一、单选题 （共 25 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $\beta_{1} 、 \beta_{2}$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同的解, $\alpha_{1} 、 \alpha_{2}$ 是对应齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系, $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数, 则方程组 $A x=b$ 的通解 (一般解) 必是
$\text{A.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{B.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
$\text{C.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{D.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}-\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
曲线 $f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的 旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\pi \sin 3$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n$.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})$.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$.
$\text{D.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$.
若方程 $a\left(x^2+y^2+z^2\right)+4(x y+y z+z x)=1$ 的图形是双叶双曲面, 则常数 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $a < -4$.
$\text{B.}$ $-4 < a < 2$.
$\text{C.}$ $-2 < a < 4$.
$\text{D.}$ $a < 2$.
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
曲线 $y=f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形 成的旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\sin 3$.
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其秩 $r < n$ ，那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量线性无关
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示
$n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(3 \leq s \leq n)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$, 使 $ k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s \neq 0 $
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中任意两个向量都线性无关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出
微分方程 $y^{\prime \prime}-y=e^x+1$ 的一个特解应具有形式为 (以下 $a, b$ 为常数)
$\text{A.}$ $a e^x+b$
$\text{B.}$ $a x e^x+b$
$\text{C.}$ $a e^x+b x$
$\text{D.}$ $a x e^x+b x$
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 的行列式 $|A|=0$ ，则 $A$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合
$\text{D.}$ 任一列向量是其余列向量的线性组合
设 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则必有
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征根，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的特征根之一是
$\text{A.}$ $\lambda^{-1}|A|^n$
$\text{B.}$ $\lambda^{-1}|A|$
$\text{C.}$ $\lambda|A|$
$\text{D.}$ $\lambda|A|^n$
设 $A$ 与 $B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A B=0$ ，则必有
$\text{A.}$ $A=0$ 或 $B=0$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$
$\text{D.}$ $|A|+|B|=\mathbf{0}$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $A x=0$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 所对应的齐次线性方组,则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $A x=0$ 仅有零解，则 $A x=b$ 有唯一解
$\text{B.}$ 若 $A x=0$ 有非零解，则 $A x=b$ 有无穷多个解
$\text{C.}$ 若 $A x=b$ 有无穷多个解，则 $A x=0$ 仅有零解
$\text{D.}$ 若 $A x=b$ 有无穷多个解，则 $A x=0$ 有非零解
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=O$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $A^2+A=O$ ，若 $A$ 的秩为 3，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cccc}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 是 4 阶矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0)^T$ 是方程组 $A x=0$ 的一个基础解系，则 $A^* x=0$的基础解系可为
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵， $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的 3 个线性无关的解， $k_1, k_2$ 为任意常数，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解为
$\text{A.}$ $\frac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{C.}$ $\frac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1\left(\eta_3-\eta_1\right)+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)+k_3\left(\eta_3-\eta_1\right)$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_1\end{array}\right)$ ，其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_4\end{array}\right)$ ，其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) ， Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_4\end{array}\right)$, 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right) \text { ，若 } P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) \text { ， }
$$
$Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
二、判断题 （共 6 题，每小题 5 分，共 20 分）
$\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x}}=\infty$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\int_{-\pi}^\pi x^4 \sin x \mathrm{~d} x=0$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+b_n\right)$ 必发散
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)$ 都存在，则极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 必存在. （填写正确或错误）
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，则必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0 $
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶非零方阵，且 $A B=0$ ，则 $A$ 的秩必小于 $n$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 26 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则逆矩阵 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=$
设 4 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=$
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
设 $\Sigma$ 为由曲线 $\left\{\begin{array}{l}3 x^2+2 y^2=33, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面, $\Pi$ 为曲面 $\Sigma$ 在点 $M(1,3,2)$ 处的切平面, 则坐标原点到平面 $\Pi$ 的距离为
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}$.
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{8 n^2+2 n-1}$ 在收敛区间内的和函数.