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数学

一、单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
1. 设 A 是 n 阶正定矩阵, B 是 n 阶反对称矩阵, 则对 A−B2 的以下判断: (1)为对称矩阵; (2) 为反对称矩阵; (3) 为正定矩阵; (4)为可逆矩阵, 正确的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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2. 设二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx=x12+5x22+x32−4x1x2+2x2x3, 则对任意的三维向量 x=(x1,x2,x3)T≠0, 均有
A. f(x1,x2,x3)>0. B. f(x1,x2,x3)⩾0. C. f(x1,x2,x3)<0. D. f(x1,x2,x3)⩽0.

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3. 设二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x32−2x1x2+2ax1x3+2a2x2x3, 则二次曲面 f(x1,x2,x3)=1 在可逆线性变换下不可能化为
A. 单叶双曲面. B. 双叶双曲面. C. 椭圆柱面. D. 双曲柱面.

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4. 设 3 阶实对称矩阵 A=(α1,α2,α3),α1−α2+α3=(1,−1,1)T,A3+(a5−1)A2+2a3A +aE=O, 且 tr⁡(A)=1, 则 Ax=0 的通解为
A. k(1,1,0)T, 其中 k 为任意常数. B. k(1,0,−1)T, 其中 k 为任意常数. C. k(1,1,0)T+l(1,0,−1)T, 其中 k,l 为任意常数. D. k(1,−1,1)T+l(1,0,−1)T, 其中 k,l 为任意常数.

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5. 设二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+ax32−4x1x2−4x2x3 经正交变换化为标准形 f=2y12+5y22+ by32, 则
A. a=3,b=1 B. a=3,b=−1 C. a=−3,b=1 D. a=−3,b=−1

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6. 二次型 f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32−4x1x2+4x1x3−8x2x3 的规范形是
A. z12+z22+z32 B. z12−z22−z32 C. z12−z22 D. z12

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二、填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
7. 若二次型 f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+4tx1x2+2tx1x3+2x2x3 是正定的, 则 t 的取值为

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8. 已知二次型 f=x12+x22+2x32+2kx2x3 正定, 则 k 的取值范围为

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9. 已知二阶方阵 A 的特征值为 1 和 -1 , 对应的特征向量为 α1=(1,1)T 和 α2=(0,1)T, 则 A2017=

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10. 已知二次型 f(x1,x2,x3)=∑i=13∑j=13ijxixj. )
(1)写出 f(x1,x2,x3) 对应的矩阵;
(2)求正交变换 x=Qy 将 f(x1,x2,x3) 化为标准形;
(3)求 f(x1,x2,x3)=0 的解.

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11. 若实二次型 f(x1,x2,x3)=(ax1+x2)2+(ax2+x3)2+(ax3+x1)2 为正定的, 则 a 满足的条件是

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12. 二次型 f(x1,x2,x3)=xT[146246785]x 的矩阵是

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13. 二次型 f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2−x3)2+(x3+x1)2 的秩为

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14. 若实对称矩阵 A 与矩阵 B=[000021012] 合同, 则二次型 f=xTAx 的规范形为

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三、解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15. 设复矩阵 A=(20−1−1−1210001−10013), 求 A 的 Jordan 标准形.

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16. 设实二次型 f(x1,x2,x3)=2(x1x2−x1x3+x2x3).
(1) 求正交变换 X=QY, 将二次型 f(x1,x2,x3) 化为标准型, 并写出相应的标准型.
(2) 在直角坐标系 Oxyz 中, 二次曲面 Σ 的方程为 xy−xz+yz=12, 试建立新直角坐标系 Ox′y′z′, 将其化为标准方程, 并要求给出新坐标轴正向单位向量在原坐标系下的坐标.

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17. 设 A=(aij)∈Rn×n 是正定矩阵, 证明:
(1) n 元二次型
f(x1,x2,⋯,xn)=|a11a12⋯a1nx1a21a22⋯a2nx2⋮⋮⋮⋮an1an2⋯annxnx1x2⋯xn0|=|AXXT0|

是负定的, 其中 X=(x1,x2,⋯,xn)T;
(2) |A|≤annΔn−1, 其中
Δn−1=|a11a12⋯a1,n−1a21a22⋯a2,n−1⋮⋮⋮an−1,1an−1,2⋯an−1,n−1|

为 A 的 n−1 级顺序主子式.

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18. 设 A=(400031013), 写出 A 对应的二次型 f(x1,x2,x3), 并求一正交变换 X=PY 将二次型化为标准形.

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19. 设 A,B 均为 n 阶正交矩阵, 证明 AB 也为正交矩阵.

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20. 设二次型
xTAx=ax12+2x22−x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3

矩阵 A 满足 AB=O, 其中 B=[101000101].
(I ) 用正交变换化二次型 xTAx 为标准形,并写出所用正交变换.
(II) 判断矩阵 A 和 B 是否合同, 并说明理由.
(III) 若二次型 xT(A+kE)x 的规范形是 y12+y22−y32, 求 k.

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21. 已知 R3 的两个基为
α1=[111],α2=[10−1],α3=[101],β1=[121],β2=[234],β3=[343], 

求由基 α1,α2,α3 到基 β1,β2,β3 的过渡矩阵.

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22. 设 A,B 分别为 m,n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C=(A00B) 是否是正定矩阵.

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23. 已知二次型
f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0)
通过正交变换化成标准形 f=y12+2y22+5y32, 求参数 a 及所用的正交变换矩阵.

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24. 设 A 是 n 阶正定实对称阵, B 是 n 阶实反对称阵, 证明: |A+B|>0.

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25. 已知矩阵 A=[4−312−1100a] 有二重特征值.
(I) 求 a 的值;
(II) 矩阵 A 能否对角化? 若能, 求可逆矩阵 P, 使得 P−1AP 为对角矩阵.

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26. 设矩阵 A=(110110003) 与 B=(00003000a) 相似,
(1)求 a;
(2)求正交矩阵 P,使 P−1AP=B;
(3) 求一个正交变换, 化二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+x22+3x32 为标准形.

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27. 设矩阵 A=(20003a0a3) 的三个特征值为 1,2,5, 求
(1)正常数 a 的值;
(2)正交变换, 将 A 对应的二次型化为标准形.

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28. 设三阶矩阵 A 满足: AX1=X1,AX2=0,AX3=−X3, 其中 X1=(1,1,0)T,X2=(0,1,0)T,X3=(0,0,1)T,求(1) |A2−A+3E|;
(2)矩阵 A,A10.

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29. 设 A=(2−1−1−12−1−1−12),
(I) 求正交阵 Q, 使得 QTAQ=Λ, 其中 Λ 为对角阵.
(II) 求 X3×2, 使得 XTAX=O, 并讨论秩 r(X3×2).

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30. 已知二次型 f(x1,x2,x3)=cx12−(b2+1)x22+cx32+2x1x3 可通过可逆线性变换化为 g(y1,y2,y3)=(2c2−1)y12+(c2+1)y22+(c2−2)y32+2(c2+1)y1y2−2(c2−2)y1y3. 求可逆线性变换 y=Pz, 将二次型 g(y1,y2,y3) 化为规范形.

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