一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设$f''(x)>0$,且$f(0)=0$,则$-f(-1)$,$f(1)$,$f'(0)$的大小次序为$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $-f( -1 ) < f( 1) < f'( 0)$
$\text{B.}$ $-f( -1 ) < f'( 0) < f( 1)$
$\text{C.}$ $f( 1) < -f( -1) < f'(0)$
$\text{D.}$ $f(1) < f'(0) < -f(-1)$
.方程 $xe^{-x}=a$ 有唯一解,则$a=\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
$\lim \limits_ {x \rightarrow \infty }x^{2}( \sin \dfrac {1}{x-1}- \sin \dfrac {1}{x 1})=( \quad \quad )$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设$f(x)$连续二阶可导，且 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac {f(x)-1}{x^{2}}=2$, 则$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $x=0$为$f(x)$的极大值点
$\text{B.}$ $x=0$为$f(x)$的极小值点
$\text{C.}$ $x=0$不是$f(x)$的极值点
$\text{D.}$ $(0,1)$为$y=f(x)$的拐点
设 $f'(1)=0$, 又 $\lim \limits _{x \rightarrow 1} \dfrac {f'(x)}{(x-1)^{3}}=2$, 则$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $x=1$为$f(x)$的极大值点
$\text{B.}$ $x=1$为$f(x)$的极小值点
$\text{C.}$ $x=1$不是$f(x)$的极值点
$\text{D.}$ $(1,f(1))$为$y=f(x)$的拐点
设$f(x)$连续,且 $\lim \limits _{x \rightarrow 1} \dfrac {f(x)-2}{(x-1)^{2}}=-1$, 则$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $x=1$为$f(x)$的极大值点
$\text{B.}$ $x=1$为$f(x)$的极小值点
$\text{C.}$ $x=1$不是$f(x)$的极值点
$\text{D.}$ $(1,2)$为$y=f(x)$的拐点
设$f(x)$连续,且 $\lim \limits _{x \rightarrow 1} \dfrac {f(x)-2}{(x-1)^{2}}=-1$, 则$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $x=1$为$f(x)$的极大值点
$\text{B.}$ $x=1$为$f(x)$的极小值点
$\text{C.}$ $x=1$不是$f(x)$的极值点
$\text{D.}$ $(1,2)$为$y=f(x)$的拐点
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线$L: \begin{cases} x=a(t- \sin t) \\ y=a(1- \cos t) \end{cases}$ ,$(a>0)$ 在 $t= \dfrac { \pi }{2}$ 对应点处的曲率为$ \underline { \quad \quad \quad }$.
函数 $f(x)=xe^{-2x}$ 的最大值为$ \underline { \quad \quad \quad }$.
数列 $\left\{ \sqrt [n]{n }\right\}$ 的最大项为 $\underline { \quad \quad \quad } $.
数列 $\left\{ \sqrt [n]{n }\right\}$ 的最大项为 $\underline { \quad \quad \quad } $.
$y= \dfrac {2x^{2} 3x 2}{x 1}$的斜渐近线为$ \underline { \quad \quad \quad }$.
$y=e^{-(x-1)^{2}}$ 的凸区间为$ \underline { \quad \quad \quad }$,凹区间为$ \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac {e^{- \dfrac {x^{2}}{2}}-1 \dfrac {x^{2}}{2}}{x^{2} \ln ^{2}(1 2x)}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac { \arcsin x-x}{x^{3}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac {e^{-x^{2}} x^{2}-2}{x^{3} \sin 2x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)=\ln(1 x)$,当$x>0$时,由拉格朗日中值定理有 $f(x)=f'(\theta x)x(0 < \theta < 1)$, 则$\lim \limits _{x \rightarrow 0^{ }} \theta = \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$可导,且 $\lim \limits _{x \rightarrow \infty }f'(x)=2$, 则 $\lim \limits _{x \rightarrow \infty }[f(x 1)-f(x-1)]= \underline { \quad \quad \quad }.$
函数 $f(x) =x^2-3x 4$ 在$[1,2]$上满足罗尔定理的条件,则中值$\xi=\underline\quad\quad\quad$.
三、解答题 （ 共 21 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
讨论方程 $\ln x= \dfrac {x}{e}-1$ 的根的个数.
证明:当$x>0$时, $\dfrac {x}{1 x} < \ln (1 x) < x$.
