一、单选题 （共 21 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$. 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -3
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 3 行的 $-1$ 倍加到第 2 行得 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right)$, 其中 $a$ 为常数, 则 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为
$\text{A.}$ $1,-1,2$.
$\text{B.}$ $1,2,-2$.
$\text{C.}$ $1,2, a$.
$\text{D.}$ $1, a,-a$.
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim E(a), Y \sim E(b)(a>0, b>0, a \neq b)$, 则服从 $E(a+b)$ 的 随机变量是
$\text{A.}$ $X+Y$.
$\text{B.}$ $X Y$.
$\text{C.}$ $\max \{X, Y\}$.
$\text{D.}$ $\min \{X, Y\}$.
若两事件 $A, B$ 同时出现的概率 $P(A B)=0$ ，则
$\text{A.}$ $A, B$ 互不相容(互斥)
$\text{B.}$ $A B$ 是不可能事件
$\text{C.}$ $A B$ 未必是不可能事件
$\text{D.}$ $P(A)=0$ 或 $P(B)=0$
对于任何两事件 $A, B$ ，有 $P(A-B)=$
$\text{A.}$ $P(A)-P(B)$
$\text{B.}$ $P(A)-P(B)+P(A B)$
$\text{C.}$ $P(A)-P(A B)$
$\text{D.}$ $P(A)-P(\bar{B})-P(A \bar{B})$
设 $A, B$ 为两随机事件，且 $B \subset A$ ，则下列式子正确的是
$\text{A.}$ $P(A+B)=P(A)$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(A)$
$\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{D.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 不相容
$\text{B.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 相容
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A-B)=P(A)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布，
$$
X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 5^2\right),
$$
记 $p_1=P\{X \leq \mu-4\}, p_2=P\{Y \geq \mu+5\}$ ，则
$\text{A.}$ 对任何实数 $\mu$ ，都有 $p_1=p_2$
$\text{B.}$ 对任何实数 $\mu$ ，都有 $p_1 < p_2$
$\text{C.}$ 只对 $\mu$ 的个别值，才有 $p_1=p_2$
$\text{D.}$ 对任何实数 $\mu$ ，都有 $p_1>p_2$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则随着 $\sigma$ 的增大，概率 $\{|X-\mu| < \sigma\}$
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
设 $A, B$ 为任意两个事件且 $A \subset B, P(B)>0$, 则下列选项必然成立的是
$\text{A.}$ $P(A) < P(A \mid B)$
$\text{B.}$ $P(A) \leq P(A \mid B)$
$\text{C.}$ $P(A)>P(A \mid B)$
$\text{D.}$ $P(A) \geq P(A \mid B)$
设 $A, B$ 是两个随机事件，且
$$
0 < P(A) < 1, P(B)>0, P(B \mid A)=P(B \mid \bar{A}) \text { ， }
$$
则必有
$\text{A.}$ $P(A \mid B)=P(\bar{A} \mid B)$
$\text{B.}$ $P(A \mid B) \neq P(\bar{A} \mid B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A B) \neq P(A) P(B)$
设 $A, B, C$ 三个事件两两独立，则 $A, B, C$ 相互独立的充分必要条件是 $X=$
$\text{A.}$ $A$ 与 $B C$ 独立
$\text{B.}$ $A B$ 与 $A \cup C$ 独立
$\text{C.}$ $A B$ 与 $A C$ 独立
$\text{D.}$ $A \cup B$ 与 $A \cup C$ 独立
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： $A_1=\{\{$ 掷第一次出现正面 $\} ， A_2=\{$ 掷第二次出现正面 $\} ， A_3=\{$ 正、反面各出现一次 $\} ， A_4=\{$ 正面出现两次 $\}$ ，则事件
$\text{A.}$ $A_1, A_2, A_3$ 相互独立
$\text{B.}$ $A_2, A_3, A_4$ 相互独立
$\text{C.}$ $A_1, A_2, A_3$ 两两独立
$\text{D.}$ $A_2, A_3, A_4$ 两两独立
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$ ，数 $u_\alpha$ 满足
$P\left\{X>u_\alpha\right\}=\alpha$ ，若 $P\{|X| < x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{\alpha}{2}}$
$\text{B.}$ $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$
$\text{C.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$
$\text{D.}$ $u_{1-\alpha}$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$ ，数 $u_\alpha$ 满足
$P\left\{X>u_\alpha\right\}=\alpha$ ，若 $P\{|X| < x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{\alpha}{2}}$
$\text{B.}$ $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$
$\text{C.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$
