一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right), \boldsymbol{\beta}_1$ 为 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\beta}_2$ 不是 $\boldsymbol{A x}=0$ 的解, 又 $r(\boldsymbol{A B}) < $ $\min \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$, 则 $r(\boldsymbol{A B})=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设矩阵 $\mathbf{A}$ 是三阶方阵, $\lambda_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的二重特征值, 则下面各向量组中:
(1) $(1,3,-2)^T,(4,-1,3)^T,\left(\begin{array}{lll}0 & 0, & 0\end{array}\right)^T$;
(2) $(1,1,1)^T,(1,1,0)^T,(0,0,1)^T$;
(3) $(1,-1,2)^T,(2,-2,4)^T,(3,-3,6)^T$;
(4) $(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T$;
肯定不属于 $\lambda_0$ 的特征向量共有
$\text{A.}$ 1 组;
$\text{B.}$ 2 组;
$\text{C.}$ 3 组;
$\text{D.}$ 4 组;
设 $A, B$ 都是可逆矩阵, 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列结论不一定正确的是
$\text{A.}$ $ A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $ A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶实对称矩阵, 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{B}$ 为 2 阶正定矩阵, 特征值为 $\mu_1, \mu_2$. 记 $M=\max _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}, m=\min _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}$, 则 $M m=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lambda_1 \lambda_2$.
$\text{B.}$ $\frac{\mu_1 \mu_2}{\lambda_1 \lambda_2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\mu_1 \mu_2}$.
$\text{D.}$ 由已知条件不能确定.
矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3\end{array}\right]$ 的关系是
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 相似但不合同
$\text{D.}$ 不合同也不相似
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 都是 4 阶非零矩阵, 且 $\boldsymbol{A B C D}=\boldsymbol{O}$, 如果 $|\boldsymbol{B C}| \neq 0$, 记 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})+r(\boldsymbol{C})+r(\boldsymbol{D})$ $=r$, 则 $r$ 的最大值是
$\text{A.}$ 11
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 13
$\text{D.}$ 14
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right]$,与 $\boldsymbol{A}$ 合同但不相似的矩阵为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$.
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$.
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{ll}-1 & -1 \\ -1 & -1\end{array}\right]$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶矩阵且 $\boldsymbol{A}$ 不可逆, 又 $\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 且 $r(\boldsymbol{B})=2$, 则 $|\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}|=$.
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 0
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶负定矩阵且 $|\boldsymbol{A}|=-1, \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=-\frac{7}{2}, \boldsymbol{\xi}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量. 已知 $\sum_{i, j=1}^3\left(a_{i j}+A_{j i}\right)=0$, 其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式, 则下列说法中,正确的是
$\text{A.}$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有元素之和为 6 .
$\text{B.}$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有元素之和为 -6 .
$\text{C.}$ 矩阵 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 与 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 合同.
$\text{D.}$ 矩阵 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{E}$ 与 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^2$ 合同.
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶对角矩阵, 且 $a_{11}=1$, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第一行的 2 倍加到第二行得到矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再对 $\boldsymbol{B}$ 作初等变换 $T$ 得到矩阵 $\boldsymbol{C}$, 则下列说法中, 正确的是
$\text{A.}$ 若 $T$ 为将 $\boldsymbol{B}$ 的第二列的 -2 倍加到第一列, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似且合同.
$\text{B.}$ 若 $T$ 为将 $\boldsymbol{B}$ 的第二列的 -2 倍加到第一列, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似, 但不合同.
$\text{C.}$ 若 $T$ 为将 $\boldsymbol{B}$ 的第一列的 2 倍加到第二列, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同且相似.
$\text{D.}$ 若 $T$ 为将 $\boldsymbol{B}$ 的第一列的 2 倍加到第二列,则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同,但不相似.
