试卷66-数学组卷-自助组卷

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试卷66

数学

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1. 设点

p_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3)

为

x O y

平面上的三个不同的点,

A = (\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{array})

. 则三点

p_{1}, p_{2}, p_{3}

在同一直线上的充分必要条件是

A.

| A | = 0

B.

| A | \neq 0

C.

r (A) = 1

D.

r (A) = 2

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2. 设

A

是

n

阶矩阵,

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

是

n

维列向量

(s < n)

, 向量组 ( I )

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

, 向量组 (II)

A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}

, 则下列结论中正确的是

A.

若 (I) 线性无关, 则 (II) 线性无关.

B.

若 (II) 线性相关, 则 ( I ) 线性相关.

C.

若 ( I ) 线性无关, (II) 线性相关, 则

A

不可逆.

D.

若 (I) 线性无关,

A

不可逆, 则 (II) 线性相关.

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3. 设

A

为

m \times n

矩阵,

B

为

n \times s

矩阵, 则齐次线性方程组

B x = 0

与

A B x = 0

同解的充分条件是

A.

r (A) = m

B.

r (A) = n

C.

r (B) = n

D.

r (B) = s

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4. 设

A

为

n (n ⩾ 2)

阶矩阵,

A

是

A

的伴随矩阵, 齐次线性方程组

A x = 0

有两个线性无关的解, 则

A.

A x = 0

的解均是

A^{*} x = 0

的解.

B.

A^{*} x = 0

的解均是

A x = 0

的解.

C.

A x = 0

与

A^{*} x = 0

没有非零公共解.

D.

A x = 0

与

A^{*} x = 0

仅有两个非零公共解.

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5. 已知

A, B

均为 3 阶矩阵, 将

A

的第 3 行的 (-2) 倍加至第 2 行得

A_{1}

, 将

B

的第 1,2两列互换得

B_{1}

, 再将乘积矩阵

A_{1} B_{1}

的第 2 行乘以

\frac{1}{2}

, 第 3 行乘以

\frac{1}{3}

得单位矩阵

E

, 则

A B =

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})

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6. 已知

n

阶方阵

A, B

和

C

满足

A B C = E

, 其中

E

为

n

阶单位矩阵, 则

B^{- 1} =

A.

A^{- 1} C^{- 1}

B.

A C

C.

C A

D.

C^{- 1} A^{- 1}

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7. 设矩阵

A_{m \times n}, B_{m \times s}, C_{n \times s}

满足

A C = B

, 以下命题中正确的是

A.

如果矩阵

C

的列向量组线性无关, 则矩阵

B

的列向量组一定线性无关

B.

如果矩阵

C

的行向量组线性无关, 则矩阵

B

的行向量组一定线性无关

C.

如果矩阵

B

的列向量组线性无关, 则矩阵

C

的列向量组一定线性无关

D.

如果矩阵

B

的行向量组线性无关, 则矩阵

C

的行向量组一定线性无关

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8. 设

A

为三阶矩阵,

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

为可逆矩阵,使得

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

, 则

A^{2} (α_{1} + α_{2} +

α_{3}

) 是

A.

α_{1} + 2 α_{3}

B.

α_{2} + 2 α_{3}

C.

α_{1} + 4 α_{3}

D.

α_{2} + 4 α_{3}

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9. 设

A

为

n

阶矩阵，对矩阵

A

作若干次初等变换得到矩阵

B

，那么必有

A.

| A | = | B |

B.

如

| A | = 0

，则

B ∣= 0

C.

| A | \neq | B |

D.

如

| A | > 0

，则

| B | > 0

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10. 下列命题错误的是

A.

如果

A

是

n

阶矩阵，则

(A - E) (A + E) = (A + E) (A - E)

B.

如果

A, B

均是

n \times 1

矩阵，则

A^{T} B = B^{T} A

C.

如果

A, B

均是

n

阶矩阵且

A B = 0

，则

(A + B)^{2} = A^{2} + B^{2}

D.

