一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$n$ 阶方阵 $A$ 与对角阵相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $R(A)=n$
$\text{B.}$ $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值
$\text{C.}$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
$\text{D.}$ $A$ 一定是对称阵
设 $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件是
$\text{A.}$ $r=n$
$\text{B.}$ $r < n$
$\text{C.}$ $r \geq n$
$\text{D.}$ $r>n$
设 $A 、 B$ 为 3 阶非 0 矩阵, 满足 $A B=0$, 其中 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 a & 1-a & 2 a \\ a & -a & a^2-2\end{array}\right)$, 则
$\text{A.}$ $a=-1$ 时, 必有 $r(A)=1$
$\text{B.}$ $a \neq-1$ 时, 必有 $r(A)=2$
$\text{C.}$ $a=2$ 时, 必有 $r(A)=1$
$\text{D.}$ $a \neq 2$ 时, 必有 $r(A)=2$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & \lambda+1\end{array}\right)$ 的秩为 2 , 则 $\lambda=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
$\alpha_1, \alpha_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的分别对应于特征值 $\lambda_1, \lambda_2\left(\lambda_1 \neq \lambda_2\right)$ 的特征向量, 则
$\text{A.}$ 对于任意 $k_1 \neq 0, k_2 \neq 0, k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量;
$\text{B.}$ 对于任意 $k_1 \neq 0, k_2 \neq 0, k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2$ 不可能是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量;
$\text{C.}$ 存在常数 $k_1 \neq 0, k_2 \neq 0, k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量;
$\text{D.}$ 存在惟一一组常数 $k_1 \neq 0, k_2 \neq 0, k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量.
设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵, $B$ 为 $n \times m$ 型矩阵, $E$ 为 $m$ 阶单 位阵,若 $A B=E$ ，则有
$\text{A.}$ $r(A)=m, r(\mathrm{~B})=m$
$\text{B.}$ $r(A)=m, r(B)=n$
$\text{C.}$ $r(A)=n, r(\mathrm{~B})=m$
$\text{D.}$ $r(A)=n, r(\mathrm{~B})=n$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 且 $|A| \neq 0$, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 对 $n$ 阶方阵 $B$, 若 $|B|=|A|$, 则 $A, B$ 有相同的特征值
$\text{B.}$ 对 $n$ 阶方阵 $B$, 若 $A B=0$, 则 $B=0$
$\text{C.}$ 对 $n$ 阶方阵 $B$, 若 $A B=B A$, 则 $B \neq 0$
$\text{D.}$ 对任意非零向量 $X=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ 都有 $X^{\mathrm{T}} A X>0$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值, 则 是 $A^2$ 的特征值
三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $|2 \boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=0$, 则 $\boldsymbol{A}$ 有一个特征值为
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 5 & a \\ -2 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ 只有一个线性无关的特征向量, 那么矩阵 $A$ 的特征向量是
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 满足 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=0,|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}|=0$, 且齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解, 则 $\left|\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\right|= $.
$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rcc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & a & 4-a\end{array}\right), r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为
设 $A=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 7 & 2 & 1 \\ 5 & 8 & 4 & 5\end{array}\right], B$ 为 4 阶方阵，且 $r(B)=4$ ，则 $r(A B)=$
已知三阶方阵 $A$ 的特征值是 $\lambda, 2,3$, 且有 $|2 A|=144$, 则 $\lambda=$
设 $A$ 为 $4 \times 5$ 矩阵, 且 $r(A)=4$, 又设向量 $p_1, p_2$ 是齐次 线性方程组 $A X=0$ 的两个不同的解向量, 则方程组 $A X=0$ 的通解为 $X=$
设直线 $l: \frac{1-x}{3}=y+1=\frac{3-z}{2}$ 在平面 $x-y+z=2$ 上的投影为 $l_1$, 则 $l_1$ 的方程为 ________ ,$l$ 绕 $l_1$ 旋转所得的曲面方程是 ________
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}k & 1 \\ 1 & k\end{array}\right]$ 的秩为 1 , 则 $k= $.
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 , 已知 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是它的三个解向量且 $\eta_1=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right], \eta_2+\eta_3=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$, 求该方程组的通解。
求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ 的特征值和特征向量。
已知向量组
$$
a_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right], a_2=\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
1
\end{array}\right], a_3=\left[\begin{array}{c}
3 \\
1 \\
-16
\end{array}\right]
$$
求 (1) 向量组的秩; (2) 向量组的一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用 该最大无关组线性表示。
已知 $A$ 相似于 $B$, 而且 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & b & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 求 $a, b$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,4,1,0)^T, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,9,-1,-3)^T, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,-3,-1)^T$, $\boldsymbol{\alpha}_4=(3,10,-7,-7)^T$, 求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用 该极大无关组表示。
证明题：
（1）设 $A$ 为 $n$ 阶对称方阵, $P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。证明: $A$ 与 $\left(P^{-1} A P\right)^T$ 具有相同的特征值。
（2）设 $n$ 维列向量 $x=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T, H=E-2 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T$, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位阵,
证明:
①$H^2=E$
② $H^T=H$
给定方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4=1, \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+x_4=0, \\ x_2+2 x_3+2 x_4=3, \\ 5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4=a_n\end{array}\right.$ 问当 $a$ 为何值时, 方程组有解? 在有无穷多解时, 求出它的通解, 并给出其导出组的一个基础解系.
求 $\boldsymbol{A}^{20}$, 其中矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \alpha_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, 试证:
$\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 也是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系.
(请从本题和上一题选择一题）已知三元二次型 $x^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}$ 经正交变换为 $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$, 又知 $\boldsymbol{B}$ 满足矩阵方程 $\left[\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{A}\right)^*\right]^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+4 \boldsymbol{E}$, 且 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩 阵,求二次型 $x^{\mathrm{T}} B \boldsymbol{x}$ 的表达式.
设 $A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & a & b & 1\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$, 已知 $\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$ 是线性方程组 $A X=b$ 的一个解, 求线性方程组 $A X=b$ 的通解.
用正交变换将二次曲面的方程
$$
x^2-2 y^2-2 z^2-4 x y+4 x z+8 y z-27=0
$$
化为标准方程, 并说明该曲面是什么曲面.
解线性常微分方程 $\left\{\begin{array}{l}\frac{d x_1}{d t}=x_1-x_2-x_3 \\ \frac{d x_2}{d t}=x_2-x_1-x_3 \\ \frac{d x_3}{d t}=x_3-x_1-x_2\end{array}\right.$, 其中 $x_i=x_i(t)$.