

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6. 下列说法中正确的是

A.

若 3 个 3 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关

B.

若 3 个 3 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交

C.

若 3 个 2 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

中至少一个为 0

D.

若 3 个 2 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

中只能有一个为

0

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7. 设

A, B

均为

n

阶矩阵, 则必有

A.

| A + B | = | A | + | B |

B.

A B = B A

C.

| A B | = | B A |

D.

(A + B)^{- 1} = A^{- 1} + B^{- 1}

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8. 设

A, B

均为

n

阶矩阵, 则下列结论正确的是

A.

若

| A B | = 0

, 则

A = O

或

B = O

B.

若

| A B | = 0

, 则

| A | = 0

或

| B | = 0

C.

若

A B = O

, 则

A = O

或

B = O

D.

若

A B \neq O

, 则

| A | \neq 0

或

| B | \neq 0

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9. 设

A

是

m \times n

矩阵,

m < n, r (A) = m

, 以下选项中错误的是

A.

存在

n

阶可逆矩阵

Q

, 使得

A Q = (E_{m} ∣ O)

B.

存在

m

阶可逆矩阵

P

, 使得

P A = (E_{m} O)

C.

齐次线性方程组

A x = 0

有零解.

D.

非齐次线性方程组

A x = b

有无穷多解.

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10. 设

A

是 3 阶实矩阵, 则 “

A

是实对称矩阵” 是“

A

有 3 个相互正交的特征向量” 的

A.

充分非必要条件.

B.

必要非充分条件.

C.

充分必要条件.

D.

既非充分也非必要条件.

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11. 下列结论正确的是

A.

A

为方阵,

A^{2} = O

, 则

A = O

B.

A, B

为同阶方阵, 则

(A B)^{2} = A^{2} B^{2}

C.

A

为逆矩阵, 则

{(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1}

D.

A, B

为同阶方阵, 则

{(A B^{T})}^{T} = A^{T} B^{T}

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12. 设

M_{1} = (\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}), M_{2} = (\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}), M_{3} = (\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 2 \end{array})

M_{4} = (\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{array})

, 则

M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}

中不能与对角阵相似的是

A.

M_{1}

B.

M_{2}

C.

M_{3}

D.

M_{4}

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13. 下列命题正确的个数为 ( ).
①设

x

为

n

维列向量, 且

x^{T} x = 1

, 若

A = E - x x^{T}

, 则

| A | = 0

.
②

A_{n \times m}, B_{m \times n}, E

是

n

阶单位矩阵, 若

A B = E

, 则

B x = 0

仅有零解.
③设向量组 I :

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

可由 II :

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性表示, 则当

r > s

时, I 必线性相关.
④设

A, B, C

均为

n

阶矩阵, 若

A B = C

, 且

B

可逆, 则

C

的列向量组与

A

的列向量组等价.

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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14. 设

n

维行向量

α = (\frac{1}{2}, 0 \dots, 0 \frac{1}{2})

，矩阵

A = E - α^{T} α, B = E + 2 α^{T} α

, 其中

E

为

n

阶单位矩阵，则

A B

等于

A.

B.

- E

C.

E

D.

E + α^{T} α

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二、判断题（共 5 题）

15. 设

β

可由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性表示, 但不能由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}

线性表示, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

与向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}, β

等价.

A.

正确

B.

错误

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16. 设

A

为

m \times n

阶矩阵,

B

为

n

阶可逆矩阵, 则

R (A) < R (A B)

A.

正确

B.

错误

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17. 若存在正整数

k

使

A^{k} = O

, 则

A

的特征值只能是 0 .

A.

正确

B.

错误

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18. 设

V_{1}, V_{2}, \dots, V_{s}

都是线性空间

V

的子空间,

s \geq 3

, 则

V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{s}

的充分必要条件是

V = \sum_{i = 1}^{s} V_{i}

且

\dim V = \sum_{i = 1}^{s} \dim V_{i}

A.

正确

B.

错误

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19. 设

V

是

n

维线性空间, 则存在

V

的真子空间

V_{1}, V_{2}, \dots, V_{s}

(

s

为正整数), 使得

V = V_{1} \cup V_{2} \cup \dots \cup V_{s}

A.

正确

B.

