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ks7

数学

一、单选题（共 13 题），每题只有一个选项正确

1. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

是

n

维列向量, 则下列命题中正确的是

A.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意

s - 1

个向量都线性无关,则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

必线性无关.

B.

若

α_{s}

不能由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s - 1}

线性表示, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

必线性无关.

C.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关, 则

(\begin{array}{l} α_{1} \\ α_{s} \end{array}), (\begin{array}{l} α_{2} \\ α_{s} \end{array}), \dots, (\begin{matrix} α_{s - 1} \\ α_{s} \end{matrix})

必线性无关.

D.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关, 则

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, \dots, α_{s - 1} + α_{s}, α_{s} + α_{1}

必线性无关.

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2. 设向量组

a_{1} = (1, - t, 3, 0)^{T}, a_{2} = (0, 2, - t, 2)^{T}, a_{3} = (- 1, 4, - 3, 0)^{T}

, 若

a_{1}, a_{2}, a_{3}

线性相关,则

t =

A.

-4

B.

C.

D.

-2

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3. 以下结论正确的是

A.

对向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

, 如果

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{n} α_{n} = 0

, 就必有

k_{1} = k_{2} = \dots = k_{n} = 0

, 则称向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性无关;

B.

如果有一组不全为零的数

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

, 使得

λ_{1} α_{1} + λ_{2} α_{2} + \dots + λ_{n} α_{n} \neq 0

成立, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性无关;

C.

若向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性相关, 则其中每一个向量都能被其余向量线性表示;

D.

若

k_{1} = k_{2} = \dots = k_{n} = 0

, 使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{n} α_{n} = 0

, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性无关.

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4. 下列结论中错误的是

A.

n + 1

个

n

维向量一定线性概关;

B.

n

个

n + 1

维向量一定线性相关;

C.

若

n

个

n

维列向量

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性相关, 则

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} | = 0

;

D.

若

n

个

n

维列向量满足

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} | = 0

, 则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性相关.

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5. 设

A

为

m \times n

矩阵, 齐次方程组

A x = 0

仅有零解的充要条件是.

A.

A

的列向量组线性无关

B.

A

的列向量组线性相关

C.

A

的行向量组线性无关

D.

A

的行向量组相关

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6. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为

n (n ⩾ 3)

维列向量, 关于向量组 (I)

k α_{1} + α_{2}, k α_{2} + α_{3}, k α_{3} + α_{1}

和 (II)

- k α_{1} + α_{2}, - α_{2} + α_{3}, k α_{3} + α_{1}

, 则下列结论正确的是

A.

向量组 (I) 必线性无关

B.

向量组 (II) 必线性无关

C.

若向量组 (I) 线性无关,则向量组 (II)也线性无关

D.

若向量组 (II) 线性无关, 则向量组 (I) 也线性无关

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7. 设

A_{i}, (i = 1, 2)

均为

n

阶对称阵, 且

A = (\begin{array}{cc} A_{1} & E \\ E & A_{2} \end{array})

为正定矩阵, 则下列说法不正确的是

A.

A_{1}

正定

B.

A_{2}

正定

C.

A_{2} - A_{1}^{- 1}

正定

D.

| A | = | A_{2} - A_{1}^{- 1} |

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8. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为

n (n ⩾ 3)

维列向量, 关于向量组 (I)

k α_{1} + α_{2}, k α_{2} + α_{3}, k α_{3} + α_{1}

和 (II)

- k α_{1} + α_{2}, - α_{2} + α_{3}, k α_{3} + α_{1}

, 则下列结论正确的是

A.

向量组 (I) 必线性无关

B.

向量组 (II) 必线性无关

C.

若向量组 (I) 线性无关, 则向量组 (II) 也线性无关

D.

若向量组 (II) 线性无关,则向量组 (I) 也线性无关

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9. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关,

β_{1}

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示,

β_{2}

不能

α_{1}, α_{2}, α_{3}

由线性表示, 则对于任意常数

k

必有

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}

线性无关

B.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}

线性相关

C.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} + k β_{2}

线性无关

D.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} + k β_{2}

线性相关

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10. 设向量组A:

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

可由向量组B:

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性表示, 则

A.

当

r < s

时，B组必线性相关

B.

当

r > s

时，B组必线性相关

C.

当

r < s

时, A组必线性相关

D.

当

r > s

时, A组必线性相关

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11. 设

α_{1} = (1, - 1, 2, 4)^{T}, α_{2} = (0, 3, 1, 2)^{T}, α_{3} = (3, 0, 7, 14)^{T}, α_{4} = (1, - 2, 2, 0)^{T}

，

α_{5} = (2, 1, 5, 10)^{T}

, 则该向量组的最大无关组是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}, α_{4}

C.

α_{1}, α_{2}, α_{5}

D.

α_{1}, α_{2}, α_{4}, α_{5}

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12. 向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

线性无关的充分必要条件是

A.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

均不为零向量

B.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

中有一部分向量组线性无关

C.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

中任意两个向量的分量不对应成比例

D.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

中任意一个向量都不能由其余

r - 1

个向量线性表示

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13. 下列命题中错误的是

A.

