试卷9-数学组卷-自助组卷

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试卷9

数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知抛物线

C_{:} y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 且抛物线

C

过点

P (1, - 2)

, 过点

F

的直线与拋物线

C

交于两点,

A_{1}, B_{1}

分别为

A, B

两点在抛物线

C

准线上的投影,

M

为线段

A B

的中点,

O

为坐标原点, 则下列结论正确的是

A.

线段

A B

长度的最小值为 2

B.

△ A_{1} F B_{1}

的形状为锐角三角形

C.

A, O, B_{1}

三点共线

D.

M

的坐标不可能为

(3, - 2)

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2. 直线

x - y - 1 = 0

将圆

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 8

分成两段, 这两段圆弧的弧长之比为

A.

1 : 2

B.

1 : 3

C.

1 : 5

D.

3 : 5

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3. 设

F

为抛物线

y^{2} = 2 x

的焦点,

A, B, C

为抛物线上的三个点, 若

\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = 0

, 则

| \vec{F A} | + | \vec{F B} | + | \vec{F C} | =

A.

B.

C.

D.

\frac{3}{2}

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4. 已知曲线

y = x^{2} - 2 m x + m - 1

与

x

轴交于不同的两点

A, B

, 与

y

轴交于点

C

, 则过

A

B, C

三点的圆的圆心轨迹为

A.

直线

B.

圆

C.

椭圆

D.

双曲线

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5. 设

F_{1}, F_{2}

分别为椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左, 右焦点, 以

F_{1}

为圆心且过

F_{2}

的圆与

x

轴交于另一点

P

, 与

y

轴交于点

Q

, 线段

Q F_{2}

与

C

交于点

A

. 已知

△ A P F_{2}

与

△ Q F_{1} F_{2}

的面积之比为

3 : 2

, 则该椭圆的离心率为

A.

\frac{2}{3}

B.

\sqrt{13} - 3

C.

\sqrt{3} - 1

D.

\frac{\sqrt{3} + 1}{4}

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6. 已知点

P (x_{0}, 2)

在抛物线

C : y^{2} = 4 x

上，则

P

到

C

的准线的距离为

A.

4

B.

3

C.

2

D.

1

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7. 椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)

的离心率为

\frac{1}{2}

, 则

a =

A.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

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8. 已知

Q

为直线

l : x + 2 y + 1 = 0

上的动点, 点

P

满足

\overset{―}{Q P} = (1, - 3)

, 记

P

的轨迹为

E

, 则

A.

E

是一个半径为

\sqrt{5}

的圆

B.

E

是一条与

l

相交的直线

C.

E

上的点到

l

的距离均为

\sqrt{5}

D.

E

是两条平行直线

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9. 设双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

，过坐标原点的直线与

C

交于

A, B

两点,

| F_{1} B | = 2 | F_{1} A |, \overset{―}{F_{2} A} \cdot \overset{―}{F_{2} B} = 4 a^{2}

, 则

C

的离心率为

A.

\sqrt{2}

B.

C.

\sqrt{5}

D.

\sqrt{7}

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10. 椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的两焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 以

F_{1} F_{2}

为边作等边三角形, 若椭圆恰好平分等边三角形的另外两条边, 则椭圆的离心率为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

4 - 2 \sqrt{3}

D.

\sqrt{3} - 1

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11. 已知

F_{1}, F_{2}

是双曲线

C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点, 椭圆

C_{2}

与双曲线

C_{1}

的焦点相同,

C_{1}

与

C_{2}

在第一象限的交点为

P

, 若

P F_{1}

的中点在双曲线

C_{1}

的渐近线上, 且

P F_{1} ⊥ P F_{2}

, 则椭圆的离心率是

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{\sqrt{5}}{3}

D.

\frac{\sqrt{5}}{5}

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12. 坐标平面上有一正方形与一正六边形, 正方形在正六边形的右边。已知两正多边形都有一边在

x

轴上, 且正方形中心

A

与正六边形中心

B

都在

x

轴的上方, 且两多边形恰有一个交点

P

, 又知正方形的边长为 6 , 而点

P

到

x

轴的距离为

2 \sqrt{3}

。试选出正确的选项。

A.

点

A

到

x

䩜的距离大于点

B

到

x

轴的距离

B.

正六边形的边长为 6

C.

\vec{B A} = (7, 3 - 2 \sqrt{3})

D.

\overset{―}{A P} > \sqrt{10}

E.

直线

A P

斜率大于

- \frac{1}{\sqrt{3}}

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13. 在坐标平面上给定三点

A (1, 0) 、 B (0, 1) 、 C (- 1, 0)

, 令

Γ

为

△ A B C

经矩阵

T = [\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ a & 1 \end{array}]

变换后的图形, 其中

a

为实数。试选出正确的选项。

A.

若

a = 0

, 则

Γ

为等腰直角三角形

B.

△ A B C

的边上至少有两点经

T

变换后坐标不变

C.

Γ

必有部分落在第四象限

D.

平面上找得到一个图形

Ω

缓

T

变换后为

△ A B C

E.

