一、单选题 （共 30 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设点 $P_i\left(x_i, y_i\right)(i=1,2,3)$ 为 $x O y$ 平面上三个不同的点, $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right)$, 则 三点 $P_1, P_2, P_3$ 在同一直线上的充分必要条件是
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$.
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})=2$.
设 $n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 且 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全大于零. $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵为 $\boldsymbol{A}^*=$ $\left(A_{j i}\right)_{n \times n}$, 则以下正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=\sum_{i=1}^n a_{i j}$.
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=\sum_{i=1}^n a_{j i}$.
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=-\sum_{i=1}^n a_{j i}$.
$\text{D.}$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=-\sum_{i=1}^n a_{i j}$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆; (2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=0$ 有非零解.
正确的共有
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 ________ , 则称 $\boldsymbol{A}$ 是正交阵.
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{-1}$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$
若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 结论 ________ 成立
$\text{A.}$ $|A| \neq 0$
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$
$\text{C.}$ $r>n$
$\text{D.}$ $r \leq n$
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ 若 $A B=A C$, 则 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$
$\text{C.}$ 两个同阶对角矩阵是可交换的
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & a & a \\ b & 0 & 0 \\ b & 0 & 0\end{array}\right)$, 则下列关于 $\boldsymbol{A}^n(n \geqslant 2)$ 的说法中, 正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^n$ 的各项元素仅与 $a$ 有关.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^n$ 的各项元素仅与 $b$ 有关.
$\text{C.}$ 若 $n$ 为奇数,则 $\boldsymbol{A}^n$ 的各项元素仅与 $a b$ 有关.
$\text{D.}$ 若 $n$ 为偶数,则 $\boldsymbol{A}^n$ 的各项元素仅与 $a b$ 有关.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 2 阶单位矩阵, $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$, 则下列结论中, 正确的是
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=1$.
$\text{B.}$ $A^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 不是正交矩阵.
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 则
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 且 $r(B)=2, r(A B)=1$, 则
$\text{A.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A^* & O \\ A & B\end{array}\right)\right)=3$
$\text{B.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B^*\end{array}\right)\right)=3$
$\text{C.}$ $r\left(\left(\begin{array}{cc}A^* & B \\ O & B^*\end{array}\right)\right)=3$
$\text{D.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A & B^* \\ O & B\end{array}\right)\right)=3$
$n$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$, 矩阵 $C_1=A B, C_2=A+B, C_3=(A, B)$, 则下列命题一定正确的是
(1)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
(2)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性表示.
(3)矩阵 $C_2$ 的列向量组可由矩阵 $C_3$ 的列向量线性表示.
(4) 矩阵的秩满足 $r\left(C_2\right) \leq r\left(C_3\right) \leq r(A)+r(B)$.
$\text{A.}$ (1)(3)(4)
$\text{B.}$ (2)(3)(4)
$\text{C.}$ (1)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=-2, \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21}+2 a_{11} & a_{22}+2 a_{12} & a_{23}+2 a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^*=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵,若 $r(\boldsymbol{A})=n$, 给出以下四个结论:
(1) $\boldsymbol{A}$ 可以经过若干次初等行变换化为 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{E}_n \\ \boldsymbol{O}\end{array}\right)$;
(2) 存在 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{E}$;
(3) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵等价;
(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵合同.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{A}$ 的每行元素之和均为 0 . 设 2,3 为 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值, 用 $A_{11}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的元素 $a_{11}$ 所对应的代数余子式, 则 $A_{11}=$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
设 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{E}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{O}$ 为零矩阵, 则下列命题不正确的是
$\text{A.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$.
$\text{B.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A}=\boldsymbol{O}$.
$\text{C.}$ 存在秩为 $r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A B}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E}_r & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A B}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维实列向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=1, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}$ 为 3 阶不可逆矩阵, 且 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 则 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ 是 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$ 的
$\text{A.}$ 必要非充分条件.
$\text{B.}$ 充分非必要条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 非充分非必要条件.
