一、单选题 （共 52 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知抛物线 $C_{:} y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 且抛物线 $C$ 过点 $P(1,-2)$, 过点 $F$ 的直线与拋物线 $C$ 交于两点, $A_1, B_1$ 分别为 $A, B$ 两点在抛物线 $C$ 准线上的投影, $M$ 为线段 $A B$ 的中点, $O$ 为坐标原点, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 线段 $A B$ 长度的最小值为 2
$\text{B.}$ $\triangle A_1 F B_1$ 的形状为锐角三角形
$\text{C.}$ $A, O, B_1$ 三点共线
$\text{D.}$ $M$ 的坐标不可能为 $(3,-2)$
直线 $x-y-1=0$ 将圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=8$ 分成两段, 这两段圆弧的弧长之比为
$\text{A.}$ $1: 2$
$\text{B.}$ $1: 3$
$\text{C.}$ $1: 5$
$\text{D.}$ $3: 5$
设 $F$ 为抛物线 $y^2=2 x$ 的焦点, $A, B, C$ 为抛物线上的三个点, 若 $\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=\mathbf{0}$, 则 $|\overrightarrow{F A}|+|\overrightarrow{F B}|+|\overrightarrow{F C}|=$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
已知曲线 $y=x^2-2 m x+m-1$ 与 $x$ 轴交于不同的两点 $A, B$, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 则过 $A$, $B, C$ 三点的圆的圆心轨迹为
$\text{A.}$ 直线
$\text{B.}$ 圆
$\text{C.}$ 椭圆
$\text{D.}$ 双曲线
设 $F_1, F_2$ 分别为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左, 右焦点, 以 $F_1$ 为圆心且过 $F_2$ 的圆与 $x$ 轴交于另一点 $P$, 与 $y$ 轴交于点 $Q$, 线段 $Q F_2$ 与 $C$ 交于点 $A$. 已知 $\triangle A P F_2$ 与 $\triangle Q F_1 F_2$ 的面积之比为 $3: 2$, 则该椭圆的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{13}-3$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}-1$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}+1}{4}$
已知点$P(x_0,2)$在抛物线$C:y^2=4x$上，则$P$到$C$的准线的距离为
$\text{A.}$ $4$
$\text{B.}$ $3$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $1$
椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 2
已知 $Q$ 为直线 $l: x+2 y+1=0$ 上的动点, 点 $P$ 满足 $\overline{Q P}=(1,-3)$, 记 $P$ 的轨迹为 $E$, 则
$\text{A.}$ $E$ 是一个半径为 $\sqrt{5}$ 的圆
$\text{B.}$ $E$ 是一条与 $l$ 相交的直线
$\text{C.}$ $E$ 上的点到 $l$ 的距离均为 $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $E$ 是两条平行直线
设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $\left|F_1 B\right|=2\left|F_1 A\right|, \overline{F_2 A} \cdot \overline{F_2 B}=4 a^2$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\sqrt{7}$
椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两焦点分别为 $F_1, F_2$, 以 $F_1 F_2$ 为边作等边三角形, 若椭圆恰好平分等边三角形的另外两条边, 则椭圆的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $4-2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}-1$
已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点, 椭圆 $C_2$ 与双曲线 $C_1$ 的焦点相同, $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点为 $P$, 若 $P F_1$ 的中点在双曲线 $C_1$ 的渐近线上, 且 $P F_1 \perp P F_2$, 则椭圆的离心率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
坐标平面上有一正方形与一正六边形, 正方形在正六边形的右边。已知两正多边形都有一边在 $x$ 轴上, 且正方形中心 $A$ 与正六边形中心 $B$ 都在 $x$ 轴的上方, 且两多边形恰有一个交点 $P$, 又知正方形的边长为 6 , 而点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $2 \sqrt{3}$ 。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ 点 $A$ 到 $x$ 䩜的距离大于点 $B$ 到 $x$ 轴的距离
$\text{B.}$ 正六边形的边长为 6
$\text{C.}$ $\overrightarrow{B A}=(7,3-2 \sqrt{3})$
$\text{D.}$ $\overline{A P}>\sqrt{10}$
在坐标平面上给定三点 $A(1,0) 、 B(0,1) 、 C(-1,0)$, 令 $\Gamma$ 为 $\triangle A B C$ 经矩阵 $T=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ a & 1\end{array}\right]$ 变换后的图形, 其中 $a$ 为实数。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ 若 $a=0$, 则 $\Gamma$ 为等腰直角三角形
$\text{B.}$ $\triangle A B C$ 的边上至少有两点经 $T$ 变换后坐标不变
$\text{C.}$ $\Gamma$ 必有部分落在第四象限
$\text{D.}$ 平面上找得到一个图形 $\Omega$ 缓 $T$ 变换后为 $\triangle A B C$
已知直线 $l: y=2 x+b$ 与圆 $C:(x+2)^2+(y-3)^2=5$ 有公共点, 则 $b$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $[2,12]$
