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试卷1

数学

一、单选题（共 39 题），每题只有一个选项正确

1. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 点

P

为第一象限内双曲线上的点, 点

Q

为点

P

关于原点

O

的对称点. 若

| O P | = | O F_{2} |, 2 | Q F_{1} | ⩽ | P F_{1} | ⩽

3 | Q F_{1} |

, 则双曲线

C

的离心率的取值范围为

A.

(1, \frac{\sqrt{10}}{2}]

B.

[\frac{\sqrt{10}}{2}, \sqrt{5}]

C.

(1, \sqrt{5}]

D.

[2, \sqrt{5}]

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2. 与双曲线

y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1

有相同的焦点, 且短半轴长为

2 \sqrt{5}

的椭圆方程是

A.

\frac{y^{2}}{45} + \frac{x^{2}}{20} = 1

B.

\frac{y^{2}}{85} + \frac{x^{2}}{80} = 1

C.

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1

D.

\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{20} = 1

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3. 已知点

F

为抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点, 过点

F

且倾斜角为

60^{\circ}

的直线交抛物线

C

于

A, B

两点, 若

| F A | \cdot | F B | = 3

, 则

p =

A.

\frac{1}{2}

B.

1

C.

\frac{3}{2}

D.

2

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4. 若

M, N

为圆

C : (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 1

上任意两点,

P

为直线

3 x + 4 y - 4 = 0

上一个动点, 则

∠ M P N

的最大值是

A.

45^{\circ}

B.

60^{\circ}

C.

90^{\circ}

D.

120^{\circ}

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5. 在平面直角坐标系中, 定义

| x | + | y |

称为点

P (x, y)

的 “

δ

和”, 其中

O

为坐标原点, 对
于下列结论: (1) “

δ

和” 为 1 的点

P (x, y)

的轨迹围成的图形面积为 2 ; (2) 设

P

是直
线

2 x - y - 4 = 0

上任意一点, 则点

P (x, y)

的 “

δ

和” 的最小值为 2 ; （3）设

P

是直线

a x - y + b = 0

上任意一点, 则使得 “

δ

和” 最小的点有无数个” 的充要条件是

a = 1

;
设

P

是椭圆

x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1

上任意一点, 则 “

δ

和”的最大值为

\sqrt{3}

. 其中正确的结论序号为

A.

(1) (2) (3)

B.

(1) (2) (4)

C.

(1) (3) (4)

D.

(2) (3)(4)

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6. 已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为

2 y = x

, 若该双曲线过点

(1, 1)

, 则它的方程为

A.

4 y^{2} - x^{2} = 3

B.

4 x^{2} - y^{2} = 3

C.

2 y^{2} - x^{2} = 1

D.

2 x^{2} - y^{2} = 1

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7. 已知直线

(m + 2) x + (m - 1) y - 2 m - 1 = 0 (m \in R)

与圆

C : x^{2} - 4 x + y^{2} = 0

, 则下列说法错误的是

A.

对

\forall m \in R

, 直线恒过一定点

B.

\exists m \in R

, 使直线与圆相切

C.

对

\forall m \in R

, 直线与圆一定相交

D.

直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为

2 \sqrt{2}

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8. 已知直线

l

与曲线

y = e^{x}

相切, 切点为

P

, 直线

l

与

x

轴、

y

轴分别交于点

A, B

,

O

为坐标原点. 若

△ O A B

的面积为

\frac{1}{e}

, 则点

P

的个数是

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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9. 已知双曲线

C : x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1

, 其一条渐近线被圆

(x - \sqrt{3})^{2} + y^{2} = 3

截得弦长为

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

1

C.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

D.

2

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10. 已知点

A, B, C

为椭圆

D

的三个顶点，若

△ A B C

是正三角形，则

D

的离心率是

A.

\cdot \frac{1}{2}

B.

\cdot \frac{2}{3}

C.

\frac{\sqrt{6}}{3}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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11. 设椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的半焦距为

c

, 若

a - c = 4, b = 6

, 则

C

的离心率为

A.

\frac{5}{12}

B.

\frac{3}{5}

C.

\frac{5}{13}

D.

\frac{12}{13}

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12. 已知抛物线

C : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点为

F

, 点

C A (4, 2)

在抛物线

C

上, 则

| A F | =

A.

4

B.

2 \sqrt{5}

C.

8

D.

4 \sqrt{5}

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13. 如图, 圆

O

半径为 1 , 圆外一点

P

到圆心

O

的距离为 2 , 过

P

引圆

O

的两条切线, 切点分别记为

A 、 B, M

为圆

O

上的一个动点, 则

\vec{P A} \cdot \vec{P M}

的最小值为

A.

\sqrt{3} - 1

B.

3 - \sqrt{3}

C.

\frac{3}{2}

D.

\sqrt{3}

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14. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1

, 点

F

是

C

的右焦点, 若点

P

为

C

左支上的动点, 设点

P

到

C

的一条渐近线的距离为

d

, 则

d + | P F |

的最小值为

A.

