一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶对称矩阵, $\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中, 可用正交变换化为对角矩阵的矩阵 为
$\text{A.}$ BAB ;
$\text{B.}$ ABA ;
$\text{C.}$ $(\mathbf{A B})^2$;
$\text{D.}$ $\mathbf{A B}^2$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶正交矩阵,且 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{E}$. 若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 均为非零向量,且 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}$ 线 性相关, $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=0$, 则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\beta}$ 与 $A \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}$ 均正交.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\beta}$ 与 $A \beta$ 正交,不与 $A^2 \alpha$ 正交.
$\text{C.}$ $A \beta$ 与 $\alpha, A \alpha$ 均正交.
$\text{D.}$ $A \beta$ 与 $\alpha$ 正交, 不与 $A \alpha$ 正交.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_3-2 x_2 x_3$. 若二次曲面 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 上的 点到坐标原点的距离有最大值, 则 $a$ 可能为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1{ }^2+6 x_2{ }^2+4 x_3{ }^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3$, 则下列正确的是
$\text{A.}$ $f$ 是正定
$\text{B.}$ $f$ 是负定
$\text{C.}$ $ f$ 即不是正定, 也不是负定
$\text{D.}$ $f$ 的秩等于1
设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_2$ $+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3 ， a$ 是使二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 正定的正整 数，则必有
$\text{A.}$ $a=2$
$\text{B.}$ $a=1$
$\text{C.}$ $a=3$
$\text{D.}$ 以上选项都不对
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中只能有一个为 0
设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_1=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(-3,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(-2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_4=(-3,0,1)^{\mathrm{T}}$, 且 $\boldsymbol{A}_i=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}_i^{\mathrm{T}}, i=1,2,3,4$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2,3,4$ 中不能相似于对角矩阵的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_3$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}_4$.
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2+2 \lambda x_1 x_2$ 正定, 则 $\lambda$ 满足的条件为.
方阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -6 & 5\end{array}\right)$ 的最小多项式为 , Jordan 标准型为
设 $\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{12}} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\ 0 & a & b & \frac{1}{2}\end{array}\right)$ 为正交矩阵, 则 $a=$ ,$b=$
当 $k$ 取值 时, $f(x, y, z)=k\left(x^2+y^2+z^2\right)-2 x y+2 y z$ 是正定的。
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+a x_2 x_3$ 是正定二次型, 则 $a$ 的取值范围是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=4 x_1 x_3+10 x_1 x_4+18 x_2 x_3+8 x_3 x_4$ 的矩阵表达式为
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & a \\ 0 & 2 & b \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 其中 $a, b$ 为任意数, 求 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形.
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则二次型 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的正惯性指数为
$f=x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+2 a x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 是正定二次型的充要条件是
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设三阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=-\boldsymbol{\beta}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$, 且已知 $\boldsymbol{\xi}=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线 性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量, 试求 $\boldsymbol{A}^{100}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个不同特征值, 对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$, 令 $\boldsymbol{\beta}=$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$.
(1) 证明 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量;
（2）证明 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\beta}$ 线性无关;
(3) 若 $\boldsymbol{A}^3 \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$, 求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值;
(4) 在(3）的基础上证明 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$ 和 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\beta}$ 是方程组
$$
\left(\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}
$$
的基础解系.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_2^2-2 x_1 x_2+8 x_1 x_3-2 x_2 x_3$,
(1) 用正交变换 $X=P Y$ 将二次型化为标准形(求出正交矩 阵 $P$ );
(2) 说明方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 在几何上表示什么图形.
用正交变换将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-2 x_2^2-2 x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 化为标准型, 写出所用的正交变换.
若二次型 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 \alpha x_1 x_3+2 \beta x_2 x_3$ 经正交变换后可变为标准形 $y_2^2+2 y_3^2$, 求 $\alpha$, $\beta$. 并求出该正交变换.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=(1-a) x_1{ }^2+(1-a) x_2{ }^2+2 x_3{ }^2+2(1+a) x_1 x_2$ 的秩为 2
(1) 求 $a$ 的值
(2) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$, 使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 转化为标准形
(3) 求方程组 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解
求实二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3
$$
的秩，并求正交变换 $x=P y$ ，化二次型为标准形.
实对称矩阵 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 分别定义二次型 $f(\vec{x})=\vec{x}^T A \vec{x}=3 x_1^2+3 x_2^2-x_3^2-4 x_1 x_2$ 和 $f(\vec{y})=\vec{y}^T B \vec{y}=y_1^2+2 y_2^2+3 y_3^2-4 y_1 y_2-4 y_2 y_3$.
1、求可逆线性变量替换 $\vec{x}=P \vec{z}$ 和 $\vec{y}=Q \vec{z}$ 使二次型 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 化为规范型;
2、求可逆矩阵 $\mathrm{C}$ 使 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 合同, 即 $C^T A C=B$ 。
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-2 x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$.
(1) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(2) 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $z_1^2+z_2^2$, 求正交变换 $x=Q y$, 使得二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形.
设实数域 $R$ 上的矩阵 $A$ 为
$$
A=\left[\begin{array}{rcr}
a & 1 & -1 \\
1 & a & -1 \\
-1 & -1 & a
\end{array}\right]
$$
(1) 求正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵 $D$, 其中 $Q^T$ 为 $Q$ 的转置;
(2) 求正定矩阵 $C$, 使得 $C^2=(a+3) I-A$, 其中 $I$ 为 3 阶单位矩阵。
设实二次型
$$
f(X)=f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3, \quad a \in \mathbb{R} \text { 为参数, }
$$
可用非退化线性替换 $X=C Y$ 化成二次型
$$
g(Y)=g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2+2 y_1 y_2 .
$$
(1) 求参数 $a$ 的值:
(2) 求把 $f(X)$ 化成 $g(Y)$ 的非退化线性替换中的可逆矩阵 $C$ 。
设实矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}4 & 2 \\ a & -3\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & b\end{array}\right)$, 其中 $b$ 为正整数.
(1) 若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 求出 $a, b$ 的值与矩阵 $\boldsymbol{P}$;
(2) 对于 (1) 中的 $a, b$, 是否存在正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$, 若存在, 求出 $Q$, 若不存在, 说明理由.
设 $f(x)$ 是 $n$ 次整系数多项式, 且存在 $n+1$ 个不同的整数 $a_1, \cdots, a_{n+1}$,使得 $\left|f\left(a_i\right)\right|=1(1 \leq i \leq n+1)$. 证明: $f(x)$ 在有理数域上不可约.
设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵
证明: $\left|\boldsymbol{I}_n+\boldsymbol{A}+\cdots+\boldsymbol{A}^{n-1}\right|=(1-c)^{n-1}$, 其中 $c=c_1 c_2 \cdots c_n$.