试卷68-数学组卷-自助组卷

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试卷68

数学

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 若矩阵

A

经初等列变换化成 B, 则（）

A.

存在矩阵

P

, 使得

P A = B

B.

存在矩阵

P

, 使得

B P = A

C.

存在矩阵

P

, 使得

P B = A

D.

方程组

A x = 0

与

B x = 0

同解

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2. 已知直线

L_{1} : \frac{x - a_{2}}{a_{1}} = \frac{y - b_{2}}{b_{1}} = \frac{2 - c_{2}}{c_{1}}

与直线

L_{2} : \frac{x - a_{3}}{a_{2}} = \frac{y - b_{3}}{b_{2}} = \frac{z - c_{3}}{c_{2}}

相交于一点, 法向量

a_{i} = [\begin{array}{l} a_{i} \\ b_{i} \\ c_{i} \end{array}], i = 1, 2, 3

. 则

A.

a_{1}

可由

a_{2}, a_{3}

线性表示

B.

a_{2}

可由

a_{1}, a_{3}

线性表示

C.

a_{3}

可由

a_{1}, a_{2}

线性表示

D.

a_{1}, a_{2}, a_{3}

线性无关

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3. 行列式

| \begin{array}{cccc} a & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & a & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & a & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & a \end{array} | =

________.

A.

B.

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4. 设

A

与

B

均为三阶矩阵,

k > 0

则下式成立的是

A.

| k A | = k | A |

B.

(k A)^{- 1} = k A^{- 1}

C.

| A B | = | A | | B |

D.

| A + B | = | A | + | B |

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5. 设

A

为 2 阶可逆矩阵, 且

(2 A)^{- 1} = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]

, 则

A =

A.

\frac{1}{2} {[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]}^{- 1}

B.

2 {[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]}^{- 1}

C.

\frac{1}{2} [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]

D.

2 [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]

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6. 向量组

μ_{1} = [\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \end{array}], μ_{2} = [\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 1 \end{array}], μ_{3} = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ a \end{array}]

, 则该向量组

A.

线性相关

B.

当

a \neq 1

且

a \neq - 2

时线性无关

C.

线性无关

D.

当

a \neq 1

时线性无关

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7. 设

η_{1}, η_{2}, η_{3}

为三元线性方程组

A X = b

的解向量,

A

的秩为

2, η_{1} + η_{2} = (2, 0, 4)^{T}

η_{2} + η_{3} = (1, - 2, 1)^{T}

, 则对任意常数

k, A X = b

的通解为

A.

(1, 0, 2)^{T} + k (1, 2, 3)^{T}

B.

(2, 0, 4)^{T} + k (1, - 2, 1)^{T}

C.

(1, - 2, 1)^{T} + k (2, 0, 4)^{T}

D.

(1, 0, 2)^{T} + k (1, - 2, 1)^{T}

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8. 设有齐次线性方程组

A x = 0

和

B x = 0

, 其中

A, B

均为

m \times n

矩阵, 下列有四个命题:
(1) 若

A x = 0

的解均是

B x = 0

的解, 则

r (A) \geq r (B)

;
(2) 若

r (A) \geq r (B)

, 则

A x = 0

的解均是

B x = 0

的解;
(3)若

A x = 0

与

B x = 0

同解, 则

r (A) = r (B)

;
(4)若

r (A) = r (B)

, 则

A x = 0

与

B x = 0

同解.
以上命题中正确的是

A.

(1) (2)

B.

(3) (4)

C.

(2) (4)

D.

(1) (3)

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9. 设

A, P

均为 3 阶方阵,

P^{T}

为

P

的转置矩阵, 且

P^{T} A P = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

, 若

P =

(α_{1}, α_{2}, α_{3}), Q (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

, 则

Q^{T} A Q

为

A.

[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

B.

[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

C.

[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

D.

[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

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10. 设

A

是

m \times n

矩阵,

x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T}

, 则下列说法中错误的是

A.

如果对任意

m

维列向量

b

, 方程组

A x = b

有解, 则

m ⩾ n

B.

如果

r (A) = m

, 则对任意

m

维列向量

b

, 方程组

A x = b

有解

C.

对任意

m

维列向量

b

, 方程组

A^{T} A x = A^{T} b

有解

D.