如果

A

是

n

阶矩阵，则

A^{m} A^{k} = A^{k} A^{m}

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11. 设

A

是任

- n (n \geq 3)

阶方阵，

A^{*}

是其伴随矩阵，又

k

为常数，且

k \neq 0, \pm 1

，则必有

(k A)^{*} =

A.

k A^{*}

B.

k^{n - 1} A^{*}

C.

k^{n} A^{*}

D.

\frac{A^{*}}{k}

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12. 设非齐次线性方程组

A x = β_{1}

有解,

A x = β_{2}

无解, 对于任意常数

k

A.

方程组

A x = k β_{1} + β_{2}

一定有解

B.

方程组

A x = k β_{1} + β_{2}

一定无解

C.

方程组

A x = β_{1} + k β_{2}

一定有解

D.

方程组

A x = β_{1} + k β_{2}

一定无解

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13. 设

A

为三阶矩阵,

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

为可逆矩阵, 使得

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

, 则

A^{2} (α_{1} + α_{2} +

α_{3})

是

A.

α_{1} + 2 α_{3}

B.

α_{2} + 2 α_{3}

C.

α_{1} + 4 α_{3}

D.

α_{2} + 4 α_{3}

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14. 设

A, B, C

均为

n

阶矩阵,

E

是

n

阶单位矩阵, 且

A B C = E

, 则必有

A.

A C B = E

;

B.

B A C = E

;

C.

C B A = E

;

D.

B^{- 1} = CA

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15. 设矩阵

A, B

都是

n

阶非零矩阵, 且

B A = O

, 则以下结论正确的是

A.

A

的行向量组线性无关

B.

B

的行向量组线性无关

C.

A

的秩与

B

的秩之和等于

n

D.

A

的列向量是方程组

Bx = 0

的解

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16. 设矩阵

A, B

均为

n

阶实对称矩阵, 那么以下命题错误的是

A.

若

A

与

B

相似, 则

A

与

B

有相同的特征值

B.

若

A

与

B

相似，则

A

与

B

等价

C.

若

A

与

B

相似, 则

A

与

B

合同

D.

若

A

与

B

相似, 则

A

与

B

有相同的特征向量

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17. 设

A

为 3 阶方阵, 数

λ = - 2, | A | = 3

, 则

| λ A | =

A.

24

B.

- 24

C.

6

D.

- 6

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18. 设矩阵

A

与

B

等价, 则有

A.

R (A) < R (B)

B.

R (A) > R (B)

C.

R (A) = R (B)

D.

不能确定

R (A)

和

R (B)

的大小

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19. 设

n

元齐次线性方程组

A x = 0

的系数矩阵

A

的秩为

r

, 则

A x = 0

有非零解的充分必要条件是

A.

r = n

B.

r \geq n

C.

r < n

D.

r > n

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

20. 设 3 阶矩阵

A^{- 1}

的特征值为

1, 2, 3, A_{11}, A_{22}, A_{33}

为

| A |

的代数余子式, 则

A_{11} +

A_{22} + A_{33} =

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21. 设

A, B

都是 3 阶矩阵, 存在可逆矩阵

P

, 使

A P = P B

, 且

A

满足

A^{2} - A - 2 E = O, | A | + 1 <

0 , 则

| (3 B)^{- 1} - {(\frac{1}{2} B)}^{\cdot} | =

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22. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - 2 x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 4 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}

, 经可逆线性变换

x = P y

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - 2 y_{3}^{2} + 2 y_{1} y_{2}

, 则

a =

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23. 已知 4 阶矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}), B = (α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} + 3 α_{3}, α_{3} + 4 α_{4}, α_{4} + 5 α_{1}), | A | = 3

, 则

| B | =

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24. 设

A

为 3 阶方阵, 已知

A

的两个特征值为 1,2 , 且

tr (A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 0

, 则

| A + E | =

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25. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array})

与

B = (\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{array})

相似, 则常数

b =

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26. 设

α = (1, 2, 3)^{T}, β = {(1, \frac{1}{2}, 0)}^{T} ， A = α β^{T}

，则

A^{3} =

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27.

