一、单选题 （共 42 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$f(x)=2 f(4-x)-x^{2}+2 x-1$, 则 $y=f(x)$ 在 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 ( )
$\text{A.}$ $2 x-y-3=0$
$\text{B.}$ $2 x+3 y+7=0$
$\text{C.}$ $2 x-y+3=0$
$\text{D.}$ $2 x+3 y-7=0$
如图, 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点, 过 $F_{1}$ 的直线与双 曲线 $C$ 的左支交于 $A 、 B$ 两点, 连接 $A F_{2}, B F_{2}$, 在 $\triangle A B F_{2}$ 中, $A B=B F_{2}, \cos \angle A B F_{2}=\frac{31}{32}$, 则双曲线的离心率为 （ ）
$\text{A.}$ $2$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 有公共点, 则（ ）
$\text{A.}$ $a^{2}+b^{2} \leqslant 1$
$\text{B.}$ $a^{2}+b^{2} \geqslant 1$
$\text{C.}$ $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \leqslant 1$
$\text{D.}$ $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geqslant 1$
已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相 切, 则该双曲线的离心率为 （ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
已知直线 $y=x+1$ 与曲线 $y=\ln (x+a)$ 相切, 则 $a$ 的值为 （ ）
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $-2$
已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 的右焦点为 $\mathrm{F}$, 右准线为 $\mathrm{I}$, 点 $\mathrm{A} \in \mathrm{I}$, 线段 $\mathrm{AF}$ 交 $C$ 于点 $B$, 若 $\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F B}$, 则 $|\overrightarrow{A F}|=(\quad)$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 3
曲线 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+2}$ 在点 $(-1,-1$ ) 处的切线方程为（）
$\text{A.}$ $y=2 x+1$
$\text{B.}$ $y=2 x-1$
$\text{C.}$ $y=-2 x-3$
$\text{D.}$ $y=-2 x-2$
已知双曲线 $E$ 的中心为原点, $P(3,0)$ 是 $E$ 的焦点, 过 $P$ 的直线$I$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点, 且 $A B$ 的中点为 $N(-12,-15)$, 则 $E$ 的方程式为（ )
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$
设直线 $I$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点, 且与 $C$ 的一条对称轴垂直, $I$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $|A B|$ 为 $C$ 的实轴长的 2 倍, 则 $C$ 的离心率为（）
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
由曲线 $y=\sqrt{x}$, 直线 $y=x-2$ 及 $y$ 轴所围成的图形的面积为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{10}{3}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $\frac{16}{3}$
$\text{D.}$ 6
函数 $\mathrm{y}=\frac{1}{1-\mathrm{x}}$ 的图象与函数 $\mathrm{y}=2 \sin \pi \mathrm{x}, \quad(-2 \leqslant \mathrm{x} \leqslant 4)$ 的图象所有交点 的横坐标之和等于（）
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
设 $F_{1} 、 F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点, $P$ 为直线 $x=$ $\frac{3 \mathrm{a}}{2}$ 上一点, $\triangle \mathrm{F}_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形, 则 $\mathrm{E}$ 的离心率为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
等轴双曲线 $C$ 的中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上, $C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的 准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$, 则 $C$ 的实轴长为 （ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
已知双曲线 $c: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$, 则 $c$ 的渐 近线方程为 ( )
$\text{A.}$ $y=\pm \frac{1}{4} x$
$\text{B.}$ $y=\pm \frac{1}{3} x$
$\text{C.}$ $y=\pm x$
$\text{D.}$ $y=\pm \frac{1}{2} x$
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$, 过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A 、 B$ 两点. 若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$, 则 $E$ 的方程 为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{36}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{18}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$
已知 $F$ 为双曲线 $C: x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$ 的一个焦点, 则点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为（）
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\sqrt{3} \mathrm{~m}$
$\text{D.}$ $3 m$
已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$, 准线为 $I, P$ 是 $I$ 上一点, $Q$ 是直 线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点, 若 $\overrightarrow{F P}=4 \overrightarrow{F Q}$, 则 $|Q F|=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{7}{2}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 2
已知 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ 上的一点, $F_{1}, F_{2}$ 是 $C$ 的左、 右两个焦点, 怘 $\overrightarrow{\mathrm{MF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MF}_{2}} < 0$, 则 $\mathrm{y}_{0}$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$
已知方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}+n}-\frac{y^{2}}{3 m^{2}-n}=1$ 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距 离为 4, 则 $\mathrm{n}$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(-1,3)$
$\text{B.}$ $(-1, \sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(0,3)$
$\text{D.}$ $(0, \sqrt{3})$
以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A 、 B$ 两点, 交 $C$ 的准线于 $D$ 、 $E$ 两点. 已知 $|A B|=4 \sqrt{2},|D E|=2 \sqrt{5}$, 则 $C$ 的焦点到准线的距离为（ )
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
已知 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, 过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$, $I_{2}$, 直线 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点, 直线 $I_{2}$ 与 $C$ 交于 $D 、 E$ 两点, 则 $|A B|+|D E|$ 的 最小值为 ( )