如果

r (A) = n

, 则对任意

n

维列向量

b

, 方程组

A^{T} A x = b

有解

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11. 设矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 3 & 1 & - 2 \\ 2 & - 5 & - 2 & - 2 \\ 0 & - 4 & 5 & 1 \\ - 3 & 9 & - 6 & 7 \end{array}), M_{3}

, 是

A

的第 3行第

j

列元素的余子式

(j = 1, 2, 3, 4)

, 则

M_{31} + 3 M_{32} - 2 M_{33} + 2 M_{34} =

A.

B.

C.

- 2

D.

- 3

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12. 设

A

是 3 阶矩阵, 将

A

的第 2 列加到第 3 列得矩阵

B

, 再将

B

的第 3 行的

- 1

倍加到第 2 行得

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a \end{array})

, 其中

a

为常数, 则

A

的 3 个特征值为

A.

1, 2, a

B.

1, 2, - 2

C.

1, - 1, 2

D.

1, a, - a

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 向量组

α_{1} = (1, - 1, 0)^{T}, α_{2} = (2, 4, 1)^{T}, α_{3} = (1, 5, 1)^{T}

的秩为

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14. 设

A

是三阶方阵,

I

是三阶单位矩阵, 且

| A + I | = 0, | A + 2 I | = 0, | A + 3 I | = 0

, 则

| A + 4 I | =

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15. 设

A, B, C

为三个事件, 用

A, B, C

的运算关系表示下列各事件:
(1)

A

发生,

B

与

C

不发生.
(2)

A

与

B

都发生,而

C

不发生.
(3)

A, B, C

中至少有一个发生.
(4)

A, B, C

都发生.
(5)

A, B, C

都不发生.
(6)

A, B, C

中不多于一个发生.
(7)

A, B, C

中不多于两个发生.
(8)

A, B, C

中至少有两个发生.

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三、解答题（共 25 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2}^{2}

经正交变换

(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) = Q (\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array})

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}) = a y_{1}^{2} + 4 y_{1} y_{2} + b y_{2}^{2}

, 其中

a \geq b

.
(1) 求

a, b

的值.
（2）求正交矩阵

Q

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17. 设

A = [\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]

, 矩阵

X

, 使

A X = A + 2 E

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18. 求线性方程组

{\begin{matrix} - x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 1 \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2 \\ 5 x_{1} - 5 x_{2} - 4 x_{3} = 1 \end{matrix}

的通解

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19. 设

A

为满足等式

A^{2} - 3 A + 2 E = 0

的矩阵, 证明

A

可逆, 并求

A^{- 1}

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20. 设矩阵

A = {(a_{i j})}_{(n - 1) \times n}

的行向量组的转置都是方程组

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0

的解,

M_{i}

是矩阵

A

中化去第

i

列剩下的

(n - 1) \times (n - 1)

矩阵的行列式, 试证:
(1)

\sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} M_{i} = 0

的充要条件是

A

的行向量组的转置不是方程组

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0

的基础解系;
(2)若

\sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} M_{i} = 1

, 试求每个

M_{i}

的值.

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21. 已知 1 是三阶实对称矩阵

A

的一个特征值, 且

A (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 0 & - 4 \\ 0 & 2 \end{array})

(1) 求

A

的所有特征值和对应的特征向量.
(2) 如果

β = (- 1, 1, - 5)

, 求

A^{n} β

.
(3) 设向量

x = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})}^{T}

, 求方程

x^{T} A x = 0

的通解.

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22. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{3}, g (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3}

.
(1) 求一个可逆矩阵

C

, 使得

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

可用合同变换

x = C y

化为标准形;
(2) 记

g (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的矩阵为

B

, 求正交矩阵

Q

, 使得

Q^{T} (C^{T} B C) Q

为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵

T

, 使得在合同变换

x = T y

下可将

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

与

g (x_{1}, x_{2}, x_{3})

同时化为标准形.

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23. 设

A

是

n

阶可逆矩阵,

A^{*}

是

A

的伴随矩阵, 且有

A B A A^{*} = 2 B A^{- 1} + E

. 试证：
(1)

A B = B A

;
(2)

B

与

A

有完全相同的特征向量;
（3）

B

与

A

是否相似? 请说明理由.

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24. 10片药片中有 5 片是安慰剂.
（1）从中任意抽取 5 片,求其中至少有 2 片是安慰剂的概率.
（2）从中每次取一片,作不放回抽样, 求前 3 次都取到安慰剂的概率.

