一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正定矩阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵, 则对 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}^2$ 的以下判断: (1)为对称矩阵; (2) 为反对称矩阵; (3) 为正定矩阵; (4)为可逆矩阵, 正确的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_1^2+5 x_2^2+x_3^2-4 x_1 x_2+2 x_2 x_3$, 则对任意的三维向量 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}} \neq \mathbf{0}$, 均有
$\text{A.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right)>0$.
$\text{B.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) \geqslant 0$.
$\text{C.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) < 0$.
$\text{D.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) \leqslant 0$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_3^2-2 x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a^2 x_2 x_3$, 则二次曲面 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 在可逆线性变换下不可能化为
$\text{A.}$ 单叶双曲面.
$\text{B.}$ 双叶双曲面.
$\text{C.}$ 椭圆柱面.
$\text{D.}$ 双曲柱面.
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}^3+\left(a^5-1\right) \boldsymbol{A}^2+2 a^3 \boldsymbol{A}$ $+a E=O$, 且 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解为
$\text{A.}$ $k(1,1,0)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{B.}$ $k(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{C.}$ $k(1,1,0)^{\mathrm{T}}+l(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k, l$ 为任意常数.
$\text{D.}$ $k(1,-1,1)^{\mathrm{T}}+l(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k, l$ 为任意常数.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_2 x_3$ 经正交变换化为标准形 $f=2 y_1^2+5 y_2^2+$ $b y_3^2$, 则
$\text{A.}$ $a=3, b=1$
$\text{B.}$ $a=3, b=-1$
$\text{C.}$ $a=-3, b=1$
$\text{D.}$ $a=-3, b=-1$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 的规范形是
$\text{A.}$ $z_1^2+z_2^2+z_3^2$
$\text{B.}$ $z_1^2-z_2^2-z_3^2$
$\text{C.}$ $z_1^2-z_2^2$
$\text{D.}$ $z_1^2$
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+2 x_3^2+4 t x_1 x_2+2 t x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 是正定的, 则 $t$ 的取值为
已知二次型 $f=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2+2 k x_2 x_3$ 正定, 则 $k$ 的取值范围为
已知二阶方阵 $A$ 的特征值为 1 和 -1 , 对应的特征向量为 $\alpha_1=(1,1)^T$ 和 $\alpha_2=(0,1)^T$, 则 $A^{2017}=$
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 i j x_i x_j$. )
(1)写出 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 对应的矩阵;
(2)求正交变换 $x=Q y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形;
(3)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解.
若实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(a x_1+x_2\right)^2+\left(a x_2+x_3\right)^2+\left(a x_3+x_1\right)^2$ 为正定的, 则 $a$ 满足的条件是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ 的矩阵是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
若实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ 合同, 则二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
三、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设复矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right)$, 求 $A$ 的 Jordan 标准形.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(x_1 x_2-x_1 x_3+x_2 x_3\right)$.
(1) 求正交变换 $X=Q Y$, 将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准型, 并写出相应的标准型.
(2) 在直角坐标系 $O_{x y z}$ 中, 二次曲面 $\Sigma$ 的方程为 $x y-x z+y z=\frac{1}{2}$, 试建立新直角坐标系 $O_{x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}}$, 将其化为标准方程, 并要求给出新坐标轴正向单位向量在原坐标系下的坐标.
设 $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵, 证明:
(1) $n$ 元二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & x_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & x_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & x_n \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
A & X \\
X^T & 0
\end{array}\right|
$$
是负定的, 其中 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$;
(2) $|A| \leq a_{n n} \Delta_{n-1}$, 其中
$$
\Delta_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
$$
为 $A$ 的 $n-1$ 级顺序主子式.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right)$, 写出 $A$ 对应的二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$, 并求一正交变换 $X=P Y$ 将二次型化为标准形.
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵, 证明 $A B$ 也为正交矩阵.
设二次型
$$
\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_1^2+2 x_2^2-x_3^2+8 x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 c x_2 x_3
$$
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$.
(I ) 用正交变换化二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 为标准形,并写出所用正交变换.
(II) 判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是否合同, 并说明理由.
(III) 若二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_1^2+y_2^2-y_3^2$, 求 $k$.
已知 $R^3$ 的两个基为
$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \beta_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right], \beta_2=\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
4
\end{array}\right], \beta_3=\left[\begin{array}{l}
3 \\
4 \\
3
\end{array}\right] \text {, }
$$
求由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵.
设 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 $C=\left(\begin{array}{ll}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)$ 是否是正定矩阵.
已知二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)
$$
通过正交变换化成标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$, 求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶实反对称阵, 证明: $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|>0 .$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}4 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right]$ 有二重特征值.
(I) 求 $a$ 的值;
(II) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否对角化? 若能, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ 相似,
(1)求 $a$;
(2)求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$,使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$;
(3) 求一个正交变换, 化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_1 x_2+x_2^2+3 x_3^2$ 为标准形.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & a & 3\end{array}\right)$ 的三个特征值为 $1,2,5$, 求
(1)正常数 $a$ 的值;
(2)正交变换, 将 $\boldsymbol{A}$ 对应的二次型化为标准形.
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_1=\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_2=\mathbf{0}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_3=-\boldsymbol{X}_3$, 其中 $\boldsymbol{X}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{X}_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{X}_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$,求(1) $\left|\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}\right|$;
(2)矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^{10}$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$,
(I) 求正交阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角阵.
(II) 求 $\boldsymbol{X}_{3 \times 2}$, 使得 $\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$, 并讨论秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{X}_{3 \times 2}\right)$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=c x_1^2-\left(b^2+1\right) x_2^2+c x_3^2+2 x_1 x_3$ 可通过可逆线性变换化为 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=\left(2 c^2-1\right) y_1^2+\left(c^2+1\right) y_2^2+\left(c^2-2\right) y_3^2+2\left(c^2+1\right) y_1 y_2-2\left(c^2-2\right) y_1 y_3$. 求可逆线性变换 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Pz}$, 将二次型 $\boldsymbol{g}\left(y_1, y_2, y_3\right)$ 化为规范形.