一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2\end{array}\right)$, 其中 $a, b, c, d$ 互不相同, $M_i(i=1,2,3,4)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 划掉第 $i$ 列后所得 3 阶矩阵的行列式, $\boldsymbol{b}=\left(1, a, a^2\right)^{\mathrm{T}}$. 若 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同的解,则
$\text{A.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1-\boldsymbol{\xi}_2=k\left(M_1, M_2, M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}$.
$\text{B.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1-\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-\boldsymbol{M}_1, \boldsymbol{M}_2,-\boldsymbol{M}_3, \boldsymbol{M}_4\right)^{\mathrm{T}}$.
$\text{C.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-M_1,-M_2, M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}+(2,0,0,0)^{\mathrm{T}}$.
$\text{D.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-M_1, M_2,-M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}+(1,0,0,0)^{\mathrm{T}}$.
设 $\eta_1, \eta_2$ 是 3 元非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同解, 且 $r(A)=2$, 则方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\eta_1+k \eta_2(k \in R)$
$\text{B.}$ $\eta_1+k\left(\eta_1-\eta_2\right)(k \in R)$
$\text{C.}$ $k\left(\eta_1-\eta_2\right)(k \in R)$
$\text{D.}$ $\eta_1+k\left(\eta_1+\eta_2\right)(k \in R)$
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵, 则非齐次线性方程组 $A x=b$ 有解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $R(A) < m$
$\text{B.}$ $R(A) < n$
$\text{C.}$ $R(A, b)=R(A)$
$\text{D.}$ $|A| \neq 0$
设 4 阶矩阵 $A$ 的秩为 $3, \eta_1, \eta_2$ 为非齐次线性方程 $A x=b$ 的两个不同的解, $c$ 为任意常数,则该方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\eta_1+c \frac{\eta_1-\eta_2}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+c \eta_1$
$\text{C.}$ $\eta_1+c \frac{\eta_1+\eta_2}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+c \eta_1$
设 $P_i\left(x_i, y_i, z_i\right)(i=1,2, \cdots, n ; n>3)$ 是不重合的点, $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ z_1 & z_2 & \cdots & z_n \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right]$, 若 $P_1$ $P_2, \cdots, P_n$ 共面, 则 $r(\boldsymbol{A})$
$\text{A.}$ 必为 2 .
$\text{B.}$ 为 1 或 2 .
$\text{C.}$ 为 2 或 3 .
$\text{D.}$ 必为 3 .
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可经初等行变换化为 $\boldsymbol{B}$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解.
$\text{B.}$ 方程组 $B x=0$ 与 $A A^{\mathrm{r}} x=0$ 同解.
$\text{C.}$ 方程组 $A^{\mathrm{T}} A x=0$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解.
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解.
若在齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}_{3 \times 5} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一般解中, 只有两个自由未知量 $x_4, x_5$, 则在确定 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系时, 以下结论正确的是
$\text{A.}$ 基础解系中解向量的个数必为 5
$\text{B.}$ 只能分别取 $x_4=1, x_5=0$ 或 $x_4=0, x_5=1$
$\text{C.}$ 基础解系中解向量的个数必为 3
$\text{D.}$ 不能分别取 $x_4=3, x_5=2$ 或 $x_4=6, x_5=4$
方程组 ( I ) $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+3 x_3-x_4=0, \\ x_1-x_2+2 x_3+a x_4=0\end{array}\right.$ 与方程组 (II) $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+x_2+5 x_3+x_4=0, \\ 3 x_2+x_3+b x_4=0\end{array}\right.$ 同解,则
$\text{A.}$ $a=1, b=2$
$\text{B.}$ $a=-1, b=2$
$\text{C.}$ $a=2, b=3$
$\text{D.}$ $a=2, b=-3$
下列说法中:
(1) 已知非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 其中 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 则非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解的充要条件是 $r(\boldsymbol{A})=n-1$;
(2) 已知 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 行满秩, $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵, 有 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 成立, 则存在唯一的列向量 $\boldsymbol{\gamma}$, 有 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}$ 成立;
(3) 已知齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的基础解系分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r-s}$,其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 两个方程组无非零的公共解, 则任一 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\eta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n-s}$ 唯一线性表示;
(4) 若齐次线性方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则存在 $n$ 阶矩阵 $C_1, C_2$ 使得 $A=C_1 B, B=C_2 A$.正确的个数为 $(\quad)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
方程组 ( I ) $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+3 x_3-x_4=0, \\ x_1-x_2+2 x_3+a x_4=0\end{array}\right.$ 与方程组 ( II) $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+x_2+5 x_3+x_4=0, \\ 3 x_2+x_3+b x_4=0\end{array}\right.$ 同解,则
$\text{A.}$ $a=1, b=2$
$\text{B.}$ $a=-1, b=2$
$\text{C.}$ $a=2, b=3$
$\text{D.}$ $a=2, b=-3$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$, 已知 $\lambda_1=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值, 对应的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}$, 则方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为
$\text{A.}$ $(1,1,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{B.}$ $(1,2,-1)^{\mathrm{T}}$
$\text{C.}$ $(1,1,0)^{\mathrm{T}},(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{D.}$ $(2,1,1)^{\mathrm{T}},(1,0,1)^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1, a, 2)^{\mathrm{T}}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=$ $\boldsymbol{b}$ 的解, 其中 $\boldsymbol{b}=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}$, 则
$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时, 有 $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{B.}$ 当 $a=1$ 时,有 $r(\boldsymbol{A})=2$.