$\text{B.}$ $(-\infty, 2] \cup[12,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-4,6]$
$\text{D.}$ $(-\infty,-4] \mathrm{U}[6,+\infty)$
已知双曲线: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点为 $F_1, F_2,\left|F_1 F_2\right|=2 a+2, P$ 为双曲线右支上一点, $P F_2 \perp F_1 F_2, \triangle P F_1 F_2$ 的内切圆圆心为 $M, \triangle M F_1 P$ 与 $\mathrm{V}_2 P$ 的面积的差为 1 , 则双曲线的离心率 $e=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线方程为 $y= \pm 3 x$, 则双曲线的离心率是
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{10}$
双曲线 $C: x^2-y^2=4$ 的左, 右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_2$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线于 $A, B$ 两点,$\triangle A F_1 F_2, \triangle B F_1 F_2, \triangle F_1 A B$ 的内切圆圆心分别为 $O_1, O_2, O_3$, 则 $\triangle O_1 O_2 O_3$ 的面积是
$\text{A.}$ $6 \sqrt{2}-8$
$\text{B.}$ $6 \sqrt{2}-4$
$\text{C.}$ $8-4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $6-4 \sqrt{2}$
已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$, 点 $P$ 是椭圆上的任一点, 则点 $P$ 到直线 $x+2 y-\sqrt{2}=0$ 的最大距离是
$\text{A.}$ $3 \sqrt{10}$
$\text{B.}$ $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$
$\text{C.}$ $\sqrt{10}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$
过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$, 则 $\cos \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{10}}{4}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
已知双曲线 $C: y^2-\frac{x^2}{b^2}=1(b>0)$ 的离心率 $e < \sqrt{2}$, 则 $b$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,1)$
$\text{B.}$ $(1, \sqrt{2})$
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{2}, \mp \infty)$
已知平面上两定点 $\mathrm{A} 、 B$, 则所有满足 $\frac{|P A|}{|P B|}=\lambda(\lambda>0$ 且 $\lambda \neq 1)$ 的点 $P$ 的轨迹是一个圆心在 $A B$ 上,半径为 $\left|\frac{\lambda}{1-\lambda^2}\right| \cdot|A B|$ 的圆. 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现, 故称作阿氏圆.已知棱长为 3 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 表面上动点 $P$ 满足 $|P A|=2|P B|$, 则点 $P$ 的轨迹长度为
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\frac{4 \pi}{3}+\sqrt{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}+\frac{\sqrt{3} \pi}{2}$
$\text{D.}$ $(2+\sqrt{3}) \pi$
过直线 $y=x$ 上一点 $M$ 作圆 $C:(x-2)^2+y^2=1$ 的两条切线, 切点分别为 $P, Q$. 若直线 $P Q$过点 $(1,3)$, 则直线 $P Q$ 的方程为
$\text{A.}$ $5 x-y-2=0$
$\text{B.}$ $x-5 y+14=0$
$\text{C.}$ $5 x+y-8=0$
$\text{D.}$ $x+5 y-16=0$
直线 $x-\sqrt{3} y+2=0$ 的倾斜角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
准线为 $x=-2$ 的抛物线的标准方程是
$\text{A.}$ $y^2=-4 x$
$\text{B.}$ $y^2=-8 x$
$\text{C.}$ $y^2=4 x$
$\text{D.}$ $y^2=8 x$
到直线 $3 x-4 y-11=0$ 的距离为 1 的直线方程为
$\text{A.}$ $3 x-4 y-1=0$
$\text{B.}$ $3 x-4 y-6=0$ 或 $3 x-4 y-16=0$
$\text{C.}$ $3 x-4 y+1=0$ 或 $3 x-4 y-1=0$
$\text{D.}$ $3 x-4 y+16=0$ 或 $3 x-4 y-3=0$
圆 $x^2+y^2-4 x-4 y-10=0$ 上的点到直线 $x+y-14=0$ 的最大距离是
$\text{A.}$ 36
$\text{B.}$ $8 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ $6 \sqrt{2}$
已知 $P$ 为双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 上一点, $A(0, b), B$ 为 $C$ 的右焦点, 若 ${A P}={P B}$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
若抛物线 $x^2=2 p y(p>0)$ 上一点 $M(n, 6)$ 到焦点的距离是 $4 p$, 则 $p$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{12}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{6}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{6}$
蚊香具有悠久的历史, 我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下: 在水平直线上取长度为 1 的线段 $A B$, 作一个等边三角形 $A B C$, 然后以点 $B$ 为圆心, $A B$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $C B$ 的延长线于点 $D$ (第一段圆弧), 再以点 $C$为圆心, $C D$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $A C$ 的延长线于点 $E$, 再以点 $A$ 为圆心, $A E$ 为半径逆时针画圆弧以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 15 段圆弧时, “蚊香”的长度为