以下说法正确的是
$\text{A.}$ 两个等价向量组的秩不一定相同
$\text{B.}$ 正交向量组一定线性无关
$\text{C.}$ 两个等价向量组所含向量个数一定相等
$\text{D.}$ 若 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, 则 $\alpha_1$ 一定能由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示
设 $\lambda=2$ 是非奇异矩阵 $A$ 的一个特征值，则矩阵 $\left(\frac{1}{3} A^2\right)^{-1}$ 有一特征值等于
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
已知 $a=(k, 1,1)^T$ 是 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的一个特征向量, 则 $k=$
$\text{A.}$ $k=1$ 或 $k=-2$
$\text{B.}$ $k=-1$ 或 $k=-2$
$\text{C.}$ $k=-1$ 或 $k=2$
$\text{D.}$ $k=1$ 或 $k=2$
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $n$ 矩阵 $A, B$ 满足条件 $A B-B+2 E=O$, 则矩阵 $A B-B A+2 A$ 的秩为
已知矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right]$, 且 $\mathbf{A}$ 的秩 $r(\mathbf{A})=3$, 则 $k=$
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $|\mathbf{A}| \neq 0, \mathbf{A}^*$ 是 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵. 若 $\mathbf{A}$ 有特征值 $\lambda$, 则 $\left(2 \mathbf{A}^*\right)^{-1}$ 必有一个特征值 是
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 2 & 3\end{array}\right]$ 的最大特征值及其对应的特征向量.
设 3 阶矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda_1=2, \lambda_2=3, \lambda_3=4$, 对应的特征向量分别为
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \alpha_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \alpha_3=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \text {, 设 } P=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \text {, }
$$
1) 求矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的特征值与特征向量;
2) 设 $B=P A^* P^{-1}$, 求 $B$ 的特征值与特征向量.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}a & 3 \\ 1 & b \\ 2 & -1\end{array}\right)$.
(1) $a, b$ 取何值时,矩阵方程 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{B}$ 有解;
(2) 求 $\boldsymbol{X}$.
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 如果存在正整数 $k$, 使得 $\mathbf{A}^k=\mathbf{O}$ ( $\mathbf{O}$ 为 $n$ 阶零矩阵), 则称 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵.
(1). 如果 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵, 则矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值全为 0 .
(2). 如果 $\mathbf{A} \neq \mathbf{O}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵, 则矩阵 $\mathbf{A}$ 不与对角矩阵相似.
解:
设 $A, B$ 均为 2 阶实对称矩阵, $A$ 的特征值为 $1,2, B$ 的特征值为 2 , 3. 证明:
(I) 若存在 $\xi$, 使得 $\frac{\xi^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=2$, 则 $\boldsymbol{\xi}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 2 的特征向量;
(II) 若存在 $\boldsymbol{\xi}$, 使得 $\frac{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=2, \frac{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=3$, 则 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -4 & t & 0 \\ 6 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，且 $A, B$ 相似， 求 $a$ 与 $t$ 的值.
问 $a$ 满足什么条件，才能使得 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 共有两个线 性无关的特征向量?
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵, 并有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3\right), \boldsymbol{p}_i(i=1,2,3)$ 为三维列向量, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
(1) 证明: $p_1, p_2$ 为 $(E-A) x=0$ 的解, $p_3$ 为 $(E-A) x=-p_2$ 的解, 且 $A$ 不可相似对角化;
(2) 当 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ 时, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right]$ 只有两个不同的特征值, 求 $\mathrm{A}$ 的全部特征值和特征向量。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & a & b \\ 2 & c & -2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & d_1 & 1 \\ d_2 & d_3 & d_4\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$.
(I) 求常数 $a, b, c$;
(II) 判断 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化, 若 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化,则求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵, 反之说明理由.
已知 $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{C}^3\right)$, 其对应矩阵为
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
2023 & 0 & 0 \\
6 & 28 & 0
\end{array}\right)
$$
1. 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形（不必求 Jordan 基）;
2. 证明不存在复矩阵 $\mathbf{B}$ 使得 $\mathbf{B}^2=\mathbf{A}$.
已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值之和为 $1,|\boldsymbol{A}|=-12$; 且方程 $\left(\boldsymbol{A}^*-4 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有一个解向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,-2)^{\mathrm{T}}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$;
(II) 求方程 $\left(\boldsymbol{A}^*+6 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$, （1）求矩阵 $A$ 的特征值；（2）求矩阵 $A$ 的全部特征向量；(3) 求 $\left|A^2-7 A+E\right|$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 1 \\ 8 & -5 & 2 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 只有一个线性无关的特征向量.
(I) 求 $a$ 的值以及 $A$ 的全部特征向量;
(II) 若 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3$, 证明: $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$, $\alpha_3$ 线性无关.