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试卷0

数学

一、单选题（共 34 题），每题只有一个选项正确

1. 设椭圆

C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1), C_{2} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

的离心率分别为

e_{1}, e_{2}

. 若

e_{2} = \sqrt{3} e_{1}

, 则

a =

A.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

\sqrt{6}

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2. 过点

(0, - 2)

与圆

x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0

相切的两条切线的夹角为

α

, 则

\sin α =

A.

B.

\frac{\sqrt{15}}{4}

C.

\frac{\sqrt{10}}{4}

D.

\frac{\sqrt{6}}{4}

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3. 已知双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为

\sqrt{5}

，其中一条渐近线与圆

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1

交于

A ， B

两点, 则

| A B | =

A.

\frac{1}{5}

B.

\frac{\sqrt{5}}{5}

C.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

D.

\frac{4 \sqrt{5}}{5}

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4. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1 ， F 1 、 F 2

为两个焦点，

O

为原点，

P

为椭有圆上一点，

\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}

，则

| O P | =

A.

\frac{2}{5}

B.

\frac{\sqrt{30}}{2}

C.

\frac{3}{5}

D.

\frac{\sqrt{35}}{2}

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5. 设

A, B

为双曲线

x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1

上两点, 下列四个点中, 可为线段

A B

中点的是

A.

(1, 1)

B.

(- 1, 2)

C.

(1, 3)

D.

(- 1, - 4)

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6. 在平面上, 若曲线

Γ

具有如下性质: 存在点

M

, 使得对于任意点

P \in Γ

, 都有

Q \in Γ

使得

| P M | \cdot | Q M | = 1

,
则称这条曲线为 “自相关曲线” . 关于以下两个结论, 正确的判断是 ( )
(1) 所有椭圆都为 “自相关曲线” ; (2)存在双曲线是 “自相关曲线” .

A.

(1)成立, (2)成立;

B.

(1)成立, (2)不成立;

C.

(1)不成立, (2)成立;

D.

(1)不成立, (2)不成立.

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7. 已知圆

x^{2} + y^{2} = 144

, 点

S (a^{5} - a, b^{5} - b)

, 其中

a, b \in Z

, 则下列判断正确的是

A.

存在

a, b \in Z

, 使得

S

在圆内

B.

存在

a, b \in Z

, 使得

S

在圆上

C.

存在无穷组

a, b \in Z

, 使得

S

在园外且

S

关于圆的切点弦所在的直线过整点.

D.

存在一组

a, b \in Z

, 使得

S

在园外且

S

关于圆的切点弦所在的直线过整点

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8. 设椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

, 过点

(0, - 1)

的直线交椭圆于

A, B

两点, 过椭圆上一点

P

作

x

轴的平行线, 于

A B

交于

Q

点, 记

S_{1} = S_{△ A P Q}, S_{2} = S_{△ B P Q}

, 满足

S_{1} \cdot | A Q | = S_{2} \cdot | B Q |

, 则

A.

若

\frac{S_{1}}{S_{2}}

为定值, 则

\frac{k_{A B}}{k_{O P}}

为定值

B.

若

S_{1} S_{2}

为定值,则

k_{A B} k_{O P}

为定值

C.

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{k_{A B}}{k_{O P}}

D.

\frac{S_{1} S_{2}}{k_{A B} k_{O P}}

为定值

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9. 双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1} 、 F_{2}

. 过

F_{2}

作其中一条渐近线的垂线, 垂足为

P

. 已知

P F_{2} = 2

, 直线

P F_{1}

的斜率为

\frac{\sqrt{2}}{4}

, 则双曲线的方程为

A.

\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1

B.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1

C.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1

D.

\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1

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10. 若直线

l : k x - y + 2 - k = 0

与圆

C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0

交于

A, B

两点, 则当

△ A B C

周长最小时,

k =

A.

\frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

D.

-1

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11. 设

P

是双曲线

\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1

上一点,

F_{1}, F_{2}

分别是双曲线左、右两个焦点, 若

| P F_{1} | = 9

, 则

| P F_{2} |

等于

A.

B.

C.

D.

1 或 17

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12. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为

\frac{2 π}{3}

, 弧长为

2 π

的扇形, 则该圆雉轴截面的面积

S =

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{5}

C.

2 \sqrt{2}

D.

2 \sqrt{5}

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13. 已知直线

l_{1}

的方程为:

x + a y - 2 = 0

, 直线

l_{2}

的方程为:

2 x - y + 1 = 0

, 若

l_{1} ⊥ l_{2}

, 则直线

l_{1}

与

l_{2}

的交点坐标为

A.

(- \frac{4}{3}, - \frac{5}{3})

B.

(0, 1)

C.

(2, 5)

D.

(\frac{3}{4}, \frac{5}{2})

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14. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 抛物线

C

上的两点

P, Q

均在第一象限, 且

| P Q | = 2, | P F | = 3

| Q F | = 4

, 则直线

P Q

的斜率为

A.

