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ks12

数学

一、判断题（共 2 题）

1. 设

f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}

为整系数多项式,

a_{n} \neq 0

, 若有理数

\frac{q}{p}

是

f (x)

的根, 则必有

p ∣ a_{0}

, 且

q ∣ a_{n}

, 其中

p, q

为互素的整数.

A.

正确

B.

错误

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2. 设

σ

是欧氏空间

V

上的线性变换, 则

σ

是正交变换的充分必要条件是对任意的

α, β \in V

, 有

⟨ α, β ⟩ = ⟨ σ (α), σ (β) ⟩

, 其中

⟨ α, β ⟩

表示

α

与

β

的夹角.

A.

正确

B.

错误

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 设线性空间

V

上的线性变换

σ

在基

ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}

下的矩阵为

(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{array})

, 则

σ

在基

ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}

,

ε_{2} + ε_{3}, ε_{3}

下的矩阵为

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4. 设矩阵

A

的初等因子组为

λ^{2}, (λ - 1)^{2}, (λ - 1)^{2}, λ + 1, (λ + 1)^{3}

, 则

A

的最小多项式为

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三、解答题（共 26 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

5.

T \in L (V)

在一组基

ε = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})

下的矩阵为

T (ε) = (ε) (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

求

V

所有的

T

-不变子空间.

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6. 试给出下列命题的真伪. 若命题为真, 请给出简要证明; 若命题为假, 请举出反例.
1.

T \in L (V)

. 若子空间

W \in V

在

T

下不变, 则其补空间

W^{'}

在

T

下也不变;
2. 定义

T \in L (V, W) : T v = ⟨ v, α ⟩ β, β \in W

对

\forall v \in V

成立, 则

T^{*} w = ⟨ w, β ⟩ α, α \in V

对

\forall w \in W

成立;
3.

T \in L (V)

是非幕零算子, 满足

null T^{n - 1} \neq null T^{n - 2}

. 则其极小多项式为

m (λ) = λ^{n - 1} (λ - a) 0 \neq a \in R

4.

A \in R^{n \times n} . S_{1} = A^{T} + A, S_{2} = A^{T} - A

. 则

A

是正规矩阵当且仅当

S_{1} S_{2} = S_{2} S_{1}

.
5.

A \in C^{n \times n}

是正规矩阵, 则

A

的实部矩阵和虚部矩阵是对称矩阵.

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7.

T \in L (V)

. 有极分解

T = S \sqrt{G}

, 其中

S

是等距同构,

G = T^{*} T

. 证明以下条件等价:
1.

T

是正规算子;
2.

G S = S G

;
3.

G

的所有特征空间

E (λ, G)

都是

S

-不变的.

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8. 设数域

P

上多项式

f (x) = x^{5} + x^{4} + 2 x^{2} + 1, g (x) = x^{4} - x^{2} + 2 x - 1

, 求

f (x)

与

g (x)

的首 1 最大公因式

(f (x), g (x))

, 以及多项式

u (x), v (x)

, 使得

u (x) f (x) + v (x) g (x) = (f (x), g (x))

.

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9. 设

σ

是欧氏空间

V

上的正交变换,

W

是

σ

的不变子空间, 证明:

W

的正交补

W^{⊥}

也是

σ

的不变子空间.

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10. 记

V = R [x]_{4}

为次数小于 4 的实系数一元多项式组成的线性空间, 定义

V

上的映射

φ

为

φ (f (x)) = f (x) - f (0) + f^{'} (x)

.
(1) 求

φ

在基

1, x, x^{2}, x^{3}

下的矩阵.
(2) 求

φ

的特征值与特征向量.

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11. 设

A \in M_{n} (R), n

为大于 1 的奇数,

A^{'} = A^{*}

, 求

\det (A^{2} - A)

.

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12. 设

V

是数域

K

上的线性空间, 且

α_{1}, \dots, α_{r}

和

β_{1}, \dots, β_{s}

是

V

中的两个向量组, 其秩分别是

r_{1}, r_{2}

, 若

C \in M_{r \times s} (K)

满足

β_{j} = \sum_{i = 1}^{r} c_{i j} α_{i}, j = 1, 2, \dots, s .

证明:

r (C) \leq r_{2} - r_{1} + r

.

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13. 已知

A, B \in M_{n} (R), r (A B A) = r (B)

, 证明:

A B

与

B A

相似.

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14. 设

A

为

n (n > 1)

阶非异阵,

B

是

A

的逆阵. 任取

r

个指标

1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq n

, 剩余的指标记为

1 \leq i_{r + 1} < \dots < i_{n} \leq n

. 证明:

| A | \cdot B (\begin{array}{cccc} i_{1} & i_{2} & \dots & i_{r} \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{r} \end{array}) = A (\begin{array}{ccc} i_{r + 1} & \dots & i_{n} \\ i_{r + 1} & \dots & i_{n} \end{array}) .

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15. 设

V

是数域

K

上的

n

维线性空间,

φ, ψ

是

V

上的线性变换,满足

φ ψ = ψ φ

. 证明: 存在正整数

m

, 使得

Im (φ^{m} + ψ^{m}) = Im φ^{m} + Im ψ^{m}

.

