一、单选题 （共 18 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$, 且满足 $f(x)=f(-x), F(x)$ 为 $X$ 的分布函数, 则 对任意实数 $a$, 下列式子中成立的是
$\text{A.}$ $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_0^a f(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $F(-a)=1-\int_0^a f(x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $F(a)=F(-a)$
$\text{D.}$ $F(-a)=2 F(a)-1$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})$ 与 $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{Y}}(\boldsymbol{y})$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的分布函数, 则随机 变量 $Z=\max \{X, Y\}$ 分布函数 $\boldsymbol{F}_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})$ 为
$\text{A.}$ $\max \left\{F_X(z), F_Y(z)\right\}$
$\text{B.}$ $F_X(z)+F_Y(z)-F_X(z) F_Y(z)$
$\text{C.}$ $F_X(z) F_Y(z)$
$\text{D.}$ $F_X(z)$ 或 $F_Y({z})$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.4 \Phi(2 x-1)+0.6 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)$, 则 $E(X)=$ .
$\text{A.}$ -0.4
$\text{B.}$ 0.4
$\text{C.}$ -0.8
$\text{D.}$ 0.8
下列命题中, 正确的是
$\text{A.}$ 若随机变量 $X, Y$ 服从标准正态分布, 则 $X^2+Y^2 \sim \chi^2(2)$;
$\text{B.}$ 若随机变量 $X, Y$ 满足 $P\{X+Y=10\}=1$, 则 $\rho_{X Y}=-1$;
$\text{C.}$ 若随机变量 $X \sim N\left(0,3^2\right), Y \sim N\left(1,4^2\right)$, 则 $X+Y \sim N\left(1,5^2\right)$;
$\text{D.}$ 设随机变量 $X, Y$ 存在数学期望, 则 $X, Y$ 不相关的充要条件是 $E(X Y)=E(X) E(Y)$.
设 $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}2 \sin x, x \in[0, A \pi] \\ 0, x \notin[0, A \pi]\end{array}\right.$ 。若 $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ 是某随机变量的密度 函数, 则常数 $A=$
$\text{A.}$ $1 / 2$
$\text{B.}$ $1 / 3$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $3 / 2$
设相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$. 若这两个函数各有 2 个 间断点, 则随机变量 $X Y$ 的分布函数的间断点的个数不可能是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma^2, 1 ; \rho\right)$, 则随机变量 $X+Y$ 与 $X-Y$ 是 否相关
$\text{A.}$ 仅取决于 $\rho$ 的值.
$\text{B.}$ 仅取决于 $\sigma^2$ 的值.
$\text{C.}$ 取决于 $\rho, \sigma^2$ 的值.
$\text{D.}$ 以上说法均不正确.
设离散型随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布列为
其分布函数为 $F(x)$ ，则 $F(3)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 1
设离散型随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
c x^4, & x \in[0,1] \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} \text { ，则常数 } c=\right.
$$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $X \sim N(0,1)$ ，密度函数 $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ ，则 $\varphi(x)$ 的最大值是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 可取无穷多个值 $0,1,2, \ldots$, 其概率分布为 $p(k ; 3)=\frac{3^k}{k !} e^{-3}, k=0,1,2, \cdots$ ，则下式成立的是
$\text{A.}$ ${E X}={D} {X}={3}$
$\text{B.}$ $E X=D X=\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $E X=3, D X=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $E X=\frac{1}{3}, D X=9$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则有
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X+1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
独立随机变量 $X, Y$ ，若 $X \sim N(1,4), Y \sim N(3,16)$ ，下式中不成立的是
$\text{A.}$ $E(X+Y)=4$
$\text{B.}$ $E(X Y)=3$
$\text{C.}$ $D(X-Y)=12$
$\text{D.}$ $E(Y+2)=16$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $n$ 维列向量, 则下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关,则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 必线性无关.
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_s$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 必线性无关.
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}_{s-1} \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right)$ 必线性无关.
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}+\boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\alpha}_s+\boldsymbol{\alpha}_1$ 必线性无关.
设向量组 $a_1=(1,-t, 3,0)^T, a_2=(0,2,-t, 2)^T, a_3=(-1,4,-3,0)^T$, 若 $a_1, a_2, a_3$ 线性相关,则 $t=$
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
以下结论正确的是
$\text{A.}$ 对向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$, 如果 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\mathbf{0}$, 就必有 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$, 则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关;
$\text{B.}$ 如果有一组不全为零的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$, 使得 $\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_n \boldsymbol{\alpha}_n \neq \boldsymbol{0}$ 成立, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关;
$\text{C.}$ 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关, 则其中每一个向量都能被其余向量线性表示;
$\text{D.}$ 若 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$, 使 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\mathbf{0}$, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关.
