一、判断题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$ 为整系数多项式, $a_n \neq 0$, 若有理数 $\frac{q}{p}$ 是 $f(x)$ 的根, 则必有 $p \mid a_0$, 且 $q \mid a_n$, 其中 $p, q$ 为互素的整数.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换, 则 $\sigma$ 是正交变换的充分必要条件是对任意的 $\alpha, \beta \in V$, 有 $\langle\alpha, \beta\rangle=\langle\sigma(\alpha), \sigma(\beta)\rangle$, 其中 $\langle\alpha, \beta\rangle$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right)$, 则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $\varepsilon_2+\varepsilon_3, \varepsilon_3$ 下的矩阵为
设矩阵 $A$ 的初等因子组为 $\lambda^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2, \lambda+1,(\lambda+1)^3$, 则 $A$ 的最小多项式为
三、解答题 （ 共 26 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$T \in \mathcal{L}(V)$ 在一组基 $\varepsilon=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)$ 下的矩阵为
$$
T(\varepsilon)=(\varepsilon)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 所有的 $T$-不变子空间.
试给出下列命题的真伪. 若命题为真, 请给出简要证明; 若命题为假, 请举出反例.
1. $T \in \mathcal{L}(V)$. 若子空间 $W \in V$ 在 $T$ 下不变, 则其补空间 $W^{\prime}$ 在 $T$ 下也不变;
2. 定义 $T \in \mathcal{L}(V, W): T v=\langle v, \alpha\rangle \beta, \beta \in W$ 对 $\forall v \in V$ 成立, 则 $T^* w=\langle w, \beta\rangle \alpha, \alpha \in V$ 对 $\forall w \in W$成立;
3. $T \in \mathcal{L}(V)$ 是非幕零算子, 满足 $\operatorname{null} T^{n-1} \neq \operatorname{null} T^{n-2}$. 则其极小多项式为
$$
m(\lambda)=\lambda^{n-1}(\lambda-a) \quad 0 \neq a \in \mathbb{R}
$$
4. $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} . \mathbf{S}_1=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}+\mathbf{A}, \mathbf{S}_2=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}-\mathbf{A}$. 则 $\mathbf{A}$ 是正规矩阵当且仅当 $\mathbf{S}_1 \mathbf{S}_2=\mathbf{S}_2 \mathbf{S}_1$.
5. $\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是正规矩阵, 则 $\mathbf{A}$ 的实部矩阵和虚部矩阵是对称矩阵.
$T \in \mathcal{L}(V)$. 有极分解 $T=S \sqrt{G}$, 其中 $S$ 是等距同构, $G=T^* T$. 证明以下条件等价:
1. $T$ 是正规算子;
2. $G S=S G$;
3. $G$ 的所有特征空间 $E(\lambda, G)$ 都是 $S$-不变的.
设数域 $P$ 上多项式 $f(x)=x^5+x^4+2 x^2+1, g(x)=x^4-x^2+2 x-1$, 求 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式 $(f(x), g(x))$, 以及多项式 $u(x), v(x)$, 使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))$.
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间, 证明: $W$ 的正交补 $W^{\perp}$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间.
记 $V=\mathbb{R}[x]_4$ 为次数小于 4 的实系数一元多项式组成的线性空间, 定义 $V$ 上的映射 $\varphi$ 为 $\varphi(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$.
(1) 求 $\varphi$ 在基 $1, x, x^2, x^3$ 下的矩阵.
(2) 求 $\varphi$ 的特征值与特征向量.
设 $\boldsymbol{A} \in M_n(\mathbb{R}), n$ 为大于 1 的奇数, $\boldsymbol{A}^{\prime}=\boldsymbol{A}^*$, 求 $\operatorname{det}\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}\right)$.
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 是 $V$中的两个向量组, 其秩分别是 $r_1, r_2$, 若 $\boldsymbol{C} \in M_{r \times s}(\mathbb{K})$ 满足 $\boldsymbol{\beta}_j=\sum_{i=1}^r c_{i j} \boldsymbol{\alpha}_i, j=1,2, \cdots, s .$
证明: $\mathrm{r}(\boldsymbol{C}) \leq r_2-r_1+r$.