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16. 设

φ_{1}, \dots, φ_{k}

是

n

维线性空间

V

上的线性变换, 满足条件

φ_{i}^{2} = φ_{i} (1 \leq i \leq k), φ_{i} φ_{j} = 0 (1 \leq i < j \leq k)

. 求证:

V = Im φ_{1} \oplus \dots \oplus Im φ_{k} \oplus (⋂_{i = 1}^{k} Ker φ_{i}) .

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17. 设

n

阶实方阵

A

满足

A^{3} = A

, 证明: 若对任意的实列向量

x

,均有

x^{'} A^{'} A x \leq x^{'} x

, 则

A

是实对称阵.

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18. 设

A

为数域

K

上的

n (n > 1)

阶方阵,

r (A) = n - 1, A^{*}

是

A

的伴随矩阵. 记齐次线性方程组

A x = 0

的解空间为

V_{A}, A^{*} x = 0

的解空间为

V_{A^{*}}

. 证明:

K^{n} = V_{A} \oplus V_{A^{*}}

成立的充要条件是

tr (A^{*}) \neq 0

.

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19. 设

A, C

为

n

阶实对称阵,

B

为

n

阶实方阵,

D = diag {d_{1}, d_{2}, \dots

,

d_{n}}, d_{i} > 0 (1 \leq i \leq n)

, 满足:

| \begin{array}{cc} i A + D & i B \\ B^{'} & C \end{array} | = 0,

其中

i = \sqrt{- 1}

为虚数单位. 证明:

| B^{2} + C^{2} | = 0

.

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20. 设

A

为

n

阶正定实对称阵,

B, C

为

n

阶实反对称阵, 使得

B A^{- 1} C

为对称阵. 证明:

| A | \cdot | B + C | \leq | A + B | \cdot | A + C |,

并求等号成立的充分必要条件.

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21. 设

A

为

n

阶正定实对称阵,

B, C

为

n

阶半正定实对称阵, 使得

B A^{- 1} C

为对称阵. 证明:

| A | \cdot | A + B + C | \leq | A + B | \cdot | A + C |,

并求等号成立的充要条件.

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22. 设

M_{n} (C)

是

n

阶复方阵全体构成的线性空间,

M_{n} (C)

上的线性变换

φ

定义为

φ (X) = A X^{'} A^{'}

, 其中

A \in M_{n} (C)

. 证明:

φ

可对角化的充要条件是

A

可对角化.

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23. 设

σ

是复数域

C

上

n

维线性空间

V

上的线性变换，且

σ

有

n

个不同的特征值

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

, 则

σ

的不变子空间的个数是

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24. 设

A

是

n

阶矩阵，

n > 1

，如果对任意

n

阶矩阵

B

，都有

| A + B | = | A | + | B | .

证明:

A = O

.

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25. 设

α_{1} = (\begin{matrix} a_{1} + b \\ a_{1} \\ ⋮ \\ a_{1} \end{matrix}), α_{2} = (\begin{matrix} a_{2} \\ a_{2} + b \\ ⋮ \\ a_{2} \end{matrix}), \dots, α_{n} = (\begin{matrix} a_{n} \\ a_{n} \\ ⋮ \\ a_{n} + b \end{matrix})

. 记

W = L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})

，其中

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \neq 0

，求

W

的维数与一组基.

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26. 设

V = P^{2 \times 2}

是数域

P

上的线性空间，记

A = (\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}) \in V

，线性变换：

σ : X \mapsto A X, \forall X \in P^{2 \times 2}

.
(1) 求线性变换

σ

在基:

E_{11} = (\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}), E_{12} = (\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}), E_{21} = (\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}), E_{22} = (\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

下的矩阵.
（2）如果

A

相似于对角矩阵，证明：线性变换

σ

在

V

的某组基下的矩阵是对角矩阵.

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27. 设

n

阶方阵

H = (a_{i j})

, 其中

a_{i j} = \frac{1}{i + j - 1}

, 称这样的矩阵为

n

阶 Hilbert 矩阵. 求证:

H^{- 1}

是整数矩阵, 即

H^{- 1}

的每个元素都是整数.

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28. 设

S = {(a, b) \in R^{2} ∣ a^{2} + b^{2} = 1

且

b \neq 1}

, 定义映射

φ : S \to R

,

φ (a, b) = \frac{a}{1 - b}

.
(1) 验证

φ : S \to R

是个双射;
(2) 请在

S

上定义加法

\oplus

和数乘

\circ

, 使

(S, \oplus, \circ)

成为实数域

R

上的线性空间, H

φ : S \to R

成为线性同构.

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29. 请用一元多项式的方法证明: 设

A, B

为

n

阶实方阵, 且存在

n

阶非异复方阵

Q

, 使得

B = Q^{- 1} A Q

, 则必存在

n

阶非异实方阵

P

, 使得

B = P^{- 1} A P

.

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30. 证明: 整系数多项式

2 x^{4} - 3 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 18

在有理数域上不可约.

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