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ 14
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 10
设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$. 若 $f(x)$ 为奇函数, 则曲线 $y=f($ $x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 ( )
$\text{A.}$ $y=-2 x$
$\text{B.}$ $y=-x$
$\text{C.}$ $y=2 x$
$\text{D.}$ $y=x$
设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$, 过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$ 交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点, 则 $\overrightarrow{\mathrm{FM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FN}}=(\quad)$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个 半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$, 直角边 $A B, A C$ - $\triangle \mathrm{ABC}$ 的三边所围成的区域记为 I, 黑色部分记为 II, 其余部分记为吕. 在 整个图形中随机取一点, 此点取自 $\mathrm{I}, \mathrm{II}$, III的概率分别记为 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $\mathrm{p}_{1}=\mathrm{p}_{2}$
$\text{B.}$ $\mathrm{p}_{1}=\mathrm{p}_{3}$
$\text{C.}$ $\mathrm{p}_{2}=\mathrm{p}_{3}$
$\text{D.}$ $\mathrm{p}_{1}=\mathrm{p}_{2}+\mathrm{p}_{3}$
已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1, O$ 为坐标原点, $F$ 为 $C$ 的右焦点, 过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M, N$. 若 $\triangle O M N$ 为直.角三角形, 则 $|\mathrm{MN}|=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ 4
已知 $A$ 为抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 上一点, 点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 12 , 到 $y$ 轴的距离为 9 , 则 $p=()$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 9
函数 $f(x)=x^{4}-2 x^{3}$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为( )
$\text{A.}$ $y=-2 x-1$
$\text{B.}$ $y=-2 x+1$
$\text{C.}$ $y=2 x-3$
$\text{D.}$ $y=2 x+1$
已知 $\odot M: x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-2=0$, 直线 $l: 2 x+y+2=0, P$ 为 $l$ 上的动点, 过点 $P$ 作 $\odot M$ 的切 线 $P A, P B$, 切点为 $A, B$, 当 $|P M| \cdot|A B|$ 最小时, 直线 $A B$ 的方程为( )
$\text{A.}$ $2 x-y-1=0$
$\text{B.}$ $2 x+y-1=0$
$\text{C.}$ $2 x-y+1=0$
$\text{D.}$ $2 x+y+1=0$
沈括的《梦溪笑谈》是中国古代科技史上的杰作, 其中收灵了计算损弧长度的 “会 圆术”, 如图, $A B$ 是以为 $O$ 貮心, $O A$ 为半径的圆弧, $C$ 是 $A B$ 的中点, $D$ 在 $A B \mathrm{}$ "会圆术"给出 $A B$ 的弧长的近似值 $s$ 的计算公式: $s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}$. 当 $O A=2, \angle A O B=60^{\circ}$ 时, $s=$
$\text{A.}$ $\frac{11-3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{11-4 \sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{9-3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9-4 \sqrt{3}}{2}$
椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的厇页点为 $A$, 点 $P, Q$ 均在 $C$ 上, 且旲于 $y$ 轴对称. 若 直线 $A P, A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$, 则的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ 区间在 $(0, \pi)$ 上恰有三个极值点, 两个零点, 则 $\omega$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{5}{3}, \frac{13}{6}\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{5}{3}, \frac{19}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{13}{6}, \frac{19}{6}\right]$
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点, $B$ 为 $C$ 的上顶点. 若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$, 则 $C$ 的方程为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{16}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
“ $k < 2$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{25-k}+\frac{y^{2}}{k-9}=1$ 表示双曲线”的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$, 过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为 $l$. 若 $C$ 的一 条渐近线与 $l$ 平行, 另一条渐近线与 $l$ 垂直, 则双曲线 $C$ 的方程为（）
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$
$\text{B.}$ $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
$\text{D.}$ $x^{2}-y^{2}=1$
已知直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{3} x-y+1=0$, 则直线 $l$ 的倾斜角为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
与椭圆 $9 x^{2}+4 y^{2}=36$ 有相同的焦点, 且短半轴长为 $2 \sqrt{5}$ 的椭圆方程是（）
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{20}=1$
$\text{B.}$ $\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{20}=1$
$\text{C.}$ $\frac{y^{2}}{45}+\frac{x^{2}}{20}=1$
$\text{D.}$ $\frac{y^{2}}{85}+\frac{x^{2}}{80}=1$
已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l$, 点 $A, B$ 在抛物线 $C$ 上, 且满足 $A F \perp B F$. 设线段 $A B$ 的中点到准线的距离为 $d$, 则 $\frac{|A B|}{d}$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
渐近线方程为 $x \pm y=0$ 的双曲线的离心率是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 2
已知直线 $y=k x(k>0)$ 与圆 $C:(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4$ 相交于 $A, B$ 两点 $|A B|=2 \sqrt{3}$, 则 $k=($ )
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
如图 1 所示, 双曲线具有光学性质; 从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射, 其反射光线的反 向延长线经过双曲线的左焦点. 若双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 从 $F_{2}$ 发 出的光线经过图 2 中的 $A, B$ 两点反射后, 分别经过点 $C$ 和 $D$, 且 $\cos \angle B A C=-\frac{3}{5}, A B \perp B D$, 则 $E$ 的 离心率为（）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{17}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$