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ks11

数学

一、单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
1. 设 A 是 n 阶对称矩阵, B 是 n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中, 可用正交变换化为对角矩阵的矩阵 为
A. BAB ; B. ABA ; C. (AB)2; D. AB2.

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2. 设 A 为 3 阶正交矩阵,且 A3=E. 若 α,β 均为非零向量,且 α,Aα 线性无关, α,Aα,A2α 线 性相关, βTα=β⊤Aα=0, 则
A. β 与 Aβ,A2α 均正交. B. β 与 Aβ 正交,不与 A2α 正交. C. Aβ 与 α,Aα 均正交. D. Aβ 与 α 正交, 不与 Aα 正交.

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3. 设二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+2x32+2ax1x3−2x2x3. 若二次曲面 f(x1,x2,x3)=1 上的 点到坐标原点的距离有最大值, 则 a 可能为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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4. 设二次型 f(x1,x2,x3)=5x12+6x22+4x32−4x1x2−4x1x3, 则下列正确的是
A. f 是正定 B. f 是负定 C. f 即不是正定, 也不是负定 D. f 的秩等于1

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5. 设 f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2 +2ax1x3+2ax2x3，a 是使二次型 f(x1,x2,x3) 正定的正整 数，则必有
A. a=2 B. a=1 C. a=3 D. 以上选项都不对

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6. 下列说法中正确的是
A. 若 3 个 3 维列向量 α1,α2,α3 两两正交, 则 α1,α2,α3 线性无关 B. 若 3 个 3 维列向量 α1,α2,α3 线性无关, 则 α1,α2,α3 两两正交 C. 若 3 个 2 维列向量 α1,α2,α3 两两正交, 则 α1,α2,α3 中至少一个为 0 D. 若 3 个 2 维列向量 α1,α2,α3 两两正交, 则 α1,α2,α3 中只能有一个为 0

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7. 设 α=(1,2,3)T,β1=(0,1,1)T,β2=(−3,2,0)T,β3=(−2,−1,1)T,β4=(−3,0,1)T, 且 Ai=αβiT,i=1,2,3,4, 则矩阵 Ai,i=1,2,3,4 中不能相似于对角矩阵的是
A. A1. B. A2. C. A3. D. A4.

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二、填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
8. 若二次型 f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2 正定, 则 λ 满足的条件为.

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9. 方阵 A=(3−212−223−65) 的最小多项式为 , Jordan 标准型为

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10. 设 (1216−1121212−16112−12026112−120ab12) 为正交矩阵, 则 a= ,b=

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11. 当 k 取值 时, f(x,y,z)=k(x2+y2+z2)−2xy+2yz 是正定的。

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12. 若二次型 f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3 是正定二次型, 则 a 的取值范围是

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13. 二次型 f(x1,x2,x3,x4)=4x1x3+10x1x4+18x2x3+8x3x4 的矩阵表达式为

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14. 设矩阵 A=(10a02b001), 其中 a,b 为任意数, 求 A 的 Jordan 标准形.

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15. 设 A=[100012201], 则二次型 xTAx 的正惯性指数为

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16. f=x12+x22+5x32+2ax1x2−2x1x3+4x2x3 是正定二次型的充要条件是

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三、解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 设三阶方阵 A 满足: Aα=α,Aβ=−β, 其中 α=(1,0,1)T,β=(0,1,−1)T, 且已知 ξ=(0,0,1)T 是齐次线 性方程组 Ax=0 的解向量, 试求 A100.

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18. 设 A 是 3 阶矩阵, λ1,λ2,λ3 是 A 的 3 个不同特征值, 对应的特征向量分别为 α1,α2,α3, 令 β= α1+α2+α3.
(1) 证明 β=α1+α2+α3 不是 A 的特征向量;
（2）证明 β,Aβ,A2β 线性无关;
(3) 若 A3β=2Aβ, 求 A 的特征值;
(4) 在(3）的基础上证明 Aβ 和 A2β 是方程组
(A2−2E)x=0
的基础解系.

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19. 已知二次型 f(x1,x2,x3)=3x22−2x1x2+8x1x3−2x2x3,
(1) 用正交变换 X=PY 将二次型化为标准形(求出正交矩 阵 P );
(2) 说明方程 f(x1,x2,x3)=1 在几何上表示什么图形.

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20. 用正交变换将二次型 f(x1,x2,x3)=x12−2x22−2x32−4x1x2−4x1x3+2x2x3 化为标准型, 写出所用的正交变换.

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21. 若二次型 f=x12+x22+x32+2x1x2+2αx1x3+2βx2x3 经正交变换后可变为标准形 y22+2y32, 求 α, β. 并求出该正交变换.

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22. 已知二次型 f(x1,x2,x3)=(1−a)x12+(1−a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2
(1) 求 a 的值
(2) 求正交变换 x=Py, 使得 f(x1,x2,x3) 转化为标准形
(3) 求方程组 f(x1,x2,x3)=0 的解

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23. 求实二次型
f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32−4x1x2+4x1x3−8x2x3
的秩，并求正交变换 x=Py ，化二次型为标准形.

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24. 实对称矩阵 A 和 B 分别定义二次型 f(x→)=x→TAx→=3x12+3x22−x32−4x1x2 和 f(y→)=y→TBy→=y12+2y22+3y32−4y1y2−4y2y3.
1、求可逆线性变量替换 x→=Pz→ 和 y→=Qz→ 使二次型 f 和 g 化为规范型;
2、求可逆矩阵 C 使 A 与 B 合同, 即 CTAC=B 。

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25. 设二次型 f(x1,x2,x3)=(x1−2x2)2+(x2−x3)2+(x1+ax3)2.
(1) 求 f(x1,x2,x3)=0 的解;
(2) 设二次型 f(x1,x2,x3) 的规范形为 z12+z22, 求正交变换 x=Qy, 使得二次型 f(x1,x2,x3) 化为标准形.

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26. 设实数域 R 上的矩阵 A 为
A=[a1−11a−1−1−1a]
(1) 求正交矩阵 Q, 使得 QTAQ 为对角矩阵 D, 其中 QT 为 Q 的转置;
(2) 求正定矩阵 C, 使得 C2=(a+3)I−A, 其中 I 为 3 阶单位矩阵。

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27. 设实二次型
f(X)=f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3,a∈R 为参数, 

可用非退化线性替换 X=CY 化成二次型
g(Y)=g(y1,y2,y3)=y12+y22+4y32+2y1y2.
(1) 求参数 a 的值:
(2) 求把 f(X) 化成 g(Y) 的非退化线性替换中的可逆矩阵 C 。

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28. 设实矩阵 A=(42a−3),B=(222b), 其中 b 为正整数.
(1) 若存在可逆矩阵 P, 使得 PTAP=B, 求出 a,b 的值与矩阵 P;
(2) 对于 (1) 中的 a,b, 是否存在正交矩阵 Q, 使得 QTAQ=B, 若存在, 求出 Q, 若不存在, 说明理由.

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29. 设 f(x) 是 n 次整系数多项式, 且存在 n+1 个不同的整数 a1,⋯,an+1,使得 |f(ai)|=1(1≤i≤n+1). 证明: f(x) 在有理数域上不可约.

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30. 设数域 K 上的 n 阶方阵

证明: |In+A+⋯+An−1|=(1−c)n−1, 其中 c=c1c2⋯cn.

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