试卷1-数学组卷-自助组卷

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试卷1

数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

f (x) = 2 f (4 - x) - x^{2} + 2 x - 1

, 则

y = f (x)

在

(2, f (2))

处的切线方程为 ( )

A.

2 x - y - 3 = 0

B.

2 x + 3 y + 7 = 0

C.

2 x - y + 3 = 0

D.

2 x + 3 y - 7 = 0

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2. 如图, 已知

F_{1}, F_{2}

分别为双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左右焦点, 过

F_{1}

的直线与双曲线

C

的左支交于

A 、 B

两点, 连接

A F_{2}, B F_{2}

, 在

△ A B F_{2}

中,

A B = B F_{2}, \cos ∠ A B F_{2} = \frac{31}{32}

, 则双曲线的离心率为（）

A.

2

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

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3. 若直线

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

与圆

x^{2} + y^{2} = 1

有公共点, 则（）

A.

a^{2} + b^{2} ⩽ 1

B.

a^{2} + b^{2} ⩾ 1

C.

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ⩽ 1

D.

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ⩾ 1

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4. 已知双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的渐近线与抛物线

y = x^{2} + 1

相切, 则该双曲线的离心率为（　　）

A.

\sqrt{3}

B.

2

C.

\sqrt{5}

D.

\sqrt{6}

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5. 已知直线

y = x + 1

与曲线

y = \ln (x + a)

相切, 则

a

的值为（　　）

A.

1

B.

2

C.

- 1

D.

- 2

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6. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1

的右焦点为

F

, 右准线为

I

, 点

A \in I

, 线段

AF

交

C

于点

B

, 若

\vec{F A} = 3 \vec{F B}

, 则

| \vec{A F} | = ()

A.

\sqrt{2}

B.

C.

\sqrt{3}

D.

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7. 曲线

y = \frac{x}{x + 2}

在点

(- 1, - 1

) 处的切线方程为（）

A.

y = 2 x + 1

B.

y = 2 x - 1

C.

y = - 2 x - 3

D.

y = - 2 x - 2

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8. 已知双曲线

E

的中心为原点,

P (3, 0)

是

E

的焦点, 过

P

的直线

I

与

E

相交于

A, B

两点, 且

A B

的中点为

N (- 12, - 15)

, 则

E

的方程式为（ )

A.

\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1

B.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1

C.

\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1

D.

\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1

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9. 设直线

I

过双曲线

C

的一个焦点, 且与

C

的一条对称轴垂直,

I

与

C

交于

A, B

两点,

| A B |

为

C

的实轴长的 2 倍, 则

C

的离心率为（）

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

D.

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10. 由曲线

y = \sqrt{x}

, 直线

y = x - 2

及

y

轴所围成的图形的面积为 ( )

A.

\frac{10}{3}

B.

C.

\frac{16}{3}

D.

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11. 函数

y = \frac{1}{1 - x}

的图象与函数

y = 2 \sin π x, (- 2 ⩽ x ⩽ 4)

的图象所有交点的横坐标之和等于（）

A.

B.

C.

D.

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12. 设

F_{1} 、 F_{2}

是椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点,

P

为直线

x =

\frac{3 a}{2}

上一点,

△ F_{2} P F_{1}

是底角为

30^{\circ}

的等腰三角形, 则

E

的离心率为（　　）

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{4}{5}

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13. 等轴双曲线

C

的中心在原点, 焦点在

x

轴上,

C

与抛物线

y^{2} = 16 x

的准线交于点

A

和点

B, | A B | = 4 \sqrt{3}

, 则

C

的实轴长为（　　）

A.

\sqrt{2}

B.

2 \sqrt{2}

C.

D.

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14. 已知双曲线

c : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为

\frac{\sqrt{5}}{2}

, 则

c

的渐近线方程为 ( )

A.

y = \pm \frac{1}{4} x

B.

y = \pm \frac{1}{3} x

C.

y = \pm x

D.

y = \pm \frac{1}{2} x

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15. 已知椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F (3, 0)

, 过点

F

的直线交椭圆

E

于

A 、 B

两点. 若

A B

的中点坐标为

(1, - 1)

, 则

E

的方程为 ( )

A.

