一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A 、 B$ 均为非零概率事件, 且 $A \subset B$ 成立, 则
$\text{A.}$ ${P}({A} \cup {B})={P}({A})+{P}({B})$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=\frac{P(A)}{P(B)}$
$\text{D.}$ $P(A-B)=P(A)-P(B)$
掷三枚均匀硬币, 若 $A=\{$ 两个正面, 一个反面 $\}$, 则有 $P(A)=$
$\text{A.}$ $1 / 2$
$\text{B.}$ $1 / 4$
$\text{C.}$ $3 / 8$
$\text{D.}$ $1 / 8$
对于任意两个随机变量 $\xi$ 和 $\eta$, 若 $\mathrm{E}(\xi \eta)=\mathrm{E} \xi \mathrm{E} \eta$, 则有
$\text{A.}$ $\mathrm{D}(\xi \eta)=\mathrm{D} \xi \mathrm{D} \eta$
$\text{B.}$ $\mathrm{D}\left(\xi^{+} \eta\right)=\mathrm{D} \xi^{+\mathrm{D}} \eta$
$\text{C.}$ $\xi$ 和 $\eta$ 独立
$\text{D.}$ $\xi$ 和 $\eta$ 不独立
$A, B$ 为二事件，则 $\overline{A \cup B}=(\quad)$
$\text{A.}$ $A B$
$\text{B.}$ $\bar{A} \bar{B}$
$\text{C.}$ $A \bar{B}$
$\text{D.}$ $\bar{A} \cup \bar{B}$
设 $A, B, C$ 表示三个事件，则 $\bar{A} \bar{B} \bar{C}$ 表示
$\text{A.}$ $A, B, C$ 中有一个发生
$\text{B.}$ $A, B, C$ 中恰有两个发生
$\text{C.}$ $A, B, C$ 中不多于一个发生
$\text{D.}$ $A, B, C$ 都不发生
$A, B$ 为两事件，若 $P(A \cup B)=0.8, P(A)=0.2$, $P(\bar{B})=0.4$ 则 $(\bar{\square})$ 成立
$\text{A.}$ $P(A \bar{B})=0.32$
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \bar{B})=0.2$
$\text{C.}$ $P(B-A)=0.4$
$\text{D.}$ $P(\bar{B} A)=0.48$
设 $A, B$ 为任二事件，则
$\text{A.}$ $P(A-B)=P(A)-P(B)$
$\text{B.}$ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A)=P(A B)+P(A \bar{B})$
设事件 $A, B$ 相互独立，则下列说法错误的是
$\text{A.}$ $A$ 与 $\bar{B}$ 独立
$\text{B.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 独立
$\text{C.}$ $P(\bar{A} B)=P(\bar{A}) P(B)$
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 一定互斥
用 6 个点将一个圆周分成 6 等份, 从中随机选取两点连线, 再从剩余各点中随机选取两点连线, 如此得到的两条弦相交的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
设 $A, B$ 为两个事件并且 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 那么下列说法中不正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充要条件是 $P(A B)>P(A) P(B)$
$\text{B.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$
$\text{C.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$ 或者 $P(A \bigcup B)=1$
$\text{D.}$ 若 $P(A \mid \bar{B})+P(\bar{A} \mid B)=1$, 则 $A$ 和 $B$ 独立。
设口袋中有 10 个球, 其中 6 个红球, 4 个白球, 每次不放回地从中任取一个, 取两次, 若取出的两个球中有 1 个是白球, 则两个都是白球的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
二、多选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
$\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 二人进行 “抽鬼牌” 游戏。游戏开始时, $\mathrm{A}$ 手中有 $n$ 张两两不同的牌。B 手 上有 $n+1$ 张牌, 其中 $n$ 张牌与 $\mathrm{A}$ 手中的牌相同, 另一张为 “鬼牌” , 与其他所有牌都不同。 游戏规则为:
i) 双方交替从对方手中抽取一张牌, A 先从 $\mathrm{B}$ 手中抽取。
ii) 若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致, 则将两张牌丢弃。
iii) 最后剩一张牌 (鬼牌) 时, 持有鬼牌的玩家为输家。
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同, 请问下列 $n$ 中哪个 $n$ 使 $\mathrm{A}$ 的胜率最 大?