$\text{C.}$ 当 $a \neq 1$ 时, 有 $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{D.}$ 当 $a \neq 1$ 时,有 $r(\boldsymbol{A})=2$.
设 $\eta_1$ 与 $\eta_2$ 为非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同的解, $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 为对应产论线性方程组 $A x=0$ 的基础解系, $t_1, t_2$ 为任意常数, 则 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\xi_1+\xi_2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\xi_2-\xi_1\right)$;
$\text{C.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\eta_1+\eta_2\right)$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\eta_1-\eta_2\right)$.
设 $a_1=\left[\begin{array}{lll}1, & 0, & 1\end{array}\right]^T, a_2=\left[\begin{array}{lll}0, & 1, & 1\end{array}\right]^T$ 为 $A x=0$ 的两个解向量, 其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b\end{array}\right]$,
则
$\text{A.}$ $a=-1, \quad b=-1$;
$\text{B.}$ $a=1, \quad b=-1$;
$\text{C.}$ $a=1, \quad b=1$;
$\text{D.}$ $a=-1, \quad b=1$.
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为零，且 $A$ 的秩为 $n-1$ ，则线性方程组 $A X=0$ 的通解为
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行元素均为 1, 第一行元素的代数余子式为 1,2,3, 则方程组 $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 的解为
当 $\lambda=$ ________ 时, 齐次方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2=0, \\ \lambda x_1+x_2 \triangleq 0,\end{array}\right.$ 有非零解.
当 $k= $ ________ , $\left\{\begin{array}{l}k x+y+z=0, \\ x+k y+z=0, \\ x+y+k z=0\end{array}\right.$ 有非零解.
已知非齐次方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ( $k_1, k_2$ 为任意常数), 其中 $\boldsymbol{A}=$ $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 为 4 阶矩阵, 则方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_4, 2 \boldsymbol{\alpha}_1, 3 \boldsymbol{\alpha}_2, 4 \boldsymbol{\alpha}_3\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 9 \\ 2 & 0 & 6 \\ -3 & 1 & -7\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为 3 阶非零矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 为 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解向量,且 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\alpha}_3$ 有解.
(I) 求常数 $a, b$;
(II) 求 $\boldsymbol{B X}=\mathbf{0}$ 的通解.
设非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-3 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}\right.$, 求 $\lambda$ 为何值时方程组 (1) 无解; (2) 有唯一解; (3) 有无穷多解, 并求其通解.
设 $B$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵，
$$
\alpha_1=(1,1,2,3)^T, \alpha_2=(-1,1,4,-1)^T, \alpha_3=(5,-1,-8,9)^T
$$
是齐次方程组 $\boldsymbol{B} x=0$ 的解向量, 求 $\boldsymbol{B} x=0$ 的解空间的一个标准正交基.
问 $a, b$ 我何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_2+2 x_3+2 x_4=1 \\ -x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1\end{array}\right.$有唯一解? 无解? 有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解.
$k$ 取何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}k x_1+x_2+x_3=1, \\ x_1+k x_2-x_3=k, \text { (1) 有唯一解? (2) 无解? (3) 有无穷多解? } \\ x_1+x_2+k x_3=k .\end{array}\right.$
当 $\lambda$ 为何值时,线性方程组: $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=1, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda \\ x_1+x_2+\lambda x_3=\lambda^2\end{array}\right.$ 有唯一解? 无解?有无穷解? 当有解时, 求出方程组的解
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2-3 x_3-x_4=1, \\ 3 x_1-x_2-3 x_3+4 x_4=4, \\ x_1+5 x_2-9 x_3-8 x_4=0,\end{array}\right.$ 求方程组的通解
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+k \boldsymbol{\alpha}_3\right)$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 均为 4 维列向量, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 且 $\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$, 若线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_4$ 有无穷多个解.
(I) 求 $k$ 的值;
(II) 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_4$ 的通解.
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵. 若单个向量 $\beta \neq 0$ 是方程组 $\boldsymbol{A} X=0$ 的一个基础解系，则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=0$的基础解系含有解向量的个数是
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$, 当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $C$.使得 $A C-C A=B$ ，并求所有的矩阵 $C$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_1 & 4 & a_2 & a_3 \\ 2 & 7 & 5 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为 $2 \times 4$ 矩阵, $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-2,3,-1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,-2,1)^{\top}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$;
(II) 若方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解,求 $a_1, a_2, a_3, a_1$ 的值;
(III) 求方程组 $\boldsymbol{A} x=\mathbf{0}$ 满足 $x_3=-x_1$ 的全部解.