2 + 4 \sqrt{3}

B.

6 \cdot \sqrt{3}

C.

8

D.

10

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15. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, P

是双曲线

C

的一条渐近线上的点, 且线段

P F_{1}

的中点

M

在另一条渐近线上. 若

∠ P F_{2} F_{1} = 45^{\circ}

, 则双曲线

C

的离心率为

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

2

D.

\sqrt{5}

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16. 已知抛物线

E : y^{2} = 4 x

的焦点为

F

, 准线

l

交

x

轴于点

H

, 过点

H

的直线与抛物线交于

A, B

两点, 且

\vec{H A} = 3 \vec{H B}

, 则

| \vec{F A} | =

A.

\frac{4}{3}

B.

4

C.

4 \sqrt{3}

D.

8

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17. 若圆

(x - a)^{2} + (y - 3)^{2} = 20

上有四个点到直线

2 x - y + 1 = 0

的距离为

\sqrt{5}

, 则实数

a

的取值范围是

A.

(- \infty, - \frac{13}{2}) \cup (\frac{17}{2}, + \infty)

B.

(- \frac{13}{2}, \frac{17}{2})

C.

(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{2}, + \infty)

D.

(- \frac{3}{2}, \frac{7}{2})

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18. 已知圆

C : (x - 5)^{2} + (y - 12)^{2} = 1

和两点

A (0, - m), B (0, m) (m > 0)

, 若圆

C

上存在点

P

, 使得

∠ A P B = 90^{\circ}

, 则

m

的最小值为

A.

14

B.

13

C.

12

D.

11

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19. 已知

⊙ O, x^{2} + y^{2} = 4, ⊙ C

与一条坐标轴相切, 圆心在直线

x - y + 7 = 0

上. 若

⊙ C

与

⊙ O

相切, 则满足条件的

⊙ C

有

A.

1 个

B.

2个

C.

3 个

D.

4 个

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20. 已知动圆过定点

M (0, 4)

, 且在

x

轴上截得的弦

A B

的长为 8 . 过此动圆圆心轨迹

C

上一个定点

P (m, 2)

引它的两条弦

P S, P T

, 若直线

P S, P T

的倾斜角互为补角, 记直线

S T

的斜率为

k

, 则

m k =

A.

4

B.

2

C.

-4

D.

-2

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21. 设抛物线

y^{2} = 6 x

的焦点为

F

, 准线为

l, P

是抛物线上位于第一象限内的一点, 过

P

作

l

的垂线, 垂足为

Q

, 若直线

Q F

的倾斜角为

120^{\circ}

, 则

| P F | =

A.

3

B.

6

C.

9

D.

12

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22. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为

\sqrt{5}

, 左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, F_{2}

关于

C

的一条渐近线的对称点为

P

. 若

| P F_{1} | = 2

, 则

△ P F_{1} F_{2}

的面积为

A.

2

B.

\sqrt{5}

C.

3

D.

4

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23. 若直线

a x - b y + 2 = 0 (a > 0, b > 0)

被圆

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0

截得的弦长为 4 , 则

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

的最小值为

A.

\frac{1}{4}

B.

\sqrt{2}

C.

\frac{3}{2} + \sqrt{2}

D.

\frac{3}{2} + 2 \sqrt{2}

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24. 若点

P

是曲线

y = x^{2} - \ln x

上任意一点, 则点

P

到直线

y = x - 2

的最小距离为

A.

1

B.

\sqrt{2}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\sqrt{3}

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25. 已知

O

是坐标原点,

F

是双曲线

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左焦点, 平面内一点

M

满足

△ O M F

是等边三角形, 线段

M F

与双曲线

E

交于点

N

, 且

| M N | = | N F |

, 则双曲线

E

的离心率为

A.

\frac{\sqrt{13} + 1}{3}

B.

\frac{\sqrt{13} - 1}{2}

C.

\frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}

D.

\frac{2 \sqrt{15} + 1}{7}

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26. 已知直线

l_{1} : x + m y - 3 m - 1 = 0

与

l_{2} : m x - y - 3 m + 1 = 0

相交于点

M

, 线段

A B

是圆

C : (x + 1)^{2} +

(y + 1)^{2} = 4

的一条动弦, 且

| A B | = 2 \sqrt{3}

, 则

\vec{M A} \cdot \vec{M B}

的最小值为

A.

6 - 4 \sqrt{2}

B.

3 - \sqrt{2}

C.

5 + \sqrt{3}

D.

\sqrt{5} - 1

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27. 过椭圆

C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1

上的点

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})

分别作

C

的切线, 若两切线的交点恰好在直线

l : x = 4

上, 则

y_{1} \cdot y_{2}

的最小值为

A.

- \frac{3}{2}

B.

- \frac{9}{4}

C.

- 9

D.

