一、单选题 （共 36 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知三棱雉 $S-A B C$ 的底面 $A B C$ 是等边三角形, 平面 $S A C \perp$ 平面 $A B C, S A=S C, \angle A S C=$ $90^{\circ}, M$ 为 $S B$ 上一点, 且 $A M \perp B C$. 设三棱雉 $S-A B C$ 外接球球心为 $O$, 则
$\text{A.}$ 直线 $O M \perp$ 平面 $S A C, O A \perp S B$
$\text{B.}$ 直线 $O M / /$ 平面 $S A C, O A \perp S B$
$\text{C.}$ 直线 $O M \perp$ 平面 $S A C$, 平面 $O A M \perp$ 平面 $S B C$
$\text{D.}$ 直线 $O M / /$ 平面 $S A C$, 平面 $O A M \perp$ 平面 $S B C$
圆台的上、下底面半径分别是 $r=1, R=4$, 圆台的高为 4 , 则该圆台的侧面积
$\text{A.}$ $16 \pi$
$\text{B.}$ $20 \pi$
$\text{C.}$ $25 \pi$
$\text{D.}$ $30 \pi$
已知正四棱雉 (底面为正方形, 且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱雉为正四棱雉) $P-A B C D$ 的底面正方形边长为 2 , 其内切球 $O$ 的表面积为 $\frac{\pi}{3}$, 动点 $Q$ 在正方形 $A B C D$ 内运 动, 且满足 $O Q=O P$, 则动点 $Q$ 形成轨迹的周长为
$\text{A.}$ $\frac{2 \pi}{11}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi}{11}$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{11}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{11}$
刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体
已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是
$\text{A.}$ $24 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $24+24 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $24+24 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $24+16 \sqrt{2}+8 \sqrt{5}$
以一个给定的正 2022 边形的 4 个顶点为顶点的梯形称为好梯形，则好梯形的个数为
$\text{A.}$ $1009 \cdot 1010 \cdot 1011$
$\text{B.}$ $1008 \cdot 1009.1010$
$\text{C.}$ $1000 \cdot 1011 \cdot 1012$
$\text{D.}$ 其它三个选项均不对
四面体 $A B C D$ 中, $A B=C D=3$, 其余棱长均为 $4, E, F$ 分别为 $A B, C D$ 上的点 (不含端点), 则
$\text{A.}$ 不存在 $E$, 使得 $E F \perp C D$
$\text{B.}$ 存在 $E$, 使得 $D E \perp C D$
$\text{C.}$ 存在 $E$, 使得 $D E \perp$ 平面 $A B C$
$\text{D.}$ 存在 $E, F$, 使得平面 $C D E \perp$ 平面 $A B F$
已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $O, O^{\prime}$, 过直线 $O O^{\prime}$ 的平面截该圆柱所得的面是面积为 8 的正方 形, 则该圆柱的表面积为
$\text{A.}$ $12 \sqrt{2} \pi$
$\text{B.}$ $12 \pi$
$\text{C.}$ $8 \sqrt{2} \pi$
$\text{D.}$ $10 \pi$
圆台的上、下底面半径分别是 $r=1, R=4$, 圆台的高为 4 , 则该圆台的侧面积是
$\text{A.}$ $16 \pi$
$\text{B.}$ $20 \pi$
$\text{C.}$ $25 \pi$
$\text{D.}$ $30 \pi$
如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 20
如图, 在三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A A_1 \perp$ 平面 $A B C, \angle A B C=90^{\circ}, A A_1=A_1 B_1=B_1 C_1=1, A B=2$, 则 $A C$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 所成的角为
$\text{A.}$ $30^{\circ}$
$\text{B.}$ $45^{\circ}$
$\text{C.}$ $60^{\circ}$
$\text{D.}$ $90^{\circ}$
设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 $S_1 、 S_2$, 体积分别为 $V_1 、 V_2$. 若它们的侧面积相等, 且 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{4}$, 则 $V_{V_2}$ 的值是
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{4}$
