一、单选题 （共 25 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
7. 设 $A, B, C$ 为三个随机事件, 且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0$ $P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12}$, 则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
某工厂急需 12 只集成电路装配仪表, 现要到外地采购, 已知该型号集成电路的不合格 品率为 $0.1$, 问需要采购几只才能以 $99 \%$ 的把握保证其中合格的集成电路不少于有 12 只?
$\text{A.}$ 15
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 17
$\text{D.}$ 18
设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$, 如果 $c>0$ 使得 $\mathbb{P}(0 < X < c)=\alpha$, 则 $\mathbb{P}\left(Y>c^2\right)=$ （）
$\text{A.}$ $1-\alpha$
$\text{B.}$ $\alpha$
$\text{C.}$ $1-2 \alpha$
$\text{D.}$ $2 \alpha$
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 4-x^2\right\}$, 向 $D$ 内随机投掷一点 $(X$, $Y)$, 记 $A=\{X \leqslant 1\}, B=\{Y \leqslant 3\}$, 则随机事件 $A, B$ 恰好有一个发生的概率为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{16}$.
$\text{B.}$ $\frac{7}{16}$.
$\text{C.}$ $\frac{5}{16}$.
$\text{D.}$ $\frac{3}{16}$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X \sim N(0,1), Y$ 的概率分布为 $P\{Y=0\}=\frac{1}{4}$, $P\{Y=1\}=\frac{3}{4}, Z=X Y$, 则对于 $Z$ 的分布函数 $F(z)$ 有
$\text{A.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{3}{8}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{5}{8}$.
$\text{B.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{1}{4}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{3}{4}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{5}{8}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_8$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, $Y^2=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^8 X_i^2$, 则 下列选项正确的是
$\text{A.}$ $X^2 \sim \chi^2(1)$.
$\text{B.}$ $Y^2 \sim \chi^2(8)$
$\text{C.}$ $\frac{X}{Y} \sim t(8)$.
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2} \sim F(8,1)$.
三个随机事件 $A, B, C$ 相互独立的充分条件是
$\text{A.}$ $A, B, C$ 两两独立.
$\text{B.}$ $P(A+B+C)=1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C})$.
$\text{C.}$ $P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$.
$\text{D.}$ $P(B-A)=1$.
设 $A, B$ 是两个互不相容的事件， $P(A)>0 ， P(B)>0$ ，则（） 一定成立。
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(\mathrm{A})=1-\mathrm{P}$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=0$
$\text{C.}$ P $(\mathrm{A} \mid \bar{B})=1$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(\bar{A} \bar{B})=0$
设 $A, B$ 是两个事件, $P(A)>0 ， P(B)>0$ ，当下面条件（（）成立时, $A$ 与 $\mathrm{B}$ 一定相互独立。
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(\bar{A} \bar{B})=\mathrm{P}(\bar{A}) \mathrm{P}(\bar{B})$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(\overline{A B})=\mathrm{P}(\bar{A}) \mathrm{P}(\bar{B})$
$\text{C.}$ P $(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=\mathrm{P}(\bar{A})$
若 $A 、 B$ 相互独立, 则下列式子成立的为
$\text{A.}$ $P(\bar{A} B)=P(\bar{A}) P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B)=0$
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=P(B \mid A)$
$\text{D.}$ $P(A \mid B)=P(B)$
事件 “掷一枚硬币，或者出现正面, 或者出现反面”是必然事件。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\text{C.}$
$\text{D.}$
通过选取经验函数 $\mu\left(x ; a_1, a_2, \ldots, a_k\right)$ 中的参数使得观察值 $y_i$ 与相应的函数值 $\mu\left(x_i ; a_1, a_2, \ldots, a_k\right)$ 之差的平方和最小的方法称之为方差分析法。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\text{C.}$
$\text{D.}$
连续抛一枚均匀硬币 6 次, 则正面至少出现一次的概率为 $\frac{2}{9} $
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\text{C.}$
$\text{D.}$
设 $A 、 B$ 互不相容, 且 $P(A)>0, P(B)>0$, 则必有
$\text{A.}$ $P(B \mid A)>0$
$\text{B.}$ $P(A \mid B)=P(A)$
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=0$
$\text{D.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子, 则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）
$\text{A.}$ $\frac{3}{32}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{8}$
设随机事件 $A, B, C$ 两两独立, 且 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}, P(A B \mid C)=\frac{1}{3}$, 则在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 与 $C$ 都发生的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{9}$
已知 $P(A)=P(B)=0.5$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $A \cup B=S$
$\text{B.}$ 若 $A$ 发生, 则 $B$ 也发生
$\text{C.}$ 若 $P(A \cup B)=1$, 则 $A$ 与 $B$ 不相容
$\text{D.}$ 若 $P(A \cup B)=0.75$, 则 $A$ 与 $B$ 独立
已知 $P(A) P(A B) \neq 0$, 则正确的是
$\text{A.}$ $P(B C \mid A)=P(B) P(C \mid A B)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=P(A)-P(\bar{B} \mid A)$
$\text{C.}$ $P(B C \mid A)=1-P(\bar{B} \bar{C} \mid A)$
$\text{D.}$ $P(B \cup C \mid A)=P(B \mid A)+P(C \mid A)-P(B C \mid A)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从 $0-1$ 分布, $P(X=1)=0.7, P(Y=1)=0.8$, 且 $P(X Y=0)=0.4$, 则 $P(X=0, Y=0)=$
$\text{A.}$ $0.1$
$\text{B.}$ $0.2$
$\text{C.}$ $0.3$
$\text{D.}$ $0.4$
设 $(X, Y) \sim N(1,2,4,4,-0.5), U=X+Y, V=X-Y$, 若已知 $(U, V)$ 是二维正态分布, 则 下面正确的是
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关
$\text{B.}$ $U$ 与 $V$ 线性相关
$\text{C.}$ $U$ 与 $V$ 独立
$\text{D.}$ $V$ 与 $X$ 线性负相关
一盒产品中有 $\boldsymbol{a}$ 只正品, $\boldsymbol{b}$ 只次品, 有放回地任取两次, 第二次取到正品的概率为
$\text{A.}$ $\frac{a-1}{a+b-1}$;
$\text{B.}$ $\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}$
$\text{C.}$ $\frac{a}{a+b}$;
$\text{D.}$ $(\frac{a}{a+b})^2$.