\frac{9}{4}

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28. 如图, 粗圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左焦点为

F_{1}

, 右顶点为

A

, 点

Q

在

y

轴上, 点

P

在椭圆上, 且满足

P Q ⊥ y

轴, 四边形

F_{1} A P Q

是等腰梯形, 直线

F_{1} P

与

y

轴交于点

N (0, \frac{\sqrt{3}}{4} b)

, 则椭圆的离心率为

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\frac{1}{2}

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29. 已知直线

l

与双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)

两支分别交于点P,

Q

两点,

O

为原点. 若

O P ⊥ O Q

, 则

O

到直线

l

的距离为

A.

\frac{a b}{b - a}

B.

\frac{2 a b}{b - a}

C.

\frac{a b}{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}

D.

其它三个选项均不对

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30. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 点

M, N

在双曲线

C

上,

P (- a, 0)

. 若

△ P M N

为等边三角形, 且

| P F_{2} | = | F_{2} M | = | F_{2} N |

, 则双曲线

C

的浙近线方程为

A.

y = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} x

B.

y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} x

C.

y = \pm x

D.

y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x

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31. 抛物线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点到直线

y = x + 1

的距离为

\sqrt{2}

, 则

p =

A.

1

B.

2

C.

2 \sqrt{2}

D.

4

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32. 已知

F_{1}

是双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左焦点, 点

P

在双曲线上, 直线

P F_{1}

与

x

轴垂直, 且

| P F_{1} | = a

, 那么双曲线的离心率是

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

2

D.

3

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33. 已知

O

是坐标原点,

F

是双曲线

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左焦点, 平面内一点

M

满足

△ O M F

是等边三角形, 线段

M F

与双曲线

E

交于点

N

, 且

| M N | = | N F |

, 则双曲线

E

的离心率为

A.

\frac{\sqrt{13} + 1}{3}

B.

\frac{\sqrt{13} - 1}{2}

C.

\frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}

D.

\frac{2 \sqrt{15} + 1}{7}

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34. 已知直线

l_{1} : x + m y - 3 m - 1 = 0

与

l_{2} : m x - y - 3 m + 1 = 0

相交于点

M

, 线段

A B

是圆

C : (x + 1)^{2} +

(y + 1)^{2} = 4

的一条动弦, 且

| A B | = 2 \sqrt{3}

, 则

\vec{M A} \cdot \vec{M B}

的最小值为

A.

6 - 4 \sqrt{2}

B.

3 - \sqrt{2}

C.

5 + \sqrt{3}

D.

\sqrt{5} - 1

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35. 已知双曲线

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 点

P (3, \frac{5}{2})

, 则

∠ F_{1} P F_{2}

的平分线的方程为

A.

3 x - 2 y - 4 = 0

B.

3 x - 4 y + 4 = 0

C.

4 x - 6 y + 3 = 0

D.

2 x - 6 y + 9 = 0

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36. 若不等式

\sqrt{16 - x^{2}} \leq k x (k > 0)

的解集为区间

[a, b]

, 且

b - a = 2

,则

k =

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

2

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37. 已知椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的上顶点为

B

, 右焦点为

F

, 延长

B F

交椭圆

E

于点

C

,

A H = λ F C (λ > 1)

, 则椭圆

E

的离心率

e =

A.

\sqrt{\frac{λ - 1}{λ + 1}}

B.

\frac{λ - 1}{λ + 1}

C.

\sqrt{\frac{λ^{2} - 1}{λ^{2} + 1}}

D.

\frac{λ^{2} - 1}{λ^{2} + 1}

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38. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1

的左、右焦点分别为

F 1, F 2

, 直线

y = x + m

与

C

交于

A, B

两点,若

△ F 1 AB

面积是

△ F 2 AB

面积的 2 倍, 则

m =

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

C.

- \frac{\sqrt{2}}{3}

D.

- \frac{2}{3}

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39. 设

O

为坐标原点, 直线

y = - \sqrt{3} (x - 1)

过抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点, 且与

C

交于

M, N

两点,

l

为

C

的准线, 则

A.

p = 2

B.

| M N | = \frac{8}{3}

C.

以

M N

为直径的圆与

l

相切

D.

△ O M N

为等腰三角形

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二、多选题（共 1 题），每题有多个选项正确

40. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左, 右焦点分别是

F_{1}, F_{2}

, 其中

| F_{1} F_{2} | = 2 c

. 直线 1 过左焦点

F_{1}

与椭圆交于

A, B

两点，则下列说法中正确的有

A.

若存在

△ A B F_{2}

, 则

△ A B F_{2}

的周长为

4 a

B.

若

A B

的中点为

M

, 则

k_{O M} \cdot k = \frac{b^{2}}{a^{2}}

C.

若

\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 3 c^{2}

, 则椭圆的离心率的取值范围是

[\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{1}{2} ∣

D.

若

| A B |

的最小值为

3 c

, 则椭圆的离心率

e = \frac{1}{3}

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