在四棱雉 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B=4 ， P C=P D=3 ， \angle P C A=45^{\circ}$ ，则 $\triangle P B C$ 的面积为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{2}$
如图, 网格纸上绘制的一个零件的三视图, 网格小正方形的边长为 1 , 则该零件的表面积为
$\text{A.}$ 24
$\text{B.}$ 26
$\text{C.}$ 28
$\text{D.}$ 30
已知圆锥 $P O$ 的底面半径为 $\sqrt{3}, O$ 为底面圆心, $P A, P B$ 为圆雉的母线, $\angle A O B=120^{\circ}$, 若 $\triangle P A B$ 的面积 等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$, 则该圆锥的体积为
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $\sqrt{6} \pi$
$\text{C.}$ $3 \pi$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{6} \pi$
已知 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形, $A B$ 为斜边, $\triangle A B D$ 为等边三角形, 若二面角 $C-A B-D$ 为 $150^{\circ}$, 则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{5}$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $M$ 为正方形 $A B B_1 A_1$ 内 (含边界) 一动点, 且满足 $\overrightarrow{A M}=\lambda \overrightarrow{A B}+(1-\lambda) \overrightarrow{A A_1}$, 则直线 $M C_1$ 与平面 $A A_1 B$ 所成角的正弦值的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$
在三棱雉 $P-A B C$ 中, 线段 $P C$ 上的点 $M$ 满足 $P M=\frac{1}{3} P C$, 线段 $P B$ 上的点 $N$ 满足 $P N=\frac{2}{3} P B$, 则三棱雉 $P-A M N$ 和三棱雉 $P-A B C$ 的体积之比为
$\text{A.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{9}$
长、宽、高分别为 $2, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ 的长方体的外接球的表面积为
$\text{A.}$ $4 \pi$
$\text{B.}$ $12 \pi$
$\text{C.}$ $24 \pi$
$\text{D.}$ $48 \pi$
如图, 长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=B C=2$, 若直线 $A B_1$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 所成的角为 $30^{\circ}$, 则直线 $B C_1$ 与直线 $A C$ 所成的角为
$\text{A.}$ $90^{\circ}$
$\text{B.}$ $30^{\circ}$
$\text{C.}$ $45^{\circ}$
$\text{D.}$ $60^{\circ}$
如图, 平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $A B C D$ 是矩形, 其中 $A B=2, A D=$ $4, A A_1=3$, 且 $\angle A_1 A D=\angle A_1 A B=60^{\circ}$, 则线段 $A C_1$ 的长为
$\text{A.}$ $9$
$\text{B.}$ $\sqrt{29}$
$\text{C.}$ $\sqrt{47}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{3}$
已知正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的侧棱长为 3 , 底面边长为 2 , 则直线 $A B_1$ 与侧面 $A C C_1 A_1$ 所成角的正弦值等于
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{39}}{13}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{130}}{13}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
已知球 $O$ 的直径 $|P Q|=4, A, B, C$ 是球 $O$ 球面上的三点, $\triangle A B C$ 是等边三角形, 且 $\angle A P Q=\angle B P Q=\angle C P Q=30^{\circ}$, 则三棱椎 $P-A B C$ 的体积为
$\text{A.}$ $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
已知直线 $a, m, n, l$, 且 $m, n$ 为异面直线, $m \perp$ 平面 $\alpha, n \perp$ 平面 $\beta$. 若 $l$ 满足 $l \perp m$, $l \perp n$, 则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ $l / / \alpha$
$\text{B.}$ $l \perp \beta$
$\text{C.}$ 若 $\alpha \cap \beta=a$, 则 $a / / l$
$\text{D.}$ $\alpha \perp \beta$
过正四面体 $A B C D$ 的顶点 $A$ 作截面, 若满足: (1)截面是等腰三角形: (2)截面与底面 $B C D$ 成 $75^{\circ}$ 的二面角. 这样的截面个数为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 24