错误

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三、填空题（共 21 题），请把答案直接填写在答题纸上

20. 已知 3 阶行列式

D

的第 2 行元素分别为

1, 2, - 1

, 它们的余子式分别为

1, - 1, 2

, 则

D =

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21. 设

m \times n

矩阵

A

的秩

R (A) = r

, 则

n

元齐次线性方程组

A x = 0

的解集

S

的最大无关组

S_{0}

的秩

R_{s_{0}} =

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22. 设

A = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]

, 则二次型

x^{T} A x

的正惯性指数为

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23. 设

A = [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]

, 且

A^{6} = E, E

为 2 阶单位矩阵, 则

A^{11} =

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24. 设 3 阶方阵

A

的特征值为

1, 2, 3

, 而且

B = A^{2} + A - 2 E

, 则

| B | =

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25. 已知矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

经过初等行变换化为

(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array})

, 选

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为最大无关组, 则

α_{4}

由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示为

α_{4} =

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26. 设

A

为 4 阶矩阵,

(A - 2 E) x = 0

的基础解系中只有 2 个解向量,

(A + E) x =

0 的基础解系中只有 1 个解向量, 则

r (A^{2} - A - 2 E) =

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27.

设 A = (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}), f (x) = x^{2} + x - 2 及, 则 f (A^{- 1}) =

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28. 设

A

是二阶矩阵, 则

| A | < 0

是

A

可对角化的 ________ 条件(充分、必要、充要);

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29. 设

A = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array}], E = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

, 矩阵

B

满足

B A = B + 2 E

, 则

| B | =

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30. 已知方阵

A

满足

A^{2} - 3 A + 2 E = 0, E

为单位矩阵, 则

(A + E)^{- 1} =

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31.

A (2, - 1, - 1), B (1, a, 2), C (3, 1, 2)

以及

D (1, 0, 1)

共面, 则

a =

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32. 在线性空间

R^{2 \times 2}

中,

α_{1} = (\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}), α_{4} = (\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})

是一个基, 则向量

α = (\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})

在该基下的坐标为

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33. 设

V

为次数小于 4 的实系数一元多项式的全体的线性空间,

V

上的线性变换

T

定义为:

\forall f (x) \in V, T (f (x)) = f^{''} (x)

, 求线性变换

T

在基

{1, x, x^{2}, x^{3}}

下的矩阵

A

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34. 在殴氏空间

R^{3}

中,

α_{1} = (1, 0, 0)^{T}, α_{2} = (1, 1, 0)^{T}, α_{3} = (1, 1, 1)^{T}

是一个基, 求

α_{1}, α_{2}, α_{3}

的度量矩阵

A

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35. 殴氏空间

R^{2}

中, 基

α_{1}, α_{2}

下的度量矩阵为

(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{array})

, 则向量

2 α_{1} + α_{2}

与向量

α_{1} - α_{2}

的夹角

θ =

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36. 在 3 维欧氏空间

R^{3} = {(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}) : x, y, z \in R}

(通常的内积)中建立了右手坐标系, 定义旋转变换

ρ

: 旋转轴为起点在原点的向量

(1, 1, 1)

, 旋转角为

\frac{2 π}{3}

(逆时针方向). 即

ρ

把全体起点在原点的向量绕轴转动

\frac{2 π}{3}

.
(1) 求

ρ

在

R^{3}

的标准基下的矩阵.
(2) 求

ρ

的全部不变子空间.

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37. 设

A, B

同为

n

阶方阵.
(1) 证明:

(\begin{array}{cc} A B & A \\ O & O \end{array})

与

(\begin{array}{cc} O & A \\ O & B A \end{array})

相似.
(2) 证明:

A B

与

B A

有相同的特征多项式.

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38. 线性空间

E

上一个线性变换

φ

称为半单的, 如果对

φ

的每个不变子空间

E_{1} \subseteq E

, 都存在

φ

的不变子空间

E_{2} \subseteq E

, 使得

E = E_{1} \oplus E_{2}

.
证明: 若

φ

是线性空间

E

上的半单变换,

E_{1}

是

φ

的一个不变子空间, 则

φ

限制在

E_{1}

上也是半单的.

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39. 向量

γ

在

α_{1} = [1, 0, 1]^{T}, α_{2} = [0, 1, - 1]^{T}, α_{3} = [1, 2, 0]^{T}

下的坐标是

[5, 7, - 4]^{T}

, 则在

β_{1} = [1, 0, 1]^{T}, β_{2} = [- 1, 1, 1]^{T}, β_{3} = [1, - 2, - 2]^{T}

下的坐标是

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40. 多项式

f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 1

在有理数域

Q

上的标准分解式为

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他的试卷

试卷000 试卷99 试卷98 试卷97 试卷95

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