试卷95-数学组卷-自助组卷

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试卷95

数学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to 0^{+}

时,

(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (e + a x + b x^{2})

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{e}{2}, b = - \frac{11}{24} e

.

B.

a = - \frac{e}{2}, b = \frac{11}{24} e

.

C.

a = e, b = \frac{e}{2}

.

D.

a = e, b = - \frac{e}{2}

.

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2. 设周期函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导, 周期为 4 , 又

lim_{x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - x)}{2 x} = - 1

,则曲线

y = f (x)

在

x = 5

处切线斜率为

A.

\frac{1}{2}

B.

0

C.

-1

D.

-2

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3. 下列直线中不是曲线

y = \sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x})

的渐近线的是

A.

x = - \frac{1}{2}

.

B.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2 + 1

.

C.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2

.

D.

y = - 2 x \ln 2 - \frac{1}{4} \ln 2 - 1

.

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4. 设曲线

y = f (x)

由

{\begin{cases} x = t | t |, \\ y = t^{2} e^{\frac{1}{3}} \end{cases}

确定, 则该曲线的渐近线的条数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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5. 设曲线

L : y = \ln x

, 则

A.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最小曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

.

B.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最大曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

.

C.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最小曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

.

D.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最大曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

.

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6. 已知

f (x) = (x - 1) (2 x + 1)

, 则在区间

(\frac{1}{2}, 1)

内

f (x)

.

A.

单调增加, 且为凹弧

B.

单调减少, 且为凹弧

C.

单调减少, 且为凸弧

D.

单调增加, 且为凸弧

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7. 函数

y = x \arctan x

在

A.

(- \infty, + \infty)

内处处是凸的

B.

(- \infty, + \infty)

内处处是凹的

C.

(- \infty, 0)

内为凸的,

(0, + \infty)

内为凹的

D.

(- \infty, 0)

内为凹的,

(0, + \infty)

内为凸的

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8. 设函数

p (x)

在区间

[a, b]

上连续,

y (x)

在区间

[a, b]

上具有二阶导数且满足

y^{''} (x) + p (x) y^{'} (x) - y (x) = 0, y (a) = y (b) = 0,

则在

[a, b]

上,

y (x)

A.

有正的最大值,无负的最小值.

B.

有负的最小值,无正的最大值.

C.

既有正的最大值, 又有负的最小值.

D.

既无正的最大值, 又无负的最小值.

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二、填空题（共 13 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设两曲面

S_{1} : 2 π x^{2} - 2 π y^{2} + 16 z^{2} = π^{2}, S_{2} : z = \arctan \frac{y}{x}

在第一卦限内的点

P

处有公共切平面, 则此切平面的方程为

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10. 方程

\arcsin x = k x

在

x \in [0, 1]

只有一个解, 那么

k

的取值范围是

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11. 设

f (x, y)

在

(2, - 2)

处可微，且满足:

f (\sin x y + 2 \cos x, x y - 2 \cos y) = 1 + x^{2} + y^{2} + o (x^{2} + y^{2})

则曲面

z = f (x, y)

过点

(2, - 2, f (2, - 2))

处的切平面方程为

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12. 抛物线

y = x^{2} - x

在点

(1, 0)

处的曲率是:

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13. 设函数

f (x)

在

x = 1

的某一邻域内可微, 且满足

f (1 + x) - 3 f (1 - x) = 4 + 2 x + o (x),

其中

o (x)

是当

x \to 0

时

x

的高阶无穷小, 则曲线

y = f (x)

在点

(1, f (1))

处的切线方程为

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14. 设连续函数

f (x)

满足

f (x) + 2 x \int_{0}^{x} f (x - t) d t = x (x > 0)

, 且

f (1) = \frac{1}{e}

, 则

f (x)

的极大值点和极大值分别为

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15.

lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{3} + 9} - 6}{2 - \sqrt{x^{3} - 23}} =

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16. 设曲线

y = \ln (1 + a x) + 1

与曲线

y = 2 x y^{3} + b

在

(0, 1)

处相切,则

a + b =

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17. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有二阶连续导数, 证明:

f^{''} (x) \geq 0

的充要条件是: 对不同实数

a

,

b, f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

.

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18. 曲线

y = \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}

的渐近线条数为

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19. 曲线

y = (x - 5) x^{\frac{2}{3}}

的拐点坐标为 ________ .

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20. 设函数

f (x) = e^{x} \cos x + e^{- x} \sin x

, 则

f^{(2023)} (0) =

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21. 设函数

y = f (x)

二阶可导, 且满足

y^{'} = (5 - y) y^{a}

, 其中常数

a > 0

, 点

(x_{0}, 3)

为曲线

y = f (x)

的拐点, 则

a =

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三、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

22. 设非负函数

y (x)

在

(0, + \infty)

内可导且单调减少. 记曲线

y = y (x)

上任意一点

P

处的切线与

x

轴,

y

轴的交点分别为

P_{x}, P_{y}

. 若

| P P_{x} | = 2 | P P_{y} |

, 且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为 -1 , 求:
(I) 曲线

y = y (x)

的方程;
(II) 曲线

y = y (x)

在点

(2, y (2))

处的曲率半径.