分别以锐角三角形 $A B C$ 的边 $A B, B C, A C$ 为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为 $\sqrt{3}: \sqrt{6}: 2$, 则 $\cos B=$
$\text{A.}$ $\frac{5 \sqrt{3}}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{12}$
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的各个顶点都在表面积为 $3 \pi$ 的球面上, 点 $P$ 为该球面上的任意一点, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 有无数个点 $P$, 使得 $A P / /$ 平面 $B D C_1$
$\text{B.}$ 有无数个点 $P$, 使得 $A P \perp$ 平面 $B D C_1$
$\text{C.}$ 若点 $P \in$ 平面 $B C C_1 B_1$, 则四棱相 $P-A B C D$ 的体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}+1}{6}$
$\text{D.}$ 若点 $P \in$ 平面 $B C C_1 B_1$, 则 $A P+P C_1$ 的最大值为 $\sqrt{6}$
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, P$ 为线段 $C_1 D_1$ 上的动点, 则三棱椎 $P-B C D$外接球半径的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{\sqrt{29}}{4}, 2\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\sqrt{21}}{4}, \sqrt{3}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{\sqrt{41}}{1}, \sqrt{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\sqrt{7}}{4}, \sqrt{3}\right]$
公元 656 年, 唐代李淳风注 《九章》时提到祖桓的 “开立圆术” . 祖桓在求球的体积时, 使用一个原理： “幂势既同, , 则积不容异” “幕” 是截面积, “势” 是立体的高, 意思是两个同高的立体, 如在等高处的截面积相等, 则体积相等. 更详细点说就是, 介于两个平行平面之间的两个立体, 被任一平行于这两个平面的平面所截, 如果两个截面的面积相等, 则这两个立体的体积相等. 上述原理在中国被称为 “祖峘原理”. $3 \mathrm{D}$ 打印技术发展至今, 已经能够满足少量个性化的打印需求, 现在用 $3 \mathrm{D}$ 打印技术打印了一个 “睡美人城堡” . 如图, 其在高度为 $h$ 的水平截面的面积 $\mathrm{S}$ 可以近似用函数 $S(h)=\pi(9-h)^2, h \in[0,9]$ 拟合, 则该 “睡美人城堡” 的体积约为
$\text{A.}$ $27 \pi$
$\text{B.}$ $81 \pi$
$\text{C.}$ $108 \pi$
$\text{D.}$ $243 \pi$
图 1 是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图, 它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成. 可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成, 且这三个菱形不在一个平面上. 研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形, 图 2 是一个菱形十二面体, 它是由十二个相同的菱形围成的几何体,也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱椎 (如图 3), 且平面 $A B C D$ 与平面 $A T B S$ 的夹角为 $45^{\circ}$,则 $\cos \angle A S B=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
设 $m, n$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 则下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m / / \alpha$, 则 $m \perp \beta$
$\text{B.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m \subset \alpha$, 则 $m \perp \beta$
$\text{C.}$ 若 $m / / \alpha, n \perp \alpha$, 则 $m \perp n$
$\text{D.}$ 若 $m \perp n, m / / \alpha$, 则 $n \perp \alpha$
点 $P$ 是边长为 1 的正六边形 $A B C D E F$ 边上的动点, 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的最大值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{11}{4}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\frac{13}{4}$
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 过点 $A$ 且以 $\overrightarrow{D B}_1$ 为法向量的平面为 $\alpha$, 则 $\alpha$ 截该正方体所得截面的形状为