设 $A, B$ 为两个事件并且 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 那么下列说法中不正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充要条件是 $P(A B)>P(A) P(B)$
$\text{B.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$
$\text{C.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$ 或者 $P(A \bigcup B)=1$
$\text{D.}$ 若 $P(A \mid \bar{B})+P(\bar{A} \mid B)=1$, 则 $A$ 和 $B$ 独立。
设某人每次射击命中的概率都为 $p(0 < p < 1)$, 则他第 8 次射击恰好是第 4 次命中的概率为
$\text{A.}$ $35 p^3(1-p)^4$.
$\text{B.}$ $35 p^4(1-p)^3$.
$\text{C.}$ $35 p^4(1-p)^4$.
$\text{D.}$ $35 p^5(1-p)^3$.
对任意两个事件 $A$ 和 $B$, 有 $p(A-B)=$
$\text{A.}$ $p(A)-P(B)$;
$\text{B.}$ $p(A)-P(B)+P(A B)$;
$\text{C.}$ $p(A)-p(A B)$ :
$\text{D.}$ $p(A)+P(\bar{B})-P(\overline{A \bar{B}})$.
设 $A, B, C$ 足三个随机变量, 则事件 “ $A, B, C$ 不多于一个发生” 的逆事件为
$\text{A.}$ $A, B, C$ 都发生
$\text{B.}$ $A, B, C$ 至少有一个发生
$\text{C.}$ $A, B, C$ 都不发生
$\text{D.}$ $A, B, C$ 至少有两个发生
二、填空题 （共 18 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 且 $P(X < -1)=P(X \geq 3)=\Phi(-1)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准 正态分布函数, 则 $\mu=$ （ ） ,$\sigma=$ （ ）
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim B(N, p)(0 < p < 1)$ 的简单随机样本, 则 $p$ 的最大似然估计量 $\hat{p}=$
10 个球中只有一个红球, 有放回地抽取, 每次取一球, 直到第 $\mathrm{n}$ 次才取得 $\mathrm{k}$ 次 $(\mathrm{k} \leqslant \mathrm{n})$ 红球的概率为
某人射击中靶的概率为 $0.75$. 若射击直到中靶为止, 求射击次数为 3 的概率。
假设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是取 自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的一个样本, 令 $K=\left(a X_1-2 X_2\right)^2+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2$, 则当 $a=1 / 20, b=1 / 100$ 时, 统计量服从 $\chi^2$ 分 布, 其自由度是多少?
$P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A \cup B)=0.4$, 则 $P(A \bar{B})=$
设事件 $A, B, C$ 两两独立, 并且 $P(A)=p, P(B)=2 p, P(C)=6 p$, 且 $P(A B C)=0$, 那么能够 满足上述情况的 $p$ 的最大值是
设 $A 、 B$ 是随机事件, $P(A)=0.7, P(A-B)=0.3$, 求 $P(\overline{A B})$.
袋中有红球 4 只, 黑球 3 只, 从中任意取出 2 只, 求这 2 只球的颜色不相同的概率
已知 $P(\bar{B} \mid A)=\frac{1}{3}, P(B \mid \bar{A})=\frac{4}{7}, P(A B)=\frac{1}{5}$, 则 $P(\bar{A} \bar{B})=$
设事件 $A$ 和 $B$ 互不相容, 且 $p(A)=\frac{1}{5}, p(B)=\frac{1}{2}$. 则 $p(A+B)=$
某篮球队员的投篮命中率为 0.5 , 则该队员投 3 次全中的概率是
掷一枚均匀的骰子一次, 可得点数不是 6 的概率为
甲, 乙, 丙三人同时射击某一目标, 设甲, 乙, 丙命中的概率分别是 $0.5,0.8,0.6$, 则目标被击中的概 率