$\text{A.}$ $44 \pi$
$\text{B.}$ $64 \pi$
$\text{C.}$ $70 \pi$
$\text{D.}$ $80 \pi$
已知圆 $C: x^2+2 x+y^2-1=0$, 直线 $m x+n(y-1)=0$ 与圆 $C$ 交于 $\mathrm{A}, B$ 两点. 若 $\triangle A B C$ 为直角三角形, 则
$\text{A.}$ $m n=0$
$\text{B.}$ $m-n=0$
$\text{C.}$ $m+n=0$
$\text{D.}$ $m^2-3 n^2=0$
“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创词汇, 定义如下: 在直角坐标平面上任意两点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 的曼哈顿距离为: $d(A, B)=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$.已知点 $M$ 在圆 $O: x^2+y^2=1$ 上,点 $N$ 在直线 $l: 3 x+y-9=0$ 上, 则 $d(M, N)$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{9 \sqrt{10}}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{9 \sqrt{10}}{10}-1$
$\text{C.}$ $\frac{18-2 \sqrt{10}}{5}$
$\text{D.}$ $3-\frac{\sqrt{10}}{3}$
抛物线 $y=\frac{1}{2} x^2$ 的焦点坐标为
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{8}, 0\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{8}\right)$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
函数 $y=f(x)$ 的图象为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) x$ 轴上方的部分, 若 $f(s-t), f(s), f(s+t)$ 成等比数列, 则点 $(s, t)$ 的轨迹是
$\text{A.}$ 线段（不包含端点）
$\text{B.}$ 椭圆一部分
$\text{C.}$ 双曲线一部分
$\text{D.}$ 线段 (不包含端点) 和双曲线一部分
双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_1, F_2$, 离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$, 点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 是 $C$ 的右支上异于顶点的一点, 过 $F_2$ 作 $\angle F_1 P F_2$ 的平分线的垂线, 垂足是 $M,|M O|=\sqrt{2}$, 若 $C$ 上一点 $T$ 满足 $\overrightarrow{F_1 T} \cdot \overrightarrow{F_2 T}=5$, 则 $T$ 到 $C$ 的两条渐近线距离之和为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{6}$
已知抛物线 $C_1: y^2=4 x$ 与抛物线 $C_2: x^2=4 y$, 则
$\text{A.}$ 过 $C_1$ 与 $C_2$ 焦点的直线方程为 $x+y=4$
$\text{B.}$ $C_1$ 与 $C_2$ 只有 1 个公共点
$\text{C.}$ 与 $x$ 轴平行的直线与 $C_1$ 及 $C_2$ 最多有 3 个交点
$\text{D.}$ 不存在直线与 $C_1$ 和 $C_2$ 都相切
设抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 过点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 以 $A B$ 为直径的圆与准线 $l$ 切于点 $M\left(-\frac{p}{2}, 2\right)$, 则 $C$ 的方程为
$\text{A.}$ $y^2=2 x$
$\text{B.}$ $y^2=4 x$
$\text{C.}$ $y^2=6 x$
$\text{D.}$ $y^2=8 x$
已知圆 $C: x^2+y^2-4 x-14 y+45=0$ 及点 $Q(-2,3)$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 直线 $k x-y-2 k+1=0$ 与圆 $C$ 始终有两个交点
$\text{B.}$ 若 $M$ 是圆 $C$ 上任一点, 则 $|M Q|$ 的取值范围为 $[2 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}]$
$\text{C.}$ 若点 $P(m, m+1)$ 在圆 $C$ 上, 则直线 $P Q$ 的斜率为 $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ 圆 $C$ 与 $x$ 轴相切
曼哈顿距离 (Manhattan Distance) 是由十九世纪的赫尔曼 - 闵可夫斯基所创词汇, 是种使用在几何度量空间的几何学用语, 用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和. 同一平面上的两点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 其 “曼哈顿距离”
$d_{A B}=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$
则所有与点 $(1,2)$ 的 “曼哈顿距离” 等于 2 的点构成的图形的周长为
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ $8 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
已知以 $O$ 为中心的椭圆 $\Omega$, 其一个长轴顶点为 $M, N$ 是 $\Omega$ 的一个靠近 $M$ 的焦点, 点 $P$ 在 $\Omega$ 上,设 $\omega_1$ 是以 $P N$ 为直径的圆, $\omega_2$ 是以 $O M$ 为半径的圆, 则 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 的位置关系为
$\text{A.}$ 相切
$\text{B.}$ 相交
$\text{C.}$ 相离
$\text{D.}$ 无法确定
过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$, 则 $\cos \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{10}}{4}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$