一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
对任意事件 $A, B$,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $P(A) P(B) \geqslant P(A \cup B) P(A B)$.
$\text{B.}$ $P(A)+P(B) \leqslant 2 P(A B)$.
$\text{C.}$ $P(A)+P(A B) \geqslant P(A \cup B)$.
$\text{D.}$ $P(A)+P(B) \leqslant P(A \cup B) P(A B)$.
从装有 2 只红球, 2 只白球的袋中任取两球, 记 $A=$ “取到 2 只白球”, 则 $\bar{A}=$
$\text{A.}$ 取到 2 只红球
$\text{B.}$ 取到 1 只白球
$\text{C.}$ 没有取到白球
$\text{D.}$ 至少取到 1 只红球
对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为
$\text{A.}$ 随机事件
$\text{B.}$ 必然事件
$\text{C.}$ 不可能事件
$\text{D.}$ 样本空间
设 $A 、 B$ 为随机事件, 则 $(A B+A \bar{B})(A+\bar{A} \bar{B})=$
$\text{A.}$ $A$
$\text{B.}$ $B$
$\text{C.}$ $A B$
$\text{D.}$ $\Phi$
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个概率不为零的互斥事件, 则下列结论中肯定正确的是
$\text{A.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 互斥
$\text{B.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 不互斥
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A-B)=P(A)$
设 $A, B$ 为两随机事件, 且 $B \subset A$, 则下列式子正确的是
$\text{A.}$ $P(A \cup B)=P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(B)$
$\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{D.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
设 $A, B, C$ 相互独立$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3} \text {, 则 } P(A \cup B \cup C)= $
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{19}{27}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{27}$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, 且有 $A \supset B, A \supset C, P(A)=0.9, P(\bar{B} \cup \bar{C})=0.8$, 则 $P(A-B C)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.6
$\text{C.}$ 0.7
$\text{D.}$ 0.8
进行一系列独立的试验, 每次试验成功的概率为 $p$, 则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为
$\text{A.}$ $p^2(1-p)^3$
$\text{B.}$ $4 p(1-p)^3$
$\text{C.}$ $5 p^2(1-p)^3$
$\text{D.}$ $4 p^2(1-p)^3$
设 $A 、B$ 为两随机事件, 且 $B \subset A$, 则下列式子正确的是
$\text{A.}$ $ P(A \cup B)=P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(B)$
$\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{D.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
设事件 $A$ 与 $B$ 同时发生时, 事件 $C$ 一定发生, 则
$\text{A.}$ $P(A B)=P(C)$
$\text{B.}$ $P(A)+P(B)-P(C) \leqslant 1$
$\text{C.}$ $P(A)+P(B)-P(C) \geqslant 1$
$\text{D.}$ $P(A)+P(B) \leqslant P(C)$
已知 $P(A)=P(B)=\frac{2}{3}$, 又设 $I=P(A \mid B)+P(B \mid A)$, 则 $I$ 的最大可能取值 $I_1$ 和最小可能取值 $I_2$ 之差为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1
设 $A, B$ 为两个随机事件, $0 < P(A)=p < 1,0 < P(B)=q < 1$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B) \leqslant \frac{p}{q}$.
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \mid B) \leqslant \frac{P}{q}$.
$\text{C.}$ $P(A \mid B) \geqslant 1+\frac{p-1}{q}$.
$\text{D.}$ $P(\bar{A} \mid B) \geqslant 1-\frac{P}{q}$.
当 ( )成立时, 随机事件 $A, B, C$ 相互独立.
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A-B)=1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(C-A)=0$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(A \cup B)=1$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(A B C)=\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(C)$
设 $A, B$ 为随机事件, 则 $(A-B) \cup B$ 等于
$\text{A.}$ $A$
$\text{B.}$ $A B$
$\text{C.}$ $A \bar{B}$
$\text{D.}$ $A \cup B$
设 $A, B$ 为随机事件, $B \subset A$, 则
$\text{A.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A)$
$\text{D.}$ $P(A \cup B)=P(A)$
已知一射手在唡次独立射击中至少命中目标一次的概率为 0.96 , 则该射手每次射击的命中率为
$\text{A.}$ 0.04
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 0.96
甲乙二人分别向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率均为 $\frac{1}{2}$, 甲射击 4 次, 乙射击 3 次,则甲命中次数大于乙命中次数的概率为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$.