下列结论中错误的是
$\text{A.}$ $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性概关;
$\text{B.}$ $n$ 个 $n+1$ 维向量一定线性相关;
$\text{C.}$ 若 $n$ 个 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关, 则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right|=0$;
$\text{D.}$ 若 $n$ 个 $n$ 维列向量满足 $\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right|=0$, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, 齐次方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解的充要条件是.
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性无关
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组相关
二、判断题 （共 3 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称阵, 则 $A$ 为半正定矩阵的充要必要条件是 $A$ 的所有主子式都不小于零.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$ 为整系数多项式, $a_n \neq 0$, 若有理数 $\frac{q}{p}$ 是 $f(x)$ 的根, 则必有 $p \mid a_0$, 且 $q \mid a_n$, 其中 $p, q$ 为互素的整数.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换, 则 $\sigma$ 是正交变换的充分必要条件是对任意的 $\alpha, \beta \in V$, 有 $\langle\alpha, \beta\rangle=\langle\sigma(\alpha), \sigma(\beta)\rangle$, 其中 $\langle\alpha, \beta\rangle$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量 $X$ 在区间 $[1,6]$ 上服从均匀分布，则 $P\{1 < X < 3\}=$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x < -1 \\ 0.3, & -1 \leq x < 1 \\ 0.6, & 1 \leq x < 2 \\ 1, & x \geq 2\end{array}\right.$, 则 $X$ 的分布律为
若离散型随机变量 $X$ 的分布律为
则常数 $a=$ ; 又 $Y=2 X+3$, 则 $P\{Y>5\}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{\alpha}$ 线性相关, 则 $a=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 , 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系中含有解的个数为
四、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}A \sin x, 0 < x < \pi \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$,
求: (1) 常数 $A$ 的值;
(2) 随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$;
(3) $P\left\{\frac{\pi}{3} \leq X \leq \frac{\pi}{2}\right\}$.
从一副 52 张扑克牌中任意取出 5 张. 设 $\boldsymbol{X}$ : 取出的 5 张牌中的“黑桃"张数.
(1) 求 $\boldsymbol{X}$ 的分布律 (5 分)；
(2) 写出 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数 $F(x)$ (4 分).
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
a x^2+b x+c & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
并且已知 $E(X)=0.5, \operatorname{var}(X)=0.15$ ，试求系数 $a, b, c$.
某种型号的电子元件的使用寿命 $X$ (单 位：小时）具有以下的密度函数：
$$
p(x)= \begin{cases}\frac{1000}{x^2} & x>1000 \\ 0 & x \leq 1000\end{cases}
$$
(1) 求某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时的概率 (4 分)；
(2) 已知某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时，求该元件的 使用寿命大于 2000 小时的概率 (5 分).
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为两两正交的单位向量, 又 $\boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关,令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_2^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$.
(I) 证明: $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 唯一线性表示;
(II) 验证 $\boldsymbol{\beta}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量, 并求相应的特征值.
设数域 $P$ 上多项式 $f(x)=x^5+x^4+2 x^2+1, g(x)=x^4-x^2+2 x-1$, 求 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式 $(f(x), g(x))$, 以及多项式 $u(x), v(x)$, 使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))$.
设 $\mathrm{n}$ 维列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关， $A$ 为 $\mathrm{n}$ 阶方阵，证明: 向量组 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关。
设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right], \quad \alpha_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right]$ ，问 $\lambda$ 取何值时，
(1) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式唯一?
(2) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式不唯一?
(3) $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \geq 2)$ 线性无关，设
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \cdots, \\
& \beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s, \beta_s=\alpha_s+\alpha_1
\end{aligned}
$$
讨论向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 的线性相关性.
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^T$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量， $\xi^T$ 是 $\xi$ 的转置，证明:
(1) $A^2=A$ 的充要条件是 $\xi^T \xi=1$ ；
(2) 当 $\xi^T \xi=1$ 时， $A$ 是不可逆矩阵.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 0 & 6\end{array}\right)$, 试求(1) 将矩阵 $A$ 变为行最简形矩阵; (2) 求矩阵 $A$ 列向量组的一个最大无关组; (3) 将不属于最大无关组的向量用最大无关组表示。
给定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-1,0,4), \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,5,6), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,-2,0), \boldsymbol{\alpha}_4=(3,0,7, k)$.
(1)当 $k$ 为何值时, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关?
(2)当向量组线性相关时, 求出最大无关组, 并用最大无关组线性表示向量组中其它向量. (10 分)