Γ

的面积为定值。

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14. 已知直线

l : y = 2 x + b

与圆

C : (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 5

有公共点, 则

b

的取值范围为

A.

[2, 12]

B.

(- \infty, 2] \cup [12, + \infty)

C.

[- 4, 6]

D.

(- \infty, - 4] U [6, + \infty)

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15. 已知双曲线:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点为

F_{1}, F_{2}, | F_{1} F_{2} | = 2 a + 2, P

为双曲线右支上一点,

P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}, △ P F_{1} F_{2}

的内切圆圆心为

M, △ M F_{1} P

与

V_{2} P

的面积的差为 1 , 则双曲线的离心率

e =

A.

B.

C.

\sqrt{3}

D.

\sqrt{5}

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16. 已知双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的渐近线方程为

y = \pm 3 x

, 则双曲线的离心率是

A.

\sqrt{10}

B.

\frac{\sqrt{10}}{10}

C.

\frac{3 \sqrt{10}}{10}

D.

3 \sqrt{10}

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17. 双曲线

C : x^{2} - y^{2} = 4

的左, 右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 过

F_{2}

作垂直于

x

轴的直线交双曲线于

A, B

两点,

△ A F_{1} F_{2}, △ B F_{1} F_{2}, △ F_{1} A B

的内切圆圆心分别为

O_{1}, O_{2}, O_{3}

, 则

△ O_{1} O_{2} O_{3}

的面积是

A.

6 \sqrt{2} - 8

B.

6 \sqrt{2} - 4

C.

8 - 4 \sqrt{2}

D.

6 - 4 \sqrt{2}

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18. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

, 点

P

是椭圆上的任一点, 则点

P

到直线

x + 2 y - \sqrt{2} = 0

的最大距离是

A.

3 \sqrt{10}

B.

\frac{6 \sqrt{10}}{5}

C.

\sqrt{10}

D.

\frac{3 \sqrt{10}}{5}

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19. 过点

(0, - 2)

与圆

x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0

相切的两条直线的夹角为

α

, 则

\cos α =

A.

\frac{\sqrt{10}}{4}

B.

- \frac{1}{4}

C.

\frac{\sqrt{15}}{4}

D.

\frac{1}{4}

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20. 已知双曲线

C : y^{2} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)

的离心率

e < \sqrt{2}

, 则

b

的取值范围是

A.

(0, 1)

B.

(1, \sqrt{2})

C.

(1, + \infty)

D.

(\sqrt{2}, \mp \infty)

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21. 已知平面上两定点

A 、 B

, 则所有满足

\frac{| P A |}{| P B |} = λ (λ > 0

且

λ \neq 1)

的点

P

的轨迹是一个圆心在

A B

上,半径为

| \frac{λ}{1 - λ^{2}} | \cdot | A B |

的圆. 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现, 故称作阿氏圆.已知棱长为 3 的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

表面上动点

P

满足

| P A | = 2 | P B |

, 则点

P

的轨迹长度为

A.

2 π

B.

\frac{4 π}{3} + \sqrt{3} π

C.

\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{2}

D.

(2 + \sqrt{3}) π

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22. 过直线

y = x

上一点

M

作圆

C : (x - 2)^{2} + y^{2} = 1

的两条切线, 切点分别为

P, Q

. 若直线

P Q

过点

(1, 3)

, 则直线

P Q

的方程为

A.

5 x - y - 2 = 0

B.

x - 5 y + 14 = 0

C.

5 x + y - 8 = 0

D.

x + 5 y - 16 = 0

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23. 直线

x - \sqrt{3} y + 2 = 0

的倾斜角为

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{2 π}{3}

D.

\frac{5 π}{6}

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24. 准线为

x = - 2

的抛物线的标准方程是

A.

y^{2} = - 4 x

B.

y^{2} = - 8 x

C.

y^{2} = 4 x

D.

y^{2} = 8 x

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25. 到直线

3 x - 4 y - 11 = 0

的距离为 1 的直线方程为

A.

3 x - 4 y - 1 = 0

B.

3 x - 4 y - 6 = 0

或

3 x - 4 y - 16 = 0

C.

3 x - 4 y + 1 = 0

或

3 x - 4 y - 1 = 0

D.

3 x - 4 y + 16 = 0

或

3 x - 4 y - 3 = 0

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26. 圆

x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 10 = 0

上的点到直线

x + y - 14 = 0

的最大距离是

A.

B.

8 \sqrt{2}

C.

D.

6 \sqrt{2}

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27. 已知

P

为双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

上一点,

A (0, b), B

为

C

的右焦点, 若

A P = P B

, 则

C

的离心率为

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

D.

\sqrt{5}

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28. 若抛物线

x^{2} = 2 p y (p > 0)

上一点

M (n, 6)

到焦点的距离是

4 p

, 则

p

的值为

A.

\frac{12}{7}

B.

\frac{7}{12}

C.

\frac{6}{7}

D.