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23. 求函数

f (x) = (1 - x) \sqrt{| x |}

在

(- 1, 1)

的极值点和极值.

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24. 设

F (r) = \int_{0}^{2 π} e^{r \cos θ} \cos (r \sin θ) d θ, r \in R

. 证明:

F (r) \equiv 2 π .

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25. 设

f (x)

在

x = 0

处连续，且

lim_{x \to 0} \frac{f (2 x) - f (x)}{x} = a, a \in R

. 证明:

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f^{'} (0) = a

.

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26. 设函数

f (x)

在区间

[0, 2]

上具有连续导数，且

f (0) = f (2) = 0, M = max_{x \in [0, 2]} {| f (x) |} .

证明: (1) 存在

ξ \in (0, 2)

，使得

| f^{'} (ξ) | \geq M

；
(2) 若对任意的

x \in (0, 2), | f^{'} (x) | \leq M

，则

M = 0

.

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27. 设数列

{x_{n}}, {a_{n}}, {b_{n}}

分别满足

x_{n} = {(1 + \sin \frac{1}{n})}^{n}, a_{n} = \frac{x_{2 n}}{x_{2 n - 1}}, b_{n} = \prod_{i = 1}^{n} a_{i}

.
(I) 求

lim_{n \to \infty} x_{n}

;
(II ) 证明:

lim_{n \to \infty} b_{n}

存在.

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28. 求曲线

x^{4} + x^{2} y - y^{3} = 1

在点

(1, 1)

处的切线方程.

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29. 已知函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续, 在

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 1

. 证明:
(1) 存在

x_{0} \in (0, 1)

, 使得

f (x_{0}) = 1 - x_{0}

;
(2) 存在两个不同的点

x_{1}, x_{2} \in (0, 1)

, 使得

f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 1

.

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30. 设抛物线

f (x) = a x^{2} + b x + c

过点

(0, 0)

与

(1, 2)

且

a < 0

, 确定

a, b, c

使得抛物线与

x

轴所围图形面积最小。

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31. 设

b > a > 0

, 证明:

\frac{b - a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b - a}{a}

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32. 设函数

f (x)

的定义域为全体实数, 并且

f (x)

具有二阶导数, 并且

f^{''} (x) > 0, f^{'} (x) > 0

, 在同一个坐标系下, 曲线

y = f (x)

和直线

y = x

有且只有两个交点

P_{1} (a, f (a))

和

P_{2} (b, f (b))

, 其中

a < b

。
(1) 求证:

f^{'} (a) < 1 < f^{'} (b)

。并且

\forall x < a

, 一定有

f (x) > x; \forall a < x < b

, 一定有

f (x) < x

。
(2) 设数列

{x_{n}}

满足

x_{n + 1} = f (x_{n})

, 求证: 当

x_{1} < a

时,

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

; 当

a < x_{1} < b

时,

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

。

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33. 设

f (x) \in C [a, b], f (a) = f (b)

。证明, 存在数列

x_{n}, y_{n}

满足

x_{n} < y_{n}

,

lim_{n \to \infty} (y_{n} - x_{n}) = 0, 且 f (x_{n}) = f (y_{n}) 。

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34. 已知函数

f (x) = \frac{x^{3}}{(1 + x)^{2}} + 3

, 请列表给出: 函数

f (x)

的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数

f (x)

的所有渐近线.

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35. 证明: 若函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续, 则在开区间

(a, b)

内至少存在一点

ξ

, 使

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a)

.

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36. 设

a > 0

, 试确定

a

的范围使得曲线

y = a^{x}

与直线

y = x

必相交 (要求说明理由)。

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37. 讨论方程

\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1} = a

在

(- \infty, 0)

与

(0, + \infty)

内根的个数.

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38. 设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续, 在

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 2

. 证明: 存在两两互异的点

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3} \in (0, 1)

, 使得

f^{'} (ξ_{1}) f^{'} (ξ_{2}) \sqrt{1 - ξ_{3}} \geq 2

.

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39. 设

f (x)

二阶可导,

f (0) = 0, f (1) = 1, \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2}

.
(I) 证明: 存在

c \in (0, 1)

, 使得

f (c) = c

;
(II) 证明: 存在

ξ \in (0, 1)

, 使得

f^{''} (ξ) = 1 - f^{'} (ξ)

.

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40. 设

f (x)

在

[0, 1]

上有连续的导数且

f (0) = 0

. 求证:

\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x ⩽ 4 \int_{0}^{1} (1 - x)^{2} {| f^{'} (x) |}^{2} d x

并求使上式成为等式的

f (x)

.

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