{(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})}^{2017} (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) {(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})}^{2018} =

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28. 设

α_{1} = (1, 1)^{T}, α_{2} = (1, 0)^{T}, β_{1} = (2, 3)^{T}

β_{2} = (3, 1)^{T}

则

α_{1}, α_{2}

到

β_{1}, β_{2}

的过渡矩阵为

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29. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array})

与

B = (\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{array})

相似, 则常数

b =

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

30. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x (A^{T} = A)

在正交变换

x = Q y

下的标准形为

y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}

, 其中

Q = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{lll} 1 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 1 \end{array}) (b > 0, c > 0)

.
(I) 求

a, b, c

的值及矩阵

A

;
(II) 求一个可逆线性变换, 将二次型

x^{T} (A + A^{*}) x

化为规范形, 其中

A^{*}

为

A

的伴随矩阵.

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31. 已知向量组

α_{1} = (1, 1, a + 1)^{T}, α_{2} = (1, a + 1, 1)^{T}, α_{3} = (a + 1, 1, 1)^{T}

, 记

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

.
（I）根据

a

的不同取值,讨论向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

的线性相关性;
（II) 设

β = (1, 1, - 2)^{T}

, 当向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关时, 判断线性方程组

A x = β

是否有解, 并在有解时求其通解;
(III) 对 (II) 中

A x = β

有解时求得的

a

, 求一个正交变换

x = Q y

, 将二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =

x^{T} A x

化为标准形.

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32. 已知 3 阶方阵

A

的逆矩阵为

A^{- 1} = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array})

, 试求伴随矩阵

A^{*}

的逆矩阵.

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33. 设 3 阶实矩阵

A

和其伴随矩阵

A^{*}

满足

A - A^{*} - E = O, | A | = 2

.
(1) 证明

A

可以对角化;
(2) 如果

A

为实对称阵, 且

ξ = (1, 1 - 1)^{T}

是齐次线性方程组

(A - 2 E) x = 0

的一个解, 求对称矩阵

B

使得

B^{2} = A + E

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34. 设

P = (\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 \end{array}), Λ = (\begin{array}{lll} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})

，

A P = P Λ

. 求

φ (A) = A^{3} + 2 A^{2} - 3 A

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35. 已知

A

是

2 n + 1

阶正交矩阵，即

A A^{T} = A^{T} A = E

. 证明 :

| E - A^{2} | = 0

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36. 证明: 若

A

为

m \times n

矩阵，

B

为

n \times p

矩阵，则有

r (A B) \geq r (A) + r (B) - n

. 特别地，当

A B = O

时，有

r (A) + r (B) \leq n

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37. 3 阶实矩阵

A

和其伴随矩阵

A^{*}

满足

A - A^{*} - E = O, | A | = 2

.
(1) 证明

A

可以对角化;
(2) 如果

A

为实对称阵, 且

ξ = (1, 1 - 1)^{T}

是齐次线性方程组

(A - 2 E) x = 0

的一个解, 求对称矩阵

B

, 使得

B^{2} = A + E

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38. 设 3 阶实矩阵

A

和其伴随矩阵

A^{*}

满足

A - A - E = O, | A | = 2

.
(1) 证明

A

可以对角化;
(2) 如果

A

为实对称阵, 且

ξ = (1, 1 - 1)^{T}

是齐次线性方程组

(A - 2 E) x = 0

的一个解, 求对称矩阵

B

使得

B^{2} = A + E

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39. 证明题
（1）（普通班必做）设

A

为

n

阶正交矩阵,

α_{1}, α_{2}

均为

n

维列向量, 证明

α_{1}

与

α_{2}

正交的充要条件是

A α

与

A α_{2}

正交。
（2）(实验班必做）设

A, B

均为

n

阶正定矩阵,

k, u

是正实数, 证明: 矩阵

(kA + u uB)^{- 1}

为正定矩阵.

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40. 在钢板热传导的研究中, 常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设下图中钢板已经达到稳态温度分布, 上下左右四个边界的温度值,

T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}

表示钢板内部四个节点

1, 2, 3, 4

的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换, 那么内部某节点温度值近似等于与它相邻四个节点温度的算术平均值, 如

T_{1} = (10 + 20 + T_{2} + T_{3}) / 4

。

(1) 试建立计算钢板 4 个节点温度值

T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}

的线性方程组

A x = b

;

(2) 在 MATLAB 命令窗口输入:

A =, h = ， x =

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