含有零向量的向量组是线性相关的;

B.

由 3 个 2 维向量组成的向量组是线性相关的;

C.

由单个非零向量组成的向量组是线性相关的:

D.

两个成比例的向量组成的向量组是线性相关的。

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二、判断题（共 1 题）

14. 设

A

是

n

阶实对称阵, 则

A

为半正定矩阵的充要必要条件是

A

的所有主子式都不小于零.

A.

正确

B.

错误

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

15. 设

A = (\begin{array}{rrr} 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \end{array}), α = (\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \end{array}), A α, α

线性相关, 则

a =

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16. 设

A

是

5 \times 4

矩阵,

A

的秩为 2 , 则齐次线性方程组

A x = 0

的一个基础解系中含有解的个数为

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17. 设三阶矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \end{array})

, 三维列向量

α = (a, 1, 1)^{T}

已知

A α

与

α

线性相关, 则

a =

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18. 已知向量组

α_{1} = (1, 2, 3, 4)^{T}, α_{2} = (2, 3, 4, 5)^{T}, α_{3} = (3, 4, 5, 6)^{T}, α_{4} = (4, 5, 6, 7)^{T}

, 则该向量组的秩是

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四、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

19. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为两两正交的单位向量, 又

β \neq 0

且

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β

线性相关,令

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) (\begin{array}{l} α_{1}^{T} \\ α_{2}^{T} \\ α_{3}^{T} \end{array})

.
(I) 证明:

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

唯一线性表示;
(II) 验证

β

为矩阵

A

的特征向量, 并求相应的特征值.

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20. 设

n

维列向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性相关，

A

为

n

阶方阵，证明: 向量组

A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}

线性相关。

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21. 设

α_{1} = [\begin{matrix} 1 + λ \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], α_{2} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 + λ \\ 1 \end{matrix}], α_{3} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 + λ \end{matrix}], β = [\begin{matrix} 0 \\ λ \\ λ^{2} \end{matrix}]

，问

λ

取何值时，
(1)

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表达式唯一?
(2)

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表达式不唯一?
(3)

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示?

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22. 已知向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} (s \geq 2)

线性无关，设

\begin{aligned} β_{1} = α_{1} + α_{2}, β_{2} = α_{2} + α_{3}, \dots, \\ β_{s - 1} = α_{s - 1} + α_{s}, β_{s} = α_{s} + α_{1} \end{aligned}

讨论向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

的线性相关性.

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23. 设

A = E - ξ ξ^{T}

，其中

E

是

n

阶单位矩阵，

ξ

是

n

维非零列向量，

ξ^{T}

是

ξ

的转置，证明:
(1)

A^{2} = A

的充要条件是

ξ^{T} ξ = 1

；
(2) 当

ξ^{T} ξ = 1

时，

A

是不可逆矩阵.

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24. 已知

A = (\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ - 1 & 3 & 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 0 & 6 \end{array})

, 试求(1) 将矩阵

A

变为行最简形矩阵; (2) 求矩阵

A

列向量组的一个最大无关组; (3) 将不属于最大无关组的向量用最大无关组表示。

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25. 给定向量组

α_{1} = (1, - 1, 0, 4), α_{2} = (2, 1, 5, 6), α_{3} = (1, - 1, - 2, 0), α_{4} = (3, 0, 7, k)

.
(1)当

k

为何值时, 向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性相关?
(2)当向量组线性相关时, 求出最大无关组, 并用最大无关组线性表示向量组中其它向量. (10 分)

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26. 设有向量组

α_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}), α_{4} = (\begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array})

, 求向量组的秩和一个最大无关组, 并把其余向量用该最大无关组线性表示.

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27. 已知向量组 A:

α_{1} = (2, 1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (0, 1, 2, 2)^{T}, α_{3} = (- 2, 1, 2, 1)^{T}, α_{4} = (1, 3, 1, 2)^{T}

为

R^{4}

的一组基, 试求向量

β = (1, 1, 1, 1)^{T}

在

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

下的坐标.

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28. 讨论下列向量组的线性相关性

(3, - 1, 2, - 1)^{T}

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (x, 0, 1)^{T}, α_{3} = (0, 1, 1)^{T}

α_{1} = (1, 1, 3, 1)^{T}, α_{2} = (4, 1, - 3, 2)^{T}, α_{3} = (1, 0, - 1, 2)^{T}

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29. 求下列矩阵的列向量组的秩及一个罖大无关组

A = (\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 2 & 3 & 2 \\ - 2 & - 2 & - 1 & 3 & - 4 \\ - 1 & - 1 & 0 & 3 & - 2 \\ 0 & - 3 & 2 & 3 & - 3 \\ 2 & 3 & 3 & 4 & 5 \end{array})

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30. 验证

α_{1} = (1, - 1, 0)^{T}, α_{2} = (2, 1, 3)^{T}, α_{3} = (3, 1, 2)^{T}

为

R^{3}

的一个基, 并求

^{α} = (1, 1, 1)^{T}

在这组基下的坐标.

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