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

\sqrt{5}

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15. 已知从点

A (6, 1)

射出的光线经直线

x + y + 1 = 0

上的点

M

反射后经过点

B (3, 2)

, 则

| A M | + | B M | =

A.

\sqrt{10}

B.

\sqrt{106}

C.

\sqrt{105}

D.

3 \sqrt{10}

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16. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, O

为坐标原点,

P

为双曲线在第一象限上的点, 直线

P O 、 P F_{2}

分别交双曲线

C

的左、右支于

M, N

, 若

| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |

, 且

∠ M F_{2} N = 120^{\circ}

, 则双曲线的离心率为

A.

\frac{\sqrt{5}}{2}

B.

\frac{\sqrt{13}}{2}

C.

D.

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17. 过双曲线

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左焦点

F

作圆

x^{2} + y^{2} = a^{2}

的一条切线, 设切点为

T

, 该切线与双曲线

E

在第一象限交于点

A

, 若

\vec{F A} = 3 \vec{F T}

, 则双曲线

E

的离心率为

A.

\sqrt{3}

B.

\sqrt{5}

C.

\frac{\sqrt{13}}{2}

D.

\frac{\sqrt{15}}{2}

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18. 已知直线

l

过抛物线

C : y^{2} = 4 x

的焦点

F

, 与抛物线

C

交于

A B

两点, 且

| A B |, | A F |, | B F |

成等差数列, 则直线

l

的斜率

k =

A.

\pm 1

B.

\pm \sqrt{2}

C.

\pm 2

D.

\pm 2 \sqrt{2}

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19. 若过点

(a, b) (a > 0)

可以作物线

y = x^{3} - 3 x

的三条切线, 则

A.

b < - 3 a

B.

- 3 a < b < a^{3}

C.

b > a^{3} - 3 a

D.

b = - 3 a

或

b = a^{3} - 3 a

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20. 在平面直角坐标系中, 过直线

2 x - y - 3 = 0

上一点

P

作圆

O : x^{2} + 2 x + y^{2} = 1

的两条切线, 切点分别为

A 、 B

, 则

\sin ∠ A P B

的最大值为

A.

\frac{2 \sqrt{6}}{5}

B.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

C.

\frac{\sqrt{6}}{5}

D.

\frac{\sqrt{5}}{5}

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21. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别是

F_{1}, F_{2}

, 点

P

是椭圆

C

上位于第一象限的一点, 且

P F_{2}

与

y

轴平行, 直线

P F_{1}

与

C

的另一个交点为

Q

, 若

2 \vec{P F_{1}} = 5 \vec{F_{1} Q}

, 则

C

的离心率为

A.

\frac{\sqrt{21}}{7}

B.

\frac{\sqrt{33}}{11}

C.

\frac{\sqrt{7}}{7}

D.

\frac{\sqrt{21}}{11}

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22. 设椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1} 、 F_{2}, P

是椭圆上一点,

| P F_{1} | = λ | P F_{2} |

\frac{1}{2} ⩽ λ ⩽ 2, ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}

, 则椭圆离心率的取值范围为

A.

(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]

B.

[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{3}]

C.

[\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}]

D.

[\frac{\sqrt{5}}{3}, 1)

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23. 设椭圆

C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1), C_{2} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

的离心率分别为

e_{1}, e_{2}

. 若

e_{2} = \sqrt{3} e_{1}

, 则

a =

A.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

\sqrt{6}

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24. 过点

(0, - 2)

与圆

x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0

相切的两条直线的夹角为

α

, 则

\sin α =

A.

1

B.

\frac{\sqrt{15}}{4}

C.

\frac{\sqrt{10}}{4}

D.

\frac{\sqrt{6}}{4}

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25. 已知直线

a x + b y - 1 = 0

在

y

轴上的截距为 -1 , 且它的倾斜角为

\frac{π}{4}

, 则

a - b =

A.

B.

C.

-2

D.

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26. 已知常数

a, b \in R

, 且

a, b

不全为零, 若直线

a x + b y = 1

与圆

C : x^{2} + y^{2} = 1

相交, 则点

P (a, b)

与圆

C

的位置关系是

A.

点在圆内

B.

点在圆上

C.

点在圆外

D.

随

a 、 b

取值的变化而变化

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27.

\sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}

可以转化为平面上

M (x, y)

点与点

N (a, b)

之间的距离. 结合上述观点, 可得

f (x) = \sqrt{x^{2} + 8 x + 20} + \sqrt{x^{2} + 4 x + 20}

的最小值为

A.

\sqrt{29}

B.

2 \sqrt{10}

C.

\sqrt{31}

D.

2 + \sqrt{13}

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28. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起, 故也被称为“阴阳鱼太极图”. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”, 图中曲线为圆或半圆, 已知点

P (x, y)

是阴影部分 (包括边界) 的动点, 则

\frac{y}{x - 2}

的最小值为

A.

- \frac{2}{3}

B.

- \frac{3}{2}

C.

- \frac{4}{3}

D.