甲袋中有 4 只红球, 有 6 只白球, 乙袋中有 6 只红球, 10 只白球, 现从两袋中各任取 1 球, 则 2 个球颜色相同的概率是
$\text{A.}$ $\frac{6}{40}$
$\text{B.}$ $\frac{15}{40}$
$\text{C.}$ $\frac{21}{40}$
$\text{D.}$ $\frac{19}{40}$
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, 则 $A, B, C$ 至少发生两个可表示为
掷一颗骰子, $A$ 表示 “出现奇数点”, $B$ 表示 “点数不大于 3 ”, 则 $A-B$ 表示
已知互斥的两个事件 $A, B$ 满足 $P(A)=p, P(A \cup B)=r$, 则 $P(B)=$
设 $A, B$ 为两个随机事件, $P(A)=0.6, P(A-B)=0.2$, 则 $P(\overline{A B})=$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件,
$
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A C)=\frac{1}{6}, P(A B)=0, P(B C)=0,
$
则 $A, B, C$ 至少发生一个的概率为
记半圆盘 $x^2+y^2 \leqslant 4(y \geqslant 0)$ 中到 $x$ 轴的距离不超过 $\sqrt{2}$ 的点所构成的区域为 $D$. 向区域 $D$ 中随机投郑一点, 以该点为圆心, 该点到 $x$ 轴的距离为半径作圆 $C$. 记圆 $C$ 的面积为 $S$,则 $E(S)=$
从数字 $1,2, \cdots, 10$ 中有放回地任取 4 个数字, 则数字 10 恰好出现两次的概率为
设 $A, B$ 为随机事汼, $P(A)=0.2, P(B \mid A)=0.4, P(A \mid B)=0.5$.
求: (1) $P(A B)$;
(2) $P(A \cup B)$.
设事件 $A 、 B$ 互不相容, 已知 $P(A)=0.4, P(B)=0.5$, 则 $P(\bar{A} \cdot \bar{B})=$ , 若 $A 、 B$ 独立, 则 $P(A \cup B)=$
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
袋中装有 5 个白球, 3 个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。
10 把钥匙有 3 把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。
一间宿舍住有 6 位同学,求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率。
50 个产品中有 46 个合格品与 4 个次品, 从中一次抽取 3 个,求至少取到一个次品的概率。
加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。
已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。
求该产品的一级品率。
一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，
求其中确实没有次品的概率。
某厂的产品, $80 \%$ 按甲工艺加工, $20 \%$ 按乙工艺加工, 两种工艺加工出来的产品的合格率分别为 0.8 与 0.9 。现从该厂的产品中有放回地取 5 件来检验,求其中最多有一件次品的概率。
证明题 设 $P(A)=a, P(B)=b(a, b$ 均大于 0$)$ 。证明
$\frac{a}{b} \geq P(A \mid B) \geq \frac{a+b-1}{b}$
设产品寿命 $X$ (小时) 服从参数 $a=0.001$ 的指数分布。
(1) 从中任取一个产品, 求寿命大于 1000 的概率;
（2）从中任取 5 个产品, 求至少有一个寿命大于 1000 的概率;
（3）从中任取一个产品, 使用到 1000 小时时还没有失效, 求再使用 1000 小时的概率。
设某产品的质量指标 $X \sim N(10,4)$, 其中当 $6 < X < 14$ 时是合格品, 当 $8 < X < 12$时是一等品。(1) 从中任取一个产品, 求是一等品的概率; (2) 如果从中任取一个产品发现是合格品, 求它是一等品的概率。
市场上销售的某种电器有 $80 \%$ 是合格品, $20 \%$ 不合格, 已知合格品能正常使用的概率为 $90 \%$, 不合格品能正常使用的概率为 $50 \%$ 。随机购买一台该电器: (1) 求不能被正常使用的概率; (2) 若这台电器不能正常使用, 求是不合格品的概率。