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25. 在房间里有 10 个人, 分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章, 任选 3 人记录其纪念章的号码.
（1）求最小号码为 5 的概率.
（2）求最大号码为 5 的概率.

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26. 在 1500 件产品中有 400 件次品、1100 件正品. 任取 200 件.
（1）求恰有 90 件次品的概率.
（2）求至少有 2 件次品的概率.

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27. 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?

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28. 在 11 张卡片上分别写上 probability 这 11 个字母, 从中任意连抽 7 张, 求其排列结果为 ability 的概率.

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29. 将 3 只球随机地放人 4 个杯子中去, 求杯子中球的最大个数分别为 1 , 2,3 的概率.

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30. 50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上,其中有 3 只铆钉强度太弱. 每个部件用 3 只铆钉. 若将 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件强度就太弱. 问发生一个部件强度太弱的概率是多少?

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31. 一倶乐部有 5 名一年级学生, 2 名二年级学生, 3 名三年级学生,2名四年级学生.
（1）在其中任选 4 名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概率.
（2）在其中任选 5 名学生,求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率.

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32. 据以往资料表明,㭉一 3 口之家, 患某种传架病的概率有以下规律：

P {

孩子得病

} = 0.6, P {

母亲得病

∣

孩子得病

} = 0.5

P {

父杀得病

∣

母亲及孩子得病

} = 0.4

, 求母亲及孩子得病但父亲末得病的概率。

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33. 已知在 10 件产品中有 2 件次品, 在其中取两次, 每次任取一件, 作不放回抽样. 求下列事件的概率:
(1) 两件都是正品;
(2)两件都是次品;
(3) 一件是正品,一件是次品；
(4) 第二次取出的是次品.

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34. （1）设甲袋中装有

n

只白球、

m

只红球，乙袋中装有

N

只白球、

M

只红球. 今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中, 再从乙袋中任意取一只球, 问取到白球的概率是多少?
（2）第一只盒子装有 5 只红球, 4 只白球; 第二只盒子装有 4 只红球, 5 只白球. 先从第一盒中任取 2 只球放人第二盒中去, 然后从第二盒中任取一只球. 求取到白球的概率.

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35. 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为

p

, 若第一次及格则第二次及格的概率也为

p

; 若第一次不及格则第二次及格的概率为

\frac{p}{2}

.
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格, 求他取得该资格的概率.
（2）若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率.

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36. 将两信息分别编码为

A

和

B

传送出去,接收站收到时,

A

被误收作

B

的概率为 0.02 , 而

B

被误收作

A

的概率为 0.01 . 信息

A

与信息

B

传送的频笅程度为

2 : 1

. 若接收站收到的信息是

A

,问原发信息是

A

的概率是多少?

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37. 有两箱同种类的零件,第一箱装 50 只, 其中 10 只一等品

;

第二箱装 30 只, 其中 18 只一等品. 今从两箱中任挑出一箱, 然后从该箱中取零件两次, 每次任取一只,作不放回抽样, 求
(1) 第一次取到的零件是一等品的概率.
(2) 在第一次取到的零件是一等品的条件下, 第二次取到的也是一等品的概率.

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38. 某人下午 5：00下班,他所积累的资料表明：

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是

5 : 47

到家的. 试求他是乘地铁回家的概率.

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39. 病树的主人外出, 委托邻居浇水, 设已知如果不浇水, 树死去的概率为 0.8 . 若浇水则树死去的概率为 0.15 . 有 0.9 的把暒确定邻居会记得浇水.
(1) 求主人回来树还活着的概率.
(2) 若主人回来树已死去,求邻居忘记浇水的概率.

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40. 设根据以往记录的数据分析, 某船只运输的某种物品捑坏的情况共有三种：㧹坏

2 %

(这一事件记为

A_{1}

), 㧹坏

10 %

(事件

A_{2}

), 损坏

90 %

(事件

A_{3}

), 且知

P (A_{1}) = 0.8, P (A_{2}) = 0.15, P (A_{3}) = 0.05

. 现在从已被运输的物品中随机地取 3 件, 发现这 3 件都是好的 (这一事件记为

B

). 试求

P (A_{1} ∣ B), P (A_{2} ∣ B)

P (A_{3} ∣ B)

(这里设物品件数很多, 取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率).

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