一、单选题 （共 35 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 ( ) 个
(1). $\boldsymbol{B C A}=\boldsymbol{E}$
(2). $C A B=E$
(3). $C^* B^* A^*=E$
(4). $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{B}^T=\boldsymbol{E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
(a) $\left[(A B)^T\right]^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T\left(B^{-1}\right)^T$
(b) $A C$ 可道, 且 $A C=B C$, 则 $A=B$
(c) 3 是 $A$ 的特征值, 则 21 是 $A^3-2 A$ 的特征值
则上述正确的是
$\text{A.}$ (a)
$\text{B.}$ (b)
$\text{C.}$ (c)
$\text{D.}$ 全部
向量组 $\alpha_1=[1,2,-1,1], \alpha_2=[2,0, t, 0], \alpha_3=[-1,2,-4,1]$ 的秩为 2 , 则 $t$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
$A, B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵, 则 $\left[\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right]$ 的伴随矩阵是
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{cc}O & |B| B^* \\ |A| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $(-1)^{m n}\left[\begin{array}{cc}O & |A| B^* \\ |B| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^* \\ A^* & O\end{array}\right]$
已知矩阵$A$和$E-A$可逆，其中$E$为单位矩阵，若矩阵$B$满足$(E-(E-A)^{-1})B=A$,则$B-A=$________.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵,则下列结论错误的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}^m \sim \boldsymbol{B}^m$
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \sim \lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}$
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 且 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可逆, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^* \sim \boldsymbol{B}^{-1}+\boldsymbol{B}^*$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 2 & x & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 2 & 1 & x\end{array}\right|$ 的常数项为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵, 记矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right)$ 的秩分别为 $r_1, r_2, r_3$, 则
$\text{A.}$ $r_1=r_2 \geqslant r_3$.
$\text{B.}$ $r_1=r_2 \leqslant r_3$.
$\text{C.}$ $r_1=r_3 \geqslant r_2$.
$\text{D.}$ $r_1=r_3 \leqslant r_2$.
设 $|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right|$, 则 $\sum_{i, j=1}^3 A_{i j}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ -3
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 及 $\boldsymbol{A}^*$ 都是 $n(n \geqslant 3)$ 阶非零矩阵, 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$, 则 $r(\boldsymbol{B})=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, 则下列说法中, 错误的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}\end{array}\right)$ 相似.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 相似.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 相似.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 相似.
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵, 则下列错误的是
$\text{A.}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$
$\text{B.}$ $(A B)^T=B^T A^T$
$\text{C.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{D.}$ $|A B|=|B A|$.
设 $A$ 是 $n$ 阶不可逆方阵, 则以下错误的是
$\text{A.}$ $|A|=0$
$\text{B.}$ $A$ 的行向量组线性相关
$\text{C.}$ $r(A) < n$
$\text{D.}$ 方程组 $A x=0$ 只有零解
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列错误的是
$\text{A.}$ $\operatorname{det} A \neq \operatorname{det} B$
$\text{B.}$ $A^m$ 与 $B^m$ 相似
$\text{C.}$ $r(A)=r(B)$
$\text{D.}$ $\operatorname{det} A=0$ 时, $\operatorname{det} B=0$
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵且 $|\boldsymbol{A}|=-\frac{1}{4}$, 则 $\left|\left(\frac{1}{5} \boldsymbol{A}\right)^{-1}+(2 \boldsymbol{A})^*\right|=$
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ -16
$\text{C.}$ 256
$\text{D.}$ -256
设 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则必有
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A} B=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$
$\text{C.}$ $|\boldsymbol{A B}|=|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$
$\text{D.}$ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}={\boldsymbol{A}}^{-1}+ {\boldsymbol{B}}^{-1} $
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其秩 $r < n$ ，那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量线性无关
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示
下列是矩阵 $A_{3 \times 3}$ 可对角化充分而非必要条件是
$\text{A.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个不同特征值
$\text{B.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个线性无关特征向量
$\text{C.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 的任意两个特征向量正交
$\text{D.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个不同特征值
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵, $E$ 为单位矩阵, 若方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{ll}A & O \\ E & B\end{array}\right] y=0$ 只有零解.
