一、单选题 （共 18 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 其导函数图形如图所示, 则 $f(x)$ 的极值点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若函数 $f(x)$ 在原点连续, $F(x)=f(x)|\sin x|$, 则 $f(0)=0$ 是 $F^{\prime}(0)$ 存在的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分但非必要条件
$\text{C.}$ 必要但非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
设 $g(t)$ 是正值连续函数, 且 $f(x)=\int_{-a}^a|x-t| g(t) \mathrm{d} t, a>0, x \in[-a, a]$, 关于曲线 $y=f(x)$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 在 $[-a, 0]$ 上是凹的, 在 $[0, a]$ 上是凸的
$\text{B.}$ 在 $[-a, 0]$ 上是凸的, 在 $[0, a]$ 上是凹的.
$\text{C.}$ 在 $[-a, a]$ 上是凹的.
$\text{D.}$ 在 $[-a, a]$ 上是凸的.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有连续导数, 且 $f(0)>0, f^{\prime}(x) \geqslant 0$, 若 $F(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛是 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{F(x)} \mathrm{d} x$ 收敛的
$\text{A.}$ 必要非充分条件.
$\text{B.}$ 充分非必要条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
已知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x^k y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$, 则
$\text{A.}$ $k=1$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{B.}$ $k=2$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
$\text{C.}$ $k=3$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{D.}$ $k=4$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是:
$\text{A.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{B.}$ $\ln \left(\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\right)$
$\text{C.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
. 函数 $y=1-x^2$ 在区间 $[-1.1]$ 上应用罗尔定理时, 所得到的中值=
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{a x} & x \leq 0 \\ b\left(1-x^2\right) & x>0\end{array}\right.$ 处处可导, 那么
$\text{A.}$ $a=b=1$
$\text{B.}$ $a=-2, b=-1$
$\text{C.}$ $a=0, b=1$
$\text{D.}$ $a=1, b=0$
设 $x=a$ 为函数 $y=f(x)$ 的极值点, 则下列论述正确的是
$\text{A.}$ $f(a)=0$
$\text{B.}$ $f'(a)=0$
$\text{C.}$ $f''(a)=0$
$\text{D.}$ 以上都不对
设$f(x)$在[-1,1]上二阶可导，且$f''(x)>0,$$\int_{-1}^1f(x) \mathrm{d} x=2$,则
$\text{A.}$ $f(x) < 0$.
$\text{B.}$ $f(0)>0$.
$\text{C.}$ $f(x)\leq1$.
$\text{D.}$ $f(0)>1$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, 且 $f^{\prime}(x) < 0$, 则下列结论正确的是
(1) 当 $0 < t < 1$ 时, $\int_0^t f(x) \mathrm{d} x < \int_0^1 t f(x) \mathrm{d} x$.
(2) 当 $0 < t < 1$ 时, $\int_0^t f(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 t f(x) \mathrm{d} x$.
(3) 当 $x \geqslant 0$ 时, $\int_0^x x f(t) \mathrm{d} t \geqslant 2 \int_0^x t f(t) \mathrm{d} t$.
(4) 当 $x \geqslant 0$ 时, $\int_0^x x f(t) \mathrm{d} t \leqslant 2 \int_0^x t f(t) \mathrm{d} t$.
$\text{A.}$ (1) (4).
$\text{B.}$ (2) (3).
$\text{C.}$ (2) (4).
$\text{D.}$ (1) (3).
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^2} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{B.}$ $I_3>I_2>I_1$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
设 $f(x)$ 在 $(-1,1]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0, \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0) \leqslant 0$.
$\text{B.}$ $f(0)>0$.
$\text{C.}$ $f(0) \leqslant \frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $f(0)>\frac{1}{2}$.
$f(x)=\frac{x \ln |x|}{|x-1|} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)(x-2)}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$, 则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\frac{\ln (1-a x)}{|x|}, & x \neq 0 \\ b, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$.
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$.
$\text{C.}$ $a=1, b=1$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$.
设函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示, 则曲线 $y=$ $f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 与直线 $y=a x(a>0)$ 有两个交点, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1, \mathrm{e})$.
$\text{D.}$ $(e,+\infty)$.
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $f^{\prime}(1)=8$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(1-x^2\right)-f(1)}{1-\cos x}=$
设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{cl}\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}) & \mathrm{x} \geq 0 \\ \operatorname{b \arctan} \frac{1}{\mathrm{x}} & \mathrm{x} < 0\end{array}\right.$ 是连续函数, 则 $\mathrm{b}=$
设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续,求 $\frac{d}{d x} \int_0^x t f\left(t^2-x^2\right) d t $
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}(1-x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$
已知方程 $\mathrm{e}^x=k x$ 有且仅有一个实根, 则 $k$ 的取值范围为
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+\cos ^3 x-1}{(x+\sin x)^2}=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{2}{\sqrt{n^2+n}}\right)=$
设函数 $y=\ln \tan \sqrt{x}$, 则 $d y=$
设 $f(x, y)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x^2+y^2} \frac{\sin \sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 1, & x^2+y^2=0, x^2+y^2 \leqslant t^2,\end{cases}$ 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^2} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $f(x-1)$ 的间断点为
设连续函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x-2 y-1}{x^2+y^2}=1$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3 h, 0)-f(0, h)}{h}=$
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 的二阶导函数连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+\cos x}{x^2}=1$, 求 $f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$.
设曲线 $x=y^2(y>0), x=2-y^2(y>0)$ 及 $y=0$ 围成一平面图形 D.
(1) 求平面图形 D 的面积;
(2) 求平面图形 D 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体的体积
计算函数 $ y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x $ 的一阶导数
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导, 函数 $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x^2+b x+c & x>0 \\ f(x) & x \leq 0\end{array}\right.$, 试确定常数 $a, b, c$ 的值, 使得函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 点二阶可导.
证明：当 $ x> 0 $ 时, $ 1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2} $
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+y=x^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(x \neq 0)$, 且 $y(1)=3 \mathrm{e}$.
(I) 求 $y=y(x)$ 的全部渐近线方程;
(II) 讨论曲线 $y=y(x)$ 与 $y=k(k>0)$ 不同交点的个数.
求出使不等式
$$
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}, n=1,2, \cdots
$$
成立的最大的数 $\alpha$ 和最小的数 $\beta$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+3 \sin x)^x-2^x}{\tan ^2 x-4 x^3}$.
求曲线 $y=\frac{2 x^3}{x^2+2 x}$ 的所有渐近线方程.