求极限 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac { \sqrt {1 x} \sqrt {1-x}-2}{x^{2}}$.
求极限 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac { \sqrt {1 x \cos x}- \sqrt {1 \sin x}}{x^{3}}$.
求极限 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac { \sqrt {1 x \cos x}- \sqrt {1 \sin x}}{x^{3}}$.
设$f(x)$在$[0,1]$上连续,在$(0,1)$内可导,且$f(1)=0$,证明:存在$\xi\in(0,1)$,使得$\xi f'(\xi) f(\xi)=0$.
设$f(x)$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$内可导,且$f(a)=f(b)=0$,证明:存在$\xi\in(a,b)$,使得$f'( \xi) - 2f( \xi) = 0$.
设$f(x)$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$内可导$(a>0)$,证明:存在$\xi∈(a,b)$,使得$f(b)-f(a)= \xi f'( \xi ) \ln \dfrac {b}{a}$.
设$f(x)$二阶可导, $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac {f(x)-1}{x}=0$ 且$f(1)=1$,证明:存在$\xi\in(0,1)$,使得$f''(\xi)=0$.
设$f(x)$在$[0,2]$上连续,在$(0,2)$内可导,且$f(0)=1$,$f(1) 2f(2)=3$,证明:存在$\xi∈(0,2)$,使得$f'(\xi) = 0$.
设$f(x)$在$[a,b]$上有定义,$M>0$且对任意的$x$,$y\in[a,b]$,有$f(x)-f(y)|≤M|x-y|^k$
(1)证明:当$k>0$时,$f(x)$在$[a,b]$上连续;
(2)证明:当$k>1$时,$f(x) ≡$常数.
设$f(x)$在$(-\infty, \infty)$上连续, $f'(0)=1$, 且对任意的$x$,$y∈(-\infty, \infty)$有$f(x y)=f(x)f(y)$,求$f( x)$.
设$f(x)$连续,且对任意的$x$,$y\in(-\infty, \infty)$有$f(x y)=f(x) f(y) 2xy$,$f'(0)=1$,求$f(x)$.
设 $f(x)= \begin{cases} \cos \frac { \pi }{2}x,&|x| \le 1, \\ |x-1|,&|x|>1, \end{cases}$ 求$f'(x)$.
设$f(x)$二阶可导,且$f(0)=0$,令 $g(x)= \begin{cases} \frac {f(x)}{x},&x \neq 0, \\ f'(0),&x=0. \end{cases}$
(1)求 $g'(x)$;(2)讨论$g'(x)$在$x=0$处的连续性.
设对一切的$x$,有$f(x 1)=2f(x)$,且当$x\in[0,1]$时$f(x) =x(x^2-1)$, 讨论函数$f(x)$在$x=0$处的可导性.
设 $f(x)= \begin{cases} x^{2} 2x b,&x \le 0, \\ \ln (1 ax),&x>0 \end{cases}$ 处处可导,确定常数$a$,$b$,并求$f'(x)$.
设 $f(x)= \begin{cases} \frac {x}{1 e^{ \frac {1}{x}}},&x \neq 0, \\ 0,&x=0, \end{cases}$ 讨论函数$f(x)$在$x=0$处的可导性.
(1)求 $\frac {d}{dx} \int _{0}^{x^{2}}xf(x-t)dt$.
(2)设$f(x)$连续,且 $g(x)= \int _{0}^{x}x^{2}f(x-t)dt$, 求$g'(x)$.
(1)设$y=y(x)$由方程 $e^y 6xy x^2-1=0$ 确定，求 $y''(0)$.
(2)由方程$\sin xy \ln (y-x)=x$确定函数$y=y(x)$,求 $\frac {dy}{dx}|_{x=0}$.
(3)设$y=y(x)$是由 $e^{xy}-x y-2=0$确定的隐函数,求$y"(0)$.
(4)设 $\int _{0}^{x^{2}}te^{t}dt \int _{0}^{ \ln y}e^{t} \sqrt {1 t^{2}}dt=e^{x^{2}}$, 求 $\frac {dy}{dx}$.
(5)设 $\int _{1}^{y-x^{2}}e^{t^{2}}dt= \int _{0}^{x} \cos (x-t)^{2}dt$ 确定$y$为$x$的函数，求 $\frac {dy}{dx}$.