$\text{A.}$ 三角形
$\text{B.}$ 四边形
$\text{C.}$ 五边形
$\text{D.}$ 六边形
已知 $m, n$ 是异面直线, $m \subset \alpha, n \subset \beta$, 那么
$\text{A.}$ 当 $m \perp \beta$, 或 $n \perp \alpha$ 时, $\alpha \perp \beta$
$\text{B.}$ 当 $m / / \beta$, 且 $n / / \alpha$ 时, $\alpha / / \beta$
$\text{C.}$ 当 $\alpha \perp \beta$ 时, $m \perp \beta$, 或 $n \perp \alpha$
$\text{D.}$ 当 $\alpha, \beta$ 不平行时, $m$ 与 $\beta$ 不平行, 且 $n$ 与 $\alpha$ 不平行
三棱椎 $A-B C D$ 中, $A B \perp B D, A B \perp C D, B D \perp C D$. 若 $A B=3, A C=5$, 则该三棱椎体积的最大值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 12
在四棱椎 $P-A B C D$ 中, $A D / / B C, A D=2 B C$, 则下列结论中不成立的是
$\text{A.}$ 平面 $P A B$ 内任意一条直线都不与 $C D$ 平行
$\text{B.}$ 平面 $P C D$ 内存在无数条直线与平面 $P A B$ 平行
$\text{C.}$ 平面 $P C D$ 和平面 $P A B$ 的交线不与底面 $A B C D$ 平行
$\text{D.}$ 平面 $P B C$ 和平面 $P A D$ 的交线不与底面 $A B C D$ 平行
已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内, 并且对于空间任意一点 $O$, 都有 $\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{O A}-\frac{1}{6} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O C}$, 则 $x$ 的值是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{6}$
二、多选题 （共 20 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
三棱锥 $P-A B C$ 中, $A B=2 \sqrt{2}, B C=1, A B \perp B C$, 直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $30^{\circ}$, 直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $60^{\circ}$, 则下列说法中正确的有
$\text{A.}$ 三棱雉 $P-A B C$ 体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ 三棱锥 $P-A B C$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\text{C.}$ 直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角取到最小值时, 二面角 $P-B C-A$ 的平面角为锐角
$\text{D.}$ 直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角取到最小值时, 二面角 $P-A B-C$ 的平面角为钝角
正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $1, M$ 为侧面 $A A_1 D_1 D$ 上的点, $N$ 为侧面 $C C_1 D_1 D$ 上的点, 则下 列判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $B M=\frac{\sqrt{5}}{2}$, 则 $M$ 到直线 $A_1 D$ 的距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ 若 $B_1 N \perp A C_1$, 则 $N \in C D_1$, 且直线 $B_1 N / /$ 平面 $A_1 B D$
$\text{C.}$ 若 $M \in A_1 D$, 则 $B_1 M$ 与平面 $A_1 B D$ 所成角正弦的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ 若 $M \in A_1 D, N \in C D_1$, 则 $M, N$ 两点之间距离的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
已知 $C D$ 是圆柱 $O O_1$ 下底面圆 $O_1$ 的直径, 等腰梯形 $A B C D$ 内接于圆 $O_1$, 且 $2 A D=$ $C D=O O_1=4$, 若点 $Q$ 为上底面圆 $O$ 内 (含边界) 一点, 则
$\text{A.}$ $\triangle A B Q$ 的周长为定值
$\text{B.}$ 三棱椎 $A-B C Q$ 的体积为定值
$\text{C.}$ 三棱椎 $O-A C O_1$ 外接球的表面积为 $60 \pi$
$\text{D.}$ 直线 $A Q$ 与平面 $A C O_1$ 所成角的最小值为 $45^{\circ}$
如图, 在直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 底面 $A B C D$ 为菱形, 且 $D E \perp A_1 C$, 垂足为 $E$, 则
$\text{A.}$ $A A_1 \perp B D$
$\text{B.}$ $A A_1 / /$ 平面 $B D E$
$\text{C.}$ 平面 $B D E \perp$ 平面 $A_1 C D$
$\text{D.}$ $B E \perp$ 平面 $A_1 C D$