$\text{D.}$ $u_{1-\alpha}$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right) ， Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，且 $P\left\{\left|X-\mu_1\right| < 1\right\}>P\left\{\left|Y-\mu_2\right| < 1\right\}$,则必有
$\text{A.}$ $\sigma_1 < \sigma_2$
$\text{B.}$ $\sigma_1>\sigma_2$
$\text{C.}$ $\mu_1 < \mu_2$
$\text{D.}$ $\mu_1>\mu_2$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right) ， Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，且 $P\left\{\left|X-\mu_1\right| < 1\right\}>P\left\{\left|Y-\mu_2\right| < 1\right\}$ ，则必有
$\text{A.}$ $\sigma_1 < \sigma_2$
$\text{B.}$ $\sigma_1>\sigma_2$
$\text{C.}$ $\mu_1 < \mu_2$
$\text{D.}$ $\mu_1>\mu_2$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度， $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
a f_1(x), x \leq 0 \\
b f_2(x), x>0
\end{array}(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布， $X_1, X_2$ ， $\cdots, X_n(n \geq 2)$ 为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量 $T_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, T_2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} X_i+\frac{1}{n} X_n$ ，有
$\text{A.}$ $E T_1>E T_2, D T_1>D T_2$
$\text{B.}$ $E T_1>E T_2, D T_1 < D T_2$
$\text{C.}$ $E T_1 < E T_2, D T_1>D T_2$
$\text{D.}$ $E T_1 < E T_2, D T_1 < D T_2$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) ， Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $P\left\{x^2+y^2 \leq 1\right\}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}$
二、填空题 （共 30 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设在一次试验中, 事件 $A$ 发生的概率为 $p$. 现进行 $n$ 次独立试验, 则 $A$ 至少发生一次的概率为 ; 而事件 $A$ 至多发生一次的概率为 （ ） ，而事件 $A$ 至多发生一次的概率为 （ ）
三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 $\qquad$已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为
设三次独立试验中, 事件 $A$ 出现的概率相等. 若已知 $A$ 至少出现一次的概率等于 $\frac{19}{27}$, 则事件 $A$ 在 一次试验中出现的概率为
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数, 则事件“两数之和小于 $\frac{6}{5}$ ” 的概率为
设随机变量 $X$ 服从均值为 10 , 均方差为 $0.02$ 的正态分布. 已知
$$
\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}} \mathrm{~d} u, \Phi(2.5)=0.9938,
$$
则 $X$ 落在区间 $(9.95,10.05)$ 内的概率为
已知随机事件 $A$ 的概率 $P(A)=0.5$, 随机事件 $B$ 的概率 $P(B)=0.6$ 及条件概率 $P(B \mid A)=$ $0.8$, 则和事件 $A \cup B$ 的概率 $P(A \cup B)=$
甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 $0.6$ 和 $0.5$. 现已知目标被命中,则它 是甲射中的概率为
若随机变量 $\xi$ 在 $(1,6)$ 上服从均匀分布, 则方程 $x^{2}+\xi x+1=0$ 有实根的概率是
设随机事件 $A 、 B$ 及其和事件 $A \cup B$ 的概率分别是 $0.4 、 0.3$ 和 $0.6$, 若 $\bar{B}$ 表示 $B$ 的对立事件, 那么积事件 $A \bar{B}$ 的概率 $P(A \bar{B})=$
若随机变量 $X$ 服从均值为 2 , 方差为 $\sigma^{2}$ 的正态分布, 且 $P\{2 < X < 4\}=0$. 3, 则 $P\{X < 0\}=$
设工厂 $\mathrm{A}$ 和工厂 $\mathrm{B}$ 的产品的次品率分别为 $1 \%$ 和 $2 \%$, 现从由 $\mathrm{A}$ 厂和 $\mathrm{B}$ 厂的产品分别占 $60 \%$ 和 $40 \%$ 的一批产品中随机抽取一件, 发现是次品, 则该次品是 A厂生产的概率是
设 $\xi, \eta$ 是两个相互独立且均服从正态分布 $N\left(0,\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right)$ 的随机变量, 则随机变量 $|\xi-\eta|$ 的数 学期望 $E(|\xi-\eta|)=$
设 $ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right) $ , $f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{2 n+1}$ ,则 $ f(\boldsymbol{A})=$
随机地向半圆 $0 < y < \sqrt{2 a x-x^2}(a>0)$ 内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 $x$ 轴的夹角小于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为
设 $A ， B$ 为随机事件， $P(A)=0.7, P(A-B)=0.3$,则 $P(\overline{A B})=$
设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为
假设一批产品中一，二，三等品各占 $650 \%, 30 \%, 10 \%$ ，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 $\qquad$ .
一实习生用同一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 $i$个零件是不合格品的概率 $p_i=\frac{1}{i+1}(i=1,2,3)$ ，以 $X$ 表示 3 个零件中合格品的个数，则 $P(X=2)=$