$\text{A.}$ $n=31$
$\text{B.}$ $n=32$
$\text{C.}$ $n=999$
$\text{D.}$ $n=1000$
三、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若事件 $A, B$ 相互独立， $P(A)=0.8, P(B)=0.6$. 求: $P(A+B)$ 和 $P\{\bar{A} \mid(A+B)\}$.
某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，如果命中 了就停止射击，否则一直独立射到子弹用尽. 求:
(1) 耗用子弹数 $X$ 的分布律;
(2) $\boldsymbol{E X}$;
(3) $D X$.
设事件 $A, B, C$ 两两独立, 并且 $P(A)=p, P(B)=2 p, P(C)=6 p$, 且 $P(A B C)=0$, 那么能够 满足上述情况的 $p$ 的最大值是
设 $A, B, C$ 为随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 互不相容, $A$ 与 $C$ 互不相容, $B$ 与 $C$ 相互独立, $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)=$
四、解答题 （ 共 24 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设某供电区域中共有 10000 盏电灯, 夜晩每盏灯开着的概率均为 0.7 , 假设各灯开、关时间彼此独立, 求夜晩同时开着的灯的数量在 6800 至 7200 间的概 率.(其中 $\left.\Phi\left(\frac{20}{\sqrt{21}}\right) \approx \Phi(4.36)=0.999999\right)$.
某公司要招聘一名员工, 有 $N$ 人报名面试。假设 $N$ 位报名者所具有该职位相关的 能力值两两不同, 且招聘委员会能观察到的能力值排名与其真实能力值排名吻合。委员会决 定采取如下招聘程序:
1. 招聘委员会按随机顺序逐个面试候选人, 且他们能观察到当时所见候选人的相对排 名。比如委员会面试到第 $m$ 位候选人时, 他们拥有的信息是前 $m$ 位面试者的相对排 名, 但不知后 $N-m$ 位候选人的能力情况。
2. 每面试完一位候选人, 委员会需当即决定是否给他/她发工作offer。
3. 如果委员会决定给某位候选者发offer, 那么这位候选者以概率 $p$ 接受, 以概率 $1-p$ 拒 绝, 且独立于(之前) 所有其他面试者的决定。如果该候选人接受offer, 那么委员会将 不再继续面试接下去的候选人。如果该候选人拒绝offer, 那么委员会将继续面试下一 位。
4. 如果委员会决定不给某位面试者发offer, 那么他们将继续面试下一位候选人, 且不能 再回头去找前面已经面试过的人。
5. 反复该面试程序, 直到有候选者接受offer。如果没有候选者接收该工作, 那么委员会 面试完所有的 $N$ 位候选者。
由于 $N$ 位面试者的顺序是完全随机的, 因此他们能力的排名在 $N$ ! 的可能性中是均匀分布。 且委员会所具有的全部信息是当前面试过的候选人的相对排名。委员会的任务是, 在遵守如 上程序的前提下, 找到一个策略, 使得招到 $N$ 位候选者中能力最优者的概率最大化。
问题如下:
(a) 考虑如下策略。委员会先面试前 $m-1$ 位候选者, 不管其能力排名如何, 都不发 工作offer。从第 $m$ 位开始, 一旦看到能力在所面试过候选人中的最优者, 即发工 作offer。如对方拒绝, 则继续面试直到下一位当前最优者 ${ }^1$ 出现。试证明：对于任意 的 $N$, 都存在一个 $m=m_N$, 使得依靠上述策略找到(所有 $N$ 位候选人中) 最优者的概 率值, 在所有可能的策略所给出的概率值中是最大的。
(b) 假设 $p=1$ 。当 $N \rightarrow+\infty$, 求 $\frac{m_N}{N}$ 的极限。
(c) 对一般的 $p \in(0,1)$, 当 $N \rightarrow+\infty$, 求 $\frac{m_N}{N}$ 的极限。
一、(本题满分 10 分) 某学生无意将自己的铜匙丢掉了，他记得钥匙丢在教室里，宿舍里，操场上，道路上的概率分别为 0.3 ， 0.25 ， 0.35 和 0.1 . 如果钥匙丢在教室里，能被找到的概率为 0.45 ; 如果钥匙丢在宿舍里，能被找到的概率为 0.67 ; 如果钥匙丢在操场上，能被找到的概率为 0.27 ; 如果钥匙丢在道路上， 能被找到的概率为 0.12 .