- 1

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29. 汉代初年成书的《淮南万毕术》记载: “取大镜高悬, 置水盆于下, 则见四邻矣”. 这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例, 体现了传统文化中的数学智慧. 在平面直角坐标系

x O y

中, 一条光线从点

(- 2, 0)

射出, 经

y

轴反射后的光线所在的直线与圆

x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0

相切, 则反射光线所在直线的斜率为

A.

-1

B.

-1 或 1

C.

D.

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30. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0), F

为抛物线

C

的焦点,

P

为抛物线

C

上的动点 (不含原点),

⊙ F

的半径为

\frac{p}{2}

, 若

⊙ P

与

⊙ F

外切, 则

A.

⊙ P

与直线

x = 0

相切

B.

⊙ P

与直线

y = 0

相切

C.

⊙ P

与直线

x = - \frac{p}{2}

相切

D.

⊙ P

与直线

y = - \frac{p}{2}

相切

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31. 已知

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})

是抛物线

C : x^{2} = 8 y

上的两点, 且直线

A B

经过

C

的焦点, 若

y_{1} +

y_{2} = 12

, 则

| A B | =

A.

B.

C.

D.

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32. 抛物线

y^{2} = p x (p > 0)

的焦点到准线的距离为 1 , 则

p =

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

D.

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33. 已知双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左焦点为

F

, 离心率为

\sqrt{2}

. 若

F

到双曲线的一条渐近线的距离为 2 , 则双曲线的力程为

A.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1

B.

\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1

C.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1

D.

\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8} = 1

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34. 已知抛物线

C : x^{2} = 4 y

的焦点为

F

, 过点

F

作两条互相垂直的直线

l_{1}, l_{2}, l_{1}

与

C

交于

P, Q

两点,

l_{2}

与

C

交于

M, N

两点, 设

△ P O Q

的面积为

S_{1}, △ M O N

的面积为

S_{2}

(

O

为坐标原点), 则

S_{1}^{2} + S_{2}^{2}

的最小值为

A.

B.

C.

D.

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二、多选题（共 6 题），每题有多个选项正确

35. 矩形

A B C D

中,

E

为边

A B

的中点, 将

△ A D E

沿直线

D E

翻转成

△ A_{1} D E

. 若

M

为线段

A_{1} C

的中点, 则在

△ A D E

翻转过程中, 正确的命题是

A.

| B M |

是定值

B.

点

M

在圆上运动

C.

一定存在某个位置,使

D E ⊥ A_{1} C

D.

一定存在某个位置,使

M B / /

平面

A_{1} D

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36. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 其一条渐近线为

y = \sqrt{3} x

, 直线

l

过点

F_{2}

且与双曲线

C

的右支交于

A, B

两点,

M, N

分别为

△ A F_{1} F_{2}

和

△ B F_{1} F_{2}

的内心, 则

A.

直线

l

倾斜角的取值范围为

(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})

B.

点

M

与点

N

始终关于

x

轴对称

C.

三角形

M N F_{2}

为直角三角形

D.

三角形

M N F_{2}

面积的最小值为

a^{2}

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37. 已知圆

M : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0

, 以下结论正确的是

A.

过点

A (1, 2)

与圆

M

相切的直线方程为

x = 1

B.

圆

M

与圆

N : (x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 1

相交

C.

过点

(1, 1)

可以作两条直线与圆

M

相切

D.

圆

M

上的点到直线

4 x - 3 y + 5 = 0

的距离的最大值为 3

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38. 在平面直角坐标系

x O y

中, 点

F

是抛物线

C : y^{2} = a x (a > 0)

的焦点, 两点

A (\frac{a}{16}, 1), B (a, b) (b < 0)

在抛物线

C

上, 则下列说法正确的是

A.

抛物线

C

的方程为

y^{2} = 4 x

B.

b = - 4

C.

以

A B

为直径的圆的方程是

{(x - \frac{17}{8})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{25}{8}

D.

A, F, B

三点共线

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39. 关于方程

\frac{x^{2}}{m - 3} + \frac{y^{2}}{11 - m} = 1 (m \neq 3

且

m \neq 11)

所对应的图形, 下列说法正确的是

A.

若方程表示一个圆, 则

m = 7

B.

无论

m

为何值时, 该方程只可能表示一个圆或一个椭圆

C.

当

3 < m < 7

时, 方程表示一个焦点在

x

轴上的椭圆

D.

当

3 < m < 7

时, 方程表示一个焦点在

y

轴上的椭圆

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40. 下列结论错误的是

A.

直线

(3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 (m \in R)

恒过定点

(- 3, - 3)

B.

直线

\sqrt{3} x + y + 1 = 0

的倾斜角为

150^{\circ}

C.

圆

x^{2} + y^{2} = 4

上有且仅有 3 个点到直线

l : x - y + \sqrt{2} = 0

的距离都等于 1

D.

与圆

(x - 2)^{2} + y^{2} = 2

相切, 且在

x

轴、

y

轴上的截距相等的直线有两条

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