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 则
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 且 $r(B)=2, r(A B)=1$, 则
$\text{A.}$ $r\left(\begin{array}{ll}A & O \\ A & B\end{array}\right)=3$
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B^*\end{array}\right)=3$
$\text{C.}$ $r\left(\left(\begin{array}{cc}A^* & B \\ O & B^*\end{array}\right)=3\right.$
$\text{D.}$ $\left.r\left(\begin{array}{ll}A & B^* \\ O & B\end{array}\right)\right)=3$
设 $A 、 B$ 是 $n$ 阶方阵, 下列等式正确的是
$\text{A.}$ $(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$;
$\text{B.}$ $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$;
$\text{C.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$;
$\text{D.}$ $(A+B)^2=A^2+A B+B A+B^2$.
设 $A 、 B$ 是同阶对称矩阵, 则 $A B$ 是
$\text{A.}$ 对称矩阵;
$\text{B.}$ 非对称矩阵;
$\text{C.}$ 反对称矩阵;
$\text{D.}$ 不一定是对称矩阵;
若矩阵 $A$ 与 $B$ 可以相加, 则必有
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 可以相乘;
$\text{B.}$ $B$ 与 $A$ 可以相乘;
$\text{C.}$ $A$ 与 $B^T$ 可以相乘;
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 不能相减.
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 而且 $A^2=A$, 则
$\text{A.}$ $A=O$;
$\text{B.}$ 若 $A$ 不可逆, 则有 $A=O$;
$\text{C.}$ 若 $A$ 可逆, 则有 $A=E$;
$\text{D.}$ $A=E$.
设 $A, B$ 为同阶可逆方阵, 则存在可逆方阵 $P, Q$, 使
$\text{A.}$ $P A Q=B$;
$\text{B.}$ $P^{-1} A P=B$;
$\text{C.}$ $P^T A P=B$;
$\text{D.}$ $P A=P B$.
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵, 而且 $A B$ 不可逆, 则
$\text{A.}$ $A, B$ 都不可逆;
$\text{B.}$ $A, B$ 中至少有一个可逆;
$\text{C.}$ $A, B$ 都可逆;
$\text{D.}$ $A, B$ 中至少有一个不可逆.
设 $A$ 为 4 阶方阵, 且 $|A|=2$, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 16
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵, 则 $\left|-\left(\begin{array}{cc}A^T & O \\ O & B^*\end{array}\right)\right|=$
$\text{A.}$ $|A||B|^{n-1}$;
$\text{B.}$ $-|A||B|^{n-1}$;
$\text{C.}$ $(-1)^n|A||B|^{n-1}$;
$\text{D.}$ $|A|\left(-|B|^{n-1}\right.$.
设 $A B$ 都为 $n$ 阶方阵,则必有
$\text{A.}$ $A B=B A$;
$\text{B.}$ $|A B|=|A||B|$;
$\text{C.}$ $|A+B|=|A|+|B|$;
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵, $B$ 是 4 阶方阵, 且行列式 $|A|=1|B|=2$, 则 ||$B|A|=$
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 8
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶方阵, $A B=B A, A C=C A$, 则 $A B C=$
$\text{A.}$ $A C B$
$\text{B.}$ $B C A$
$\text{C.}$ $C A B$
$\text{D.}$ $C B A$
二、填空题 （共 24 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\mathrm{A}$ 为 3 阶矩阵, 且 $|-2 A|=2$, 则 $|A|=$
设 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-3,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\beta}_1=(1$, $3,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,-1, a)^{\mathrm{T}}$, 若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 没有非零公共解, 则参数 $a$ 满足条件
已知 $f(x)=1+2 x+x^2$ 及 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -1 & -1\end{array}\right)$, 则 $f(\boldsymbol{A})=$
若 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}|=$.
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2$, 设矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=$
已知 3 阶对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{B}$, 其中 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=0, \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2$, 设矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶正交矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}| < 0$. 交换 $\boldsymbol{A}$ 的第二列和第三列, 再将第二列的 -1 倍加到第一列, 所得矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 10\end{array}\right), \boldsymbol{B}=(2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$, 则 $|\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}|$ 中所有元素的代数余子式之和为
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\ 4 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^5-3 \boldsymbol{A}^4=$