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试卷99

数学

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x, y)

在点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

处有二阶连续偏导数, 且

f (x, y)

在

P_{0}

处取得极大值, 则

A.

f_{x x}^{''} (P_{0}) ⩾ 0, f_{y y}^{''} (P_{0}) ⩾ 0

.

B.

f_{x x}^{''} (P_{0}) < 0, f_{y y}^{''} (P_{0}) < 0

.

C.

f_{x x}^{''} (P_{0}) ⩽ 0, f_{y y}^{''} (P_{0}) ⩽ 0

.

D.

f_{x x}^{''} (P_{0}) ⩽ 0, f_{y y}^{''} (P_{0}) ⩾ 0

.

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 设向量场

A (x, y, z) = x y i - y z j + z x k

, 则

div [rot A (x, y, z)] =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

3. 设函数

Q (x, y)

在

x O y

平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分

\int_{L} 2 x y d x + Q (x, y) d y

与路径无关, 并且对任意

t

恒有

\int_{(0, 0)}^{(t, 1)} 2 x y d x + Q (x, y) d y = \int_{(0, 0)}^{(1, t)} 2 x y d x + Q (x, y) d y,

求

Q (x, y)

.

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4. 计算曲线积分

I = \int_{L} \frac{4 x - y}{4 x^{2} + y^{2}} d x + \frac{x + y}{4 x^{2} + y^{2}} d y

, 其中

L

是

x^{2} + y^{2} = 2

, 方向为逆时针方向

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5. 设函数

z = (x^{2} + y^{2}) f (x^{2} + y^{2})

满足

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

, 且

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

, 若

f (x)

在

[1, + \infty)

上有连续二阶导数, 求

f (x)

在

[1, + \infty)

的最大值.

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6. 设函数

f (x)

二阶可导,

f (0) = 1

, 且有

f^{'} (x) + 3 \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t + 2 x \int_{0}^{1} f (x t) d t + e^{- x} = 0,

求

f (x)

.

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7. 设

f (x)

二阶可导, 且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 0

, 若

g (x, y) = \int_{0}^{y} f (x t) d t

满足方程

\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} - x y g (x, y) = x y^{2} \sin x y,

求

g (x, y)

.

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8. 设可微函数

f (x, y)

在点

(x, y)

处沿

l_{1} = (- 1, 0)

与

l_{2} = (0, - 1)

的方向导数分别为

2 a x - 3 x^{2}

与

2 a y - 3 y^{2} (a > 0)

, 且

f (0, 0) = 0

, 若

f (x, y)

有极小值

- 8

, 求

a

的值及

f (x, y)

的表达式.

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