一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设点 $p_i\left(x_i, y_i\right)(i=1,2,3)$ 为 $x O y$ 平面上的三个不同的点, $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right)$. 则三点 $p_1, p_2, p_3$ 在同一直线上的充分必要条件是
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$.
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})=2$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $n$ 维列向量 $(s < n)$, 向量组 ( I ) $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$, 向 量组 (II) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_s$, 则下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 若 (I) 线性无关, 则 (II) 线性无关.
$\text{B.}$ 若 (II) 线性相关, 则 ( I ) 线性相关.
$\text{C.}$ 若 ( I ) 线性无关, (II) 线性相关, 则 $\boldsymbol{A}$ 不可逆.
$\text{D.}$ 若 (I) 线性无关, $\boldsymbol{A}$ 不可逆, 则 (II) 线性相关.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times s$ 矩阵, 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解的充分条件是
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})=m$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})=n$.
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{B})=n$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{B})=s$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有两个线性无关的解, 则
$\text{A.}$ $A x=0$ 的解均是 $A^* x=0$ 的解.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解均是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=0$ 没有非零公共解.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有两个非零公共解.
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行的 (-2) 倍加至第 2 行得 $\boldsymbol{A}_1$, 将 $\boldsymbol{B}$ 的第 1,2两列互换得 $\boldsymbol{B}_1$, 再将乘积矩阵 $\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{B}_1$ 的第 2 行乘以 $\frac{1}{2}$, 第 3 行乘以 $\frac{1}{3}$ 得单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 则 $\boldsymbol{A B}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$.
已知 $n$ 阶方阵 $A, B$ 和 $C$ 满足 $A B C=E$, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, 则 $B^{-1}= $.
$\text{A.}$ $A^{-1} C^{-1}$
$\text{B.}$ $A C$
$\text{C.}$ $C A$
$\text{D.}$ $C^{-1} A^{-1}$
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}, \boldsymbol{B}_{m \times s}, \boldsymbol{C}_{n \times s}$ 满足 $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B}$, 以下命题中正确的是
$\text{A.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{B.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组一定线性无关
$\text{C.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{D.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组一定线性无关
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 为可逆矩阵,使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\right.$ $\boldsymbol{\alpha}_3$ ) 是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，对矩阵 $A$ 作若干次初等变换得到矩阵 $B$ ，那么必有
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}| $
$\text{B.}$ 如 $|\boldsymbol{A}|=\mathbf{0}$ ，则 $\boldsymbol{B} \mid=\mathbf{0}$
$\text{C.}$ $|\boldsymbol{A}| \neq|\boldsymbol{B}|$
$\text{D.}$ 如 $|\boldsymbol{A}|>\mathbf{0}$ ，则 $|\boldsymbol{B}|>\mathbf{0}$
下列命题错误的是
$\text{A.}$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})$
$\text{B.}$ 如果 $A, B$ 均是 $n \times 1$ 矩阵，则 $A^T B=B^T A$
$\text{C.}$ 如果 $A, B$ 均是 $n$ 阶矩阵且 $A B=0$ ，则$(A+B)^2=A^2+B^2$
$\text{D.}$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $A^m A^k=A^k A^m$
设 $A$ 是任 $-n(n \geq 3)$ 阶方阵， $A^*$ 是其伴随矩阵，又 $k$ 为 常数，且 $k \neq 0, \pm 1$ ，则必有 $(k A)^*= $
$\text{A.}$ $k A^*$
$\text{B.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{C.}$ $k^n A^*$
$\text{D.}$ $\frac{A^*}{k}$
设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k $.
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
$\text{C.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 为可逆矩阵, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\right.$ $\left.\boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 均为 $\mathbf{n}$ 阶矩阵, $\mathbf{E}$ 是 $\mathbf{n}$ 阶单位矩阵, 且 $\mathbf{A B C}=\mathbf{E}$, 则必有
$\text{A.}$ $\mathbf{A C B}=\mathbf{E}$;
$\text{B.}$ $\mathbf{B A C}=\mathbf{E}$;
$\text{C.}$ $\mathbf{C B A}=\mathbf{E}$;
$\text{D.}$ $\mathbf{B}^{-1}=\mathbf{CA}$.