\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{36} = 1

B.

\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1

C.

\frac{x^{2}}{27} + \frac{y^{2}}{18} = 1

D.

\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1

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16. 已知

F

为双曲线

C : x^{2} - m y^{2} = 3 m (m > 0)

的一个焦点, 则点

F

到

C

的一条渐近线的距离为（）

A.

\sqrt{3}

B.

C.

\sqrt{3} m

D.

3 m

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17. 已知抛物线

C : y^{2} = 8 x

的焦点为

F

, 准线为

I, P

是

I

上一点,

Q

是直线

P F

与

C

的一个交点, 若

\vec{F P} = 4 \vec{F Q}

, 则

| Q F | = ()

A.

\frac{7}{2}

B.

C.

\frac{5}{2}

D.

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18. 已知

M (x_{0}, y_{0})

是双曲线

C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1

上的一点,

F_{1}, F_{2}

是

C

的左、右两个焦点, 怘

\vec{{MF}_{1}} \cdot \vec{{MF}_{2}} < 0

, 则

y_{0}

的取值范围是（）

A.

(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})

B.

(\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6})

C.

(- \frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})

D.

(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})

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19. 已知方程

\frac{x^{2}}{m^{2} + n} - \frac{y^{2}}{3 m^{2} - n} = 1

表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为 4, 则

n

的取值范围是（）

A.

(- 1, 3)

B.

(- 1, \sqrt{3})

C.

(0, 3)

D.

(0, \sqrt{3})

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20. 以抛物线

C

的顶点为圆心的圆交

C

于

A 、 B

两点, 交

C

的准线于

D

、

E

两点. 已知

| A B | = 4 \sqrt{2}, | D E | = 2 \sqrt{5}

, 则

C

的焦点到准线的距离为（ )

A.

B.

C.

D.

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21. 已知

F

为抛物线

C : y^{2} = 4 x

的焦点, 过

F

作两条互相垂直的直线

l_{1}

I_{2}

, 直线

l_{1}

与

C

交于

A 、 B

两点, 直线

I_{2}

与

C

交于

D 、 E

两点, 则

| A B | + | D E |

的最小值为 ( )

A.

B.

C.

D.

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22. 设函数

f (x) = x^{3} + (a - 1) x^{2} + a x

. 若

f (x)

为奇函数, 则曲线

y = f (

x)

在点

(0, 0)

处的切线方程为 ( )

A.

y = - 2 x

B.

y = - x

C.

y = 2 x

D.

y = x

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23. 设抛物线

C : y^{2} = 4 x

的焦点为

F

, 过点

(- 2, 0)

且斜率为

\frac{2}{3}

的直线与

C

交于

M, N

两点, 则

\vec{FM} \cdot \vec{FN} = ()

A.

B.

C.

D.

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24. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形

A B C

的斜边

B C

, 直角边

A B, A C

△ ABC

的三边所围成的区域记为 I, 黑色部分记为 II, 其余部分记为吕. 在整个图形中随机取一点, 此点取自

I, II

, III的概率分别记为

p_{1}, p_{2}, p_{3}

, 则 ( )

A.

p_{1} = p_{2}

B.

p_{1} = p_{3}

C.

p_{2} = p_{3}

D.

p_{1} = p_{2} + p_{3}

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25. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1, O

为坐标原点,

F

为

C

的右焦点, 过

F

的直线与

C

的两条渐近线的交点分别为

M, N

. 若

△ O M N

为直.角三角形, 则

| MN | = ()

A.

\frac{3}{2}

B.

C.

2 \sqrt{3}

D.

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26. 已知

A

为抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

上一点, 点

A

到

C

的焦点的距离为 12 , 到

y

轴的距离为 9 , 则

p = ()

A.

B.

C.

D.

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27. 函数

f (x) = x^{4} - 2 x^{3}

的图像在点

(1, f (1))

处的切线方程为( )

A.

y = - 2 x - 1

B.

y = - 2 x + 1

C.

y = 2 x - 3

D.

y = 2 x + 1

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28. 已知

⊙ M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0

, 直线

l : 2 x + y + 2 = 0, P

为

l

上的动点, 过点

P

作

⊙ M

的切线

P A, P B

, 切点为

A, B

, 当

| P M | \cdot | A B |

最小时, 直线

A B

的方程为( )

A.