(1) 求该学生找到钥匙的概率 (6 分);
(2) 如果该学生找到了钥匙匙，求他在操场上找到的概率 (4 分).
某射手对同一目标进行独立射击，他每次 射击命中目标的概率为 0.24 ，求该射手至少要射击多少次，才 能使至少命中一次目标的概率在 $98 \%$ 以上?
有一类特定人群的出事率为 0.0003 , 出事赔偿每人 30 万元, 预计有 500 万以上这样的人投保。若每人收费 $M$ 元 (以整拾元为单位, 以便于收 费管理。如 122 元就取为 130 元、 427 元取成 430 元等), 其中需要支付保险公 司的成本及税费, 占收费的 $40 \%$ ，问 M 至少要多少时才能以不低于 $99 \%$ 的概率保 证保险公司在此项保险中获得 60 万元以上的利润?
已知产品中 $96 \%$ 为合格品。现有一种简化的检查方法, 它把真 正的合格品确认为合格品的概率为 0.98 , 而误认废品为合格品的概率为 0.05 . 求在这种简化检查下被认为是合格品的一个产品确实是合格品的概率?
设一批电子产品由甲和乙两工厂共同生产, 其中甲, 乙两工厂生产的份额分别为 $60 \%$ 和 $40 \%$ 。根据经验可知甲, 乙两工厂生产该产品的次品率分别为 $1 \%$ 和 $2 \%$, 现从这批产品中随机抽取一件, 发现是次品, 则该次品是甲厂生产的概率是多少?
设某保险公司每个月受理的索赔事件个数服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布, 而每个索赔成功的概率为 $p$, 且各个索赔彼此之间没有关系。二月份该公司有 $k$ 个索赔成功的概率是多少? 若该月份有 $k$ 个索赔成功, 则它受理了 $m(m \geq k)$ 个索赔事件的概率是多少?
某工厂为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费, 配备少了又要影响生产), 现有同类型设备 300 台, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是 0.01 . 在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况), 问至少需配备多少工人, 才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ?
设 $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=0.4$, 且 $\mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(\bar{B} \mid \bar{A})=1$, 则 $\mathrm{P}(A B)=$
甲乙二人抛郑一枚均匀的硬币, 甲抛了 101 次, 乙抛了 100 次, 则甲抛出的正面次数比乙多的概率是
对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1)求五个人的生日都在星期日的概率;
(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.
一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球, 从中一次抽取 3 个,计算至少有两个是白球的概率.
有甲乙两批种子, 发芽率分别为 0.8 和 0.7 ,
在两批种子中各随机取一粒, 求
(1) 两粒都发芽的概率;
（2）至少有一粒发芽的概率;
(3) 恰有一粒发芽的概率
掷一枚均匀硬币直到出现 3 次正面才停止.
(1)问正好在第6次停止的概率;
(2)问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.
甲乙两个篮球运动员, 投篮命中率分别为 0.7 及 0.6 ,每人各投了 3 次, 求二人进球数相等的概率.
从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，
求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.
某地某天下雪的概率为 0.3 ,下雨的概率为 0.5 , 既下雪又下雨的概率为 0.1 , 求:
(1) 在下雨条件下下雪的概率;
(2) 这天下雨或下雪的概率.
已知一个家庭有 3 个小孩, 且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率 (小孩为男为女是等可能的).
已知 $5 \%$ 的男人和 $0.25 \%$ 的女人是色盲,现随机地挑选一人, 此人恰为色盲,问此人是男人的概率 (假设男人和女人各占人数的一半).
两人约定上午9:00 10:00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.
某保险公司把被保险人分为三类: “谨慎的”,“一般的”, “冒失的”.统计资料表明, 上述三种人在一年内发生事故的概率依次为 $0.05,0.15$ 和 0.30 ;如果谨慎的被保险人占 $20 \%$,一般的占 $50 \%$,冒失的占 $30 \%$.现知某被保险人在一年内出了事故, 则他是“谨慎的”的概率是多少?
加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为 $0.02,0.03,0.05,0.03$,假定各道工序是相互独立的, 求加工出来的零件的次品率.
甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击, 设击中的概率分别是0.4, 0.5, 0.7, 若只有一人击中, 则飞机被击落的概率为 0.2 ;若有两人击中, 则飞机被击落的概率为 0.6 ;若三人都击中, 则飞机一定被击落. 求: 飞机被击落的概率.