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in M_n(\mathbb{R}), \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 相似.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>1)$ 阶非异阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的逆阵. 任取 $r$ 个指标 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r \leq n$, 剩余的指标记为 $1 \leq i_{r+1} < \cdots < i_n \leq n$. 证明:
$$
|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{B}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
i_1 & i_2 & \cdots & i_r
\end{array}\right)=\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{ccc}
i_{r+1} & \cdots & i_n \\
i_{r+1} & \cdots & i_n
\end{array}\right) .
$$
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\boldsymbol{\varphi}, \boldsymbol{\psi}$ 是 $V$ 上的线性变换,满足 $\varphi \boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{\psi} \varphi$. 证明: 存在正整数 $m$, 使得 $\operatorname{Im}\left(\boldsymbol{\varphi}^m+\boldsymbol{\psi}^m\right)=\operatorname{Im} \varphi^m+\operatorname{Im} \boldsymbol{\psi}^m$.
设 $\varphi_1, \cdots, \varphi_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足条件 $\varphi_i^2=\varphi_i(1 \leq i \leq k), \varphi_i \varphi_j=0(1 \leq i < j \leq k)$. 求证:
$$
V=\operatorname{Im} \varphi_1 \oplus \cdots \oplus \operatorname{Im} \varphi_k \oplus\left(\bigcap_{i=1}^k \operatorname{Ker} \varphi_i\right) .
$$
设 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}$, 证明: 若对任意的实列向量 $\boldsymbol{x}$,均有 $\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A x} \leq \boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{x}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 是实对称阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n(n>1)$ 阶方阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1, \boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$的伴随矩阵. 记齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}}, \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}^*}$. 证明: $\mathbb{K}^n=V_{\boldsymbol{A}} \oplus V_{\boldsymbol{A}^*}$ 成立的充要条件是 $\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^*\right) \neq 0$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实对称阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实方阵, $\boldsymbol{D}=\operatorname{diag}\left\{d_1, d_2, \cdots\right.$, $\left.d_n\right\}, d_i>0(1 \leq i \leq n)$, 满足:
$$
\left|\begin{array}{cc}
\mathrm{i} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{D} & \mathrm{i} \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{B}^{\prime} & \boldsymbol{C}
\end{array}\right|=0,
$$
其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位. 证明: $\left|B^2+C^2\right|=0$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $B A^{-1} C$ 为对称阵. 证明:
$|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,$
并求等号成立的充分必要条件.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 使得 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C}$ 为对称阵. 证明:
$
|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,
$
并求等号成立的充要条件.
设 $M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $M_n(\mathbb{C})$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}$, 其中 $\boldsymbol{A} \in M_n(\mathbb{C})$. 证明: $\varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.
设 $\sigma$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$, 则 $\sigma$ 的不变子空间的个数是
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $n>1$ ，如果对任意 $n$ 阶矩阵 $B$ ，都有
$|A+B|=|A|+|B| .$
证明: $A=O$.
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}a_1+b \\ a_1 \\ \vdots \\ a_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}a_2 \\ a_2+b \\ \vdots \\ a_2\end{array}\right), \cdots, \alpha_n=\left(\begin{array}{c}a_n \\ a_n \\ \vdots \\ a_n+b\end{array}\right)$. 记 $W=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，其中 $\sum_{i=1}^n a_i \neq 0$ ，求 $W$ 的维数与一组基.
设 $V=\mathbb{P}^{2 \times 2}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间，记 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，线性变换： $\sigma: X \mapsto A X, \forall X \in \mathbb{P}^{2 \times 2}$.
(1) 求线性变换 $\sigma$ 在基:
$$
E_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
下的矩阵.
（2）如果 $A$ 相似于对角矩阵，证明：线性变换 $\sigma$ 在 $V$ 的某组基下的矩阵是对角矩阵.
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{H}=\left(a_{i j}\right)$, 其中 $a_{i j}=\frac{1}{i+j-1}$, 称这样的矩阵为 $n$ 阶 Hilbert 矩阵. 求证: $\boldsymbol{H}^{-1}$ 是整数矩阵, 即 $\boldsymbol{H}^{-1}$ 的每个元素都是整数.
设 $S=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^2 \mid a^2+b^2=1\right.$ 且 $\left.b \neq 1\right\}$, 定义映射 $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$, $\varphi(a, b)=\frac{a}{1-b}$.
(1) 验证 $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ 是 个双射;
(2) 请在 $S$ 上定义加法 $\oplus$ 和数乘 $\circ$, 使 $(S, \oplus, \circ)$ 成为实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间, H $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ 成为线性同构.
请用一元多项式的方法证明: 设 $A, B$ 为 $n$ 阶实方阵, 且存在 $n$ 阶非异复方阵 $Q$, 使得 $B=Q^{-1} A Q$, 则必存在 $n$ 阶非异实方阵 $P$, 使得 $B=P^{-1} A P$.
证明: 整系数多项式 $2 x^4-3 x^3+7 x^2+6 x-18$ 在有理数域上不可约.