2 x - y - 1 = 0

B.

2 x + y - 1 = 0

C.

2 x - y + 1 = 0

D.

2 x + y + 1 = 0

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29. 沈括的《梦溪笑谈》是中国古代科技史上的杰作, 其中收灵了计算损弧长度的 “会圆术”, 如图,

A B

是以为

O

貮心,

O A

为半径的圆弧,

C

是

A B

的中点,

D

在

A B

"会圆术"给出

A B

的弧长的近似值

s

的计算公式:

s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}

. 当

O A = 2, ∠ A O B = 60^{\circ}

时,

s =

A.

\frac{11 - 3 \sqrt{3}}{2}

B.

\frac{11 - 4 \sqrt{3}}{2}

C.

\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}

D.

\frac{9 - 4 \sqrt{3}}{2}

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30. 椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的厇页点为

A

, 点

P, Q

均在

C

上, 且旲于

y

轴对称. 若直线

A P, A Q

的斜率之积为

\frac{1}{4}

, 则的离心率为

A.

\frac{\sqrt{3}}{2}

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{3}

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31. 已知

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})

区间在

(0, π)

上恰有三个极值点, 两个零点, 则

ω

的取值范围为

A.

[\frac{5}{3}, \frac{13}{6})

B.

[\frac{5}{3}, \frac{19}{6})

C.

(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}]

D.

(\frac{13}{6}, \frac{19}{6}]

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32. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}

分别为

C

的左、右顶点,

B

为

C

的上顶点. 若

\vec{B A_{1}} \cdot \vec{B A_{2}} = - 1

, 则

C

的方程为 ( )

A.

\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{16} = 1

B.

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1

C.

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1

D.

\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1

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33. “

k < 2

”是“方程

\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{k - 9} = 1

表示双曲线”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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34. 设双曲线

C

的方程为

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

, 过抛物线

y^{2} = 4 x

的焦点和点

(0, b)

的直线为

l

. 若

C

的一条渐近线与

l

平行, 另一条渐近线与

l

垂直, 则双曲线

C

的方程为（）

A.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1

B.

x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1

C.

\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

D.

x^{2} - y^{2} = 1

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35. 已知直线

l

的方程为

\sqrt{3} x - y + 1 = 0

, 则直线

l

的倾斜角为 ( )

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{2 π}{3}

D.

\frac{5 π}{6}

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36. 与椭圆

9 x^{2} + 4 y^{2} = 36

有相同的焦点, 且短半轴长为

2 \sqrt{5}

的椭圆方程是（）

A.

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1

B.

\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{20} = 1

C.

\frac{y^{2}}{45} + \frac{x^{2}}{20} = 1

D.

\frac{y^{2}}{85} + \frac{x^{2}}{80} = 1

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37. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 准线为

l

, 点

A, B

在抛物线

C

上, 且满足

A F ⊥ B F

. 设线段

A B

的中点到准线的距离为

d

, 则

\frac{| A B |}{d}

的最小值为（）

A.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

B.

\sqrt{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\sqrt{2}

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38. 渐近线方程为

x \pm y = 0

的双曲线的离心率是

A.

\frac{\sqrt{2}}{2}

B.

C.

\sqrt{2}

D.

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39. 已知直线

y = k x (k > 0)

与圆

C : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4

相交于

A, B

两点

| A B | = 2 \sqrt{3}

, 则

k = (

)

A.

\frac{1}{5}

B.

\frac{4}{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{5}{12}

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40. 如图 1 所示, 双曲线具有光学性质; 从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射, 其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 若双曲线

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 从

F_{2}

发出的光线经过图 2 中的

A, B

两点反射后, 分别经过点

C

和

D

, 且

\cos ∠ B A C = - \frac{3}{5}, A B ⊥ B D

, 则

E

的离心率为（）

A.

\frac{\sqrt{5}}{2}

B.

\frac{\sqrt{17}}{3}

C.

\frac{\sqrt{10}}{2}

D.

\sqrt{5}

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