$\text{B.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{cc}E & A \\ O & A B\end{array}\right] y=0$ 只有零解.
$\text{C.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{ll}A & B \\ O & B\end{array}\right] y=0$ 与 $\left[\begin{array}{ll}B & A \\ O & A\end{array}\right] y=0$ 同解.
$\text{D.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right] y=0$ 与 $\left[\begin{array}{cc}B A & A \\ O & B\end{array}\right] y=0$ 同解.
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价, 则 $\lambda$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-2\}$
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-1\}$
设 $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵, $\boldsymbol{\alpha}$ 是三阶单位列向量,则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的秩 $r\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $\boldsymbol{n}$ 阶方阵, 满足 $\boldsymbol{A}^{\boldsymbol{m}}=\boldsymbol{E}$, 其中 $\boldsymbol{m}$ 为正整数. $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n}\end{array}\right)$, 其中 $A_{i j}$ 是 $A$中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式, 则 $\boldsymbol{B}^{\mathbf{m}}=$
$\text{A.}$ $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{O}$.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $4$
设 $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & -1\end{array}\right)$, 则 $|A B|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
已知 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵, 且 $A B=0$, 则必有
$\text{A.}$ $A=0$ 或 $B=0$
$\text{B.}$ $|A|=|B|=0$
$\text{C.}$ $A=B=0$
$\text{D.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$
可量组 $a_1=(1,1,1,1)^T, a_2=(1,2,3,4)^T, a_3=(0,1,2,3)^T$ 的秩为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A$ 是 3 阶矩阵, 且 $|A|=-2$ 则 $\left|\left(\frac{1}{12} A\right)^{-1}+(3 A)^*\right|=$
$\text{A.}$ -108
$\text{B.}$ 108
$\text{C.}$ 54
$\text{D.}$ -54
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵, $A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式, $i, j=1,2,3, \boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, y_3\right)^{\mathrm{T}}$, 若 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 化为 $3 y_1^2-2 y_2^2+y_3^2$, 则 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j$ 经可逆变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 可化为规范形
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $-y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right|$, 则 $\sum_{i, j=1}^3 A_{i j}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶可逆矩阵,将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行加到第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 第 1 行乘 2 得矩阵 $\boldsymbol{C}$, 则 ${A C^{-1}}=$
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 3 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B A})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A B}\end{array}\right)=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{B A})$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶可逆矩阵,将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行加到第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 第 1 行乘 2 得矩阵 $\boldsymbol{C}$, 则 $A C^{-1}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right)$, 与 $\boldsymbol{A}$ 合同但不相似的矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ll}-1 & -1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$.
设 $A, B$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, 则下列说法中, 错误的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & A\end{array}\right)$ 相似.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}A & B-A \\ O & B\end{array}\right)$ 相似.
行列式 $\left|\begin{array}{lll}4 & 3 & 9 \\ 5 & 7 & 1 \\ 3 & 5 & 4\end{array}\right|$ 中, 代数余子式 $A_{21}=$
$\text{A.}$ 33
$\text{B.}$ -33
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ -5
二、填空题 （共 20 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\alpha=[0,-1,2]^T, \beta=[0,-1,1]^T, A=\alpha \beta^T$, 则 $A^4=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 分别属于特征值 0,2 的特征向量, 则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_2$ 的通解为
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{A}$ 不可相似对角化, 则 $a=$
设 3 阶对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行元素为 $1,2,3$, 第一行元素的代数余子式为 $0,1,-1$, 则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 的解为
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶可逆实矩阵, $n \geq 3$ 且 $n$ 为奇数, $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 在行列式 $|A|$ 中的代数余子式, 若 $A_{i j}=2 a_{i j}, i, j=1,2, \cdots, n$, 则行列式 $|A|=$