一、单选题 （共 18 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小阶数最高的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$
下列函数在其定义域内有界的是
$\text{A.}$ $\frac{\sin x}{x}$
$\text{B.}$ $\tan x$
$\text{C.}$ $\frac{\ln x}{x}$
$\text{D.}$ $x e^{-x}$
关于函数 $y=x \ln x, x$ 定义域为 $(0,+\infty)$, 以下描述不正确的是
$\text{A.}$ 在区间 $\left(0, \mathrm{e}^{-1}\right)$ 单调递减
$\text{B.}$ 在 $\mathrm{x}=\mathrm{e}^{-1}$ 处取最小值
$\text{C.}$ $\left(e^{-1},-e^{-1}\right)$ 是曲线 $y=x \ln x$ 的拐点
$\text{D.}$ 曲线 $y=x \ln x$ 无渐近线
若函数 $f(x)=2^{\frac{1}{x}}+\arctan \frac{x|x|}{(x-1)(x-2)}$ 下面哪一条直线不是此函数的渐近线
$\text{A.}$ $x=0$
$\text{B.}$ $y=1-\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $x=2$
$\text{D.}$ $y=1+\frac{\pi}{4}$
已知 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1$, 则在 $x=a$ 处
$\text{A.}$ $f(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$.
$\text{B.}$ $f(x)$ 取极大值.
$\text{C.}$ $f(x)$ 取极小值.
$\text{D.}$ $f(x)$ 导数不存在.
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x)=\left(x^3-x^2+\frac{1}{2} x\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^6+1}-\frac{1}{6}$ 是 $g(x)=\alpha x^\beta$ 等价无穷小, 则 $\alpha, \beta=$
$\text{A.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1$
$\text{B.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-1$
$\text{C.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-2$
$\text{D.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-2$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 如果函数极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 则数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=A$
$\text{B.}$ 如果数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=A$, 则函数极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$
$\text{C.}$ 如果数列 $x_n \rightarrow x_0$ 且 $x_n \neq x_0$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 的间断点必然是跳跃间断点
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导, 则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{B.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0$
$\text{C.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$
设 $\varphi(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的邻域内连续且 $\varphi(0,0)=0$, 则函数 $f(x, y)=(|x|+|y|) \varphi(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 可微
$\text{B.}$ 连续但偏导数不存在
$\text{C.}$ 偏导数连续
$\text{D.}$ 偏导数存在但不可微
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}|x-y|^a \frac{\sin x y^2}{x^2+y^4}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 给出以下结论:
(1) 当 $\alpha>0$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且偏导数存在;
(2) 当 $\alpha \geqslant 1$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微;
(3) 当 $\alpha>2$ 时, $f_x^{\prime}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续;
(4) 当 $\alpha>0$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处沿任意方向的方向导数均存在.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}+\mathrm{e}^{x-1}}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}-\mathrm{e}^{x-1}}$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点,一个可去间断点和一个无穷间断点
$\text{B.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
$\text{C.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
$\text{D.}$ 记 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 则 $x=0$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{[x]}{x}}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷型间断点
$\text{D.}$ 无限振荡型间断点
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 关于 $f(x), g(x)$ 的定积分有以下命题
(1) 若 $f(x) \geqslant 0$ 且不恒等于 0 , 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x>0$
(2) 若 $f(x) \geqslant 0$, 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x) \equiv 0$
(3) 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $x_0 \in[a, b]$ 使 $f\left(x_0\right) < g\left(x_0\right)$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x < \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$
(4) 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$, 则 $f(x) \equiv g(x)$以上命题中正确的个数为 ( ).
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)=|x| \mathrm{e}^{-|x-1|}$, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 4 个拐点.
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 1 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 1 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 4 个拐点.
函数 $f(x)=\left(x^2-4 x\right)\left|x 2^{|x|}-x^3\right|$ 的不可导点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$, 则 $\int f(x) d x= $
$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}+C, \quad x < -1 \\ x+C, \quad-1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, \quad x>1\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^3}{3}+C, \quad x < -1 \\ x+C, \quad-1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C, \quad x>1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^3}{3}+C_1, \quad x < -1 \\ x+C_2, \quad-1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C_3, \quad x>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{3}-\frac{4}{3}+C, \quad x < -1 \\ x+C, \quad-1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, \quad x>1\end{array}\right.$
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=e^{f\left(\frac{1}{x}\right)}, f$ 为可微函数, 则 $d y=$
已知 $f^{\prime}\left(x_0\right)=-2$, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+3 \Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=$.
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(1+a x^2\right)^{\dfrac{1}{3}}-1$ 与 $1-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a=$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{1-\sqrt{\cos 2 x}}=$
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
已知 $x=0$ 是 $f(x)=\frac{x+b \ln (1+x)}{a x-\sin x}$ 的可去间断点，求 $a, b$ 的取值范围
写出 $f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 的所有间断点及其所属类型
设函数 $y=f(x)$ 二阶可导，且满足 $y^{\prime}=(5-y) y^a$, 其中常数 $a>0$, 点 $\left(x_0, 3\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 则 $a=$
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)}$.
计算广义积分 $\int_0^1 \frac{x d x}{\left(3+x^2\right) \sqrt{1-x^2}}$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 证明当 $x \neq 0$ 时, $f(x)>x$.
已知 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导函数, 且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 证明
$$
\left|\int_0^a f(x) d x-a f(a)\right| \leq \frac{M a^2}{2} .
$$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\arctan \frac{1}{x}+e^2$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
证明 $x>0$ 时, $\ln (1+x)>x-\frac{1}{2} x^2$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(1)=\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$ ，证明在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使 $\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$
设函数 $f(x)$ 具有连续的导数, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^2 x+\cos x\right)}{\mathrm{e}^{x^2}-\cos x}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=1$. 设 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $u(x)$, 计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(u(x))}{f(x)}$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数,
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3} .
$$
设 $0 < x_1 < \frac{\pi}{4}$, 数列 $\left\{x_n\right\}$ 由方程 $x_n x_{n+1}=\left(\tan x_{n+1}\right)^2$ 确定,证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$存在, 并求之.
问方程 $2 x^3-3 x^2+\frac{1}{2}=0$ 有几个实根？请说明理由。