设矩阵 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶非零矩阵, 且 $\mathbf{B A}=\mathbf{O}$, 则以下结论正确的是
$\text{A.}$ $\mathbf{A}$ 的行向量组线性无关
$\text{B.}$ $\mathbf{B}$ 的行向量组线性无关
$\text{C.}$ $\mathbf{A}$ 的秩与 $\mathbf{B}$ 的秩之和等于 $n$
$\text{D.}$ $\mathbf{A}$ 的列向量是方程组 $\mathrm{Bx}=\mathbf{0}$ 的解
设矩阵 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 均为 $\mathrm{n}$ 阶实对称矩阵, 那么以下命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似, 则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 有相同的特征值
$\text{B.}$ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 等价
$\text{C.}$ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似, 则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 合同
$\text{D.}$ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似, 则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 有相同的特征向量
设 $A$ 为 3 阶方阵, 数 $\lambda=-2,|A|=3$, 则 $|\lambda A|=$
$\text{A.}$ $24$
$\text{B.}$ $-24$
$\text{C.}$ $6$
$\text{D.}$ $-6$
设矩阵 $A$ 与 $B$ 等价, 则有
$\text{A.}$ $R(A) < R(B)$
$\text{B.}$ $R(A)>R(B)$
$\text{C.}$ $R(A)=R(B)$
$\text{D.}$ 不能确定 $R(A)$ 和 $R(B)$ 的大小
设 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 则 $A x=0$ 有非零解 的充分必要条件是
$\text{A.}$ $r=n$
$\text{B.}$ $r \geq n$
$\text{C.}$ $r < n$
$\text{D.}$ $r>n$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值为 $1,2,3, A_{11}, A_{22}, A_{33}$ 为 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式, 则 $A_{11}+$ $A_{22}+A_{33}=$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 3 阶矩阵, 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{P B}$, 且 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O},|\boldsymbol{A}|+1 < $ 0 , 则 $\left|(3 \boldsymbol{B})^{-1}-\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{B}\right)^{\cdot}\right|=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-4 x_1 x_3+2 x_2 x_3$, 经可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2-2 y_3^2+2 y_1 y_2$, 则 $a=$
已知 4 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right), B=\left(\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+3 \alpha_3, \alpha_3+4 \alpha_4, \alpha_4+5 \alpha_1\right),|A|=3$, 则 $|B|=$
设 $A$ 为 3 阶方阵, 已知 $A$ 的两个特征值为 1,2 , 且 $\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$, 则 $|A+E|=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 相似, 则常数 $b=$
设 $\alpha=(1,2,3)^T, \beta=\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)^T ， A=\alpha \beta^T$ ，则 $A^3=$
$\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)^{2017}\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)^{2018}=$
设 $\alpha_1=(1,1)^T, \alpha_2=(1,0)^T, \beta_1=(2,3)^T$, $\beta_2=(3,1)^T$ 则 $\alpha_1, \alpha_2$ 到 $\beta_1, \beta_2$ 的过渡矩阵为
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 相似, 则常数 $b=$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_2^2+2 y_3^2$, 其中 $\boldsymbol{Q}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 1\end{array}\right)(b>0, c>0)$.
(I) 求 $a, b, c$ 的值及矩阵 $\boldsymbol{A}$;
(II) 求一个可逆线性变换, 将二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^*\right) \boldsymbol{x}$ 化为规范形, 其中 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随 矩阵.
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1, a+1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a+1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(a+1,1,1)^{\mathrm{T}}$, 记 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$.
（I）根据 $a$ 的不同取值,讨论向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性相关性;
（II) 设 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,-2)^{\mathrm{T}}$, 当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关时, 判断线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 是否有解, 并在有解时求其通解;
(III) 对 (II) 中 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解时求得的 $a$, 求一个正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $\boldsymbol{f}\left(x_1, x_2, x_3\right)=$ $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 化为标准形.
已知 3 阶方阵 $A$ 的逆矩阵为 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$, 试求伴随矩阵 $A^*$ 的逆矩阵.
设 3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^*-\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O},|\boldsymbol{A}|=2$.
(1) 证明 $\boldsymbol{A}$ 可以对角化;
(2) 如果 $\boldsymbol{A}$ 为实对称阵, 且 $\boldsymbol{\xi}=(1,1-1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解, 求 对称矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$.
设 $P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right)$ ， $A P=P \Lambda$. 求 $\varphi(A)=A^3+2 A^2-3 A$.
已知 $A$ 是 $2 n+1$ 阶正交矩阵，即 $A A^T=A^T A=E$. 证明 : $\left|E-A^2\right|=0$.
证明: 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则有
$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$. 特别地，当 $A B=O$ 时，有
$r(A)+r(B) \leq n$.
3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^*-\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O},|\boldsymbol{A}|=2$.
(1) 证明 $\boldsymbol{A}$ 可以对角化;
(2) 如果 $\boldsymbol{A}$ 为实对称阵, 且 $\boldsymbol{\xi}=(1,1-1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解, 求 对称矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$.
设 3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O},|\boldsymbol{A}|=2$.
(1) 证明 $\boldsymbol{A}$ 可以对角化;
(2) 如果 $\boldsymbol{A}$ 为实对称阵, 且 $\boldsymbol{\xi}=(1,1-1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解, 求 对称矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$.
证明题
（1）（普通班必做）设 $\mathbf{A}$ 为 $\mathrm{n}$ 阶正交矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 均为 $\mathrm{n}$ 维列向量, 证明 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 正交的充要条件是 $\mathbf{A \alpha}$ 与 $\mathbf{A} \alpha_2$ 正交。
（2）(实验班必做）设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 均为 $\mathbf{n}$ 阶正定矩阵, $\mathrm{k}, \mathrm{u}$ 是正实数, 证明: 矩阵 $(\mathrm{kA}+u \mathrm{uB})^{-1}$ 为正定矩阵.
在钢板热传导的研究中, 常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设下图 中钢板已经达到稳态温度分布, 上下左右四个边界的温度值, $T_1, T_2, T_3, T_4$ 表示钢板内 部四个节点 $1,2,3,4$ 的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换, 那么内部某节点 温度值近似等于与它相邻四个节点温度的算术平均值, 如 $T_1=\left(10+20+T_2+T_3\right) / 4$ 。
(1) 试建立计算钢板 4 个节点温度值 $T_1, T_2, T_3, T_4$ 的线性方程组 $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$;
(2) 在 MATLAB 命令窗口输入:
$\mathbf{A}= , h=， x=$