\frac{7}{6}

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29. 蚊香具有悠久的历史, 我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下: 在水平直线上取长度为 1 的线段

A B

, 作一个等边三角形

A B C

, 然后以点

B

为圆心,

A B

为半径逆时针画圆弧交线段

C B

的延长线于点

D

(第一段圆弧), 再以点

C

为圆心,

C D

为半径逆时针画圆弧交线段

A C

的延长线于点

E

, 再以点

A

为圆心,

A E

为半径逆时针画圆弧以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 15 段圆弧时, “蚊香”的长度为

A.

44 π

B.

64 π

C.

70 π

D.

80 π

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30. 已知圆

C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 1 = 0

, 直线

m x + n (y - 1) = 0

与圆

C

交于

A, B

两点. 若

△ A B C

为直角三角形, 则

A.

m n = 0

B.

m - n = 0

C.

m + n = 0

D.

m^{2} - 3 n^{2} = 0

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31. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创词汇, 定义如下: 在直角坐标平面上任意两点

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})

的曼哈顿距离为:

d (A, B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |

.已知点

M

在圆

O : x^{2} + y^{2} = 1

上,点

N

在直线

l : 3 x + y - 9 = 0

上, 则

d (M, N)

的最小值为

A.

\frac{9 \sqrt{10}}{10}

B.

\frac{9 \sqrt{10}}{10} - 1

C.

\frac{18 - 2 \sqrt{10}}{5}

D.

3 - \frac{\sqrt{10}}{3}

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32. 抛物线

y = \frac{1}{2} x^{2}

的焦点坐标为

A.

(\frac{1}{8}, 0)

B.

(\frac{1}{2}, 0)

C.

(0, \frac{1}{8})

D.

(0, \frac{1}{2})

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33. 函数

y = f (x)

的图象为椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) x

轴上方的部分, 若

f (s - t), f (s), f (s + t)

成等比数列, 则点

(s, t)

的轨迹是

A.

线段（不包含端点）

B.

椭圆一部分

C.

双曲线一部分

D.

线段 (不包含端点) 和双曲线一部分

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34. 双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别是

F_{1}, F_{2}

, 离心率为

\frac{\sqrt{6}}{2}

, 点

P (x_{1}, y_{1})

是

C

的右支上异于顶点的一点, 过

F_{2}

作

∠ F_{1} P F_{2}

的平分线的垂线, 垂足是

M, | M O | = \sqrt{2}

, 若

C

上一点

T

满足

\vec{F_{1} T} \cdot \vec{F_{2} T} = 5

, 则

T

到

C

的两条渐近线距离之和为

A.

2 \sqrt{2}

B.

2 \sqrt{3}

C.

2 \sqrt{5}

D.

2 \sqrt{6}

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35. 已知抛物线

C_{1} : y^{2} = 4 x

与抛物线

C_{2} : x^{2} = 4 y

, 则

A.

过

C_{1}

与

C_{2}

焦点的直线方程为

x + y = 4

B.

C_{1}

与

C_{2}

只有 1 个公共点

C.

与

x

轴平行的直线与

C_{1}

及

C_{2}

最多有 3 个交点

D.

不存在直线与

C_{1}

和

C_{2}

都相切

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36. 设抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 过点

F

且倾斜角为

\frac{π}{4}

的直线与

C

交于

A, B

两点, 以

A B

为直径的圆与准线

l

切于点

M (- \frac{p}{2}, 2)

, 则

C

的方程为

A.

y^{2} = 2 x

B.

y^{2} = 4 x

C.

y^{2} = 6 x

D.

y^{2} = 8 x

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37. 已知圆

C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 45 = 0

及点

Q (- 2, 3)

, 则下列说法正确的是

A.

直线

k x - y - 2 k + 1 = 0

与圆

C

始终有两个交点

B.

若

M

是圆

C

上任一点, 则

| M Q |

的取值范围为

[2 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}]

C.

若点

P (m, m + 1)

在圆

C

上, 则直线

P Q

的斜率为

\frac{1}{4}

D.

圆

C

与

x

轴相切

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38. 曼哈顿距离 (Manhattan Distance) 是由十九世纪的赫尔曼 - 闵可夫斯基所创词汇, 是种使用在几何度量空间的几何学用语, 用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和. 同一平面上的两点

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})

, 其 “曼哈顿距离”

d_{A B} = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |

则所有与点

(1, 2)

的 “曼哈顿距离” 等于 2 的点构成的图形的周长为

A.

B.

8 \sqrt{2}

C.

D.

4 \sqrt{2}

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39. 已知以

O

为中心的椭圆

Ω

, 其一个长轴顶点为

M, N

是

Ω

的一个靠近

M

的焦点, 点

P

在

Ω

上,设

ω_{1}

是以

P N

为直径的圆,

ω_{2}

是以

O M

为半径的圆, 则

ω_{1}

与

ω_{2}

的位置关系为

A.

相切

B.

相交

C.

相离

D.

无法确定

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40. 过点

(0, - 2)

与圆

x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0

相切的两条直线的夹角为

α

, 则

\cos α =

A.

\frac{\sqrt{10}}{4}

B.

- \frac{1}{4}

C.

\frac{\sqrt{15}}{4}

D.

\frac{1}{4}

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