一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $P$ 为正交矩阵, 向量 $\alpha, \beta$ 的内积为 $(\alpha, \beta)=2$, 则 $(P \alpha, P \beta)=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}, \boldsymbol{B}_{m \times}, \boldsymbol{C}_{n \times}$, 满足 $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B}$, 以下命题中正确的是
$\text{A.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{B.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组一定线性无关
$\text{C.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{D.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组一定线性无关
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 椭球面.
$\text{B.}$ 单叶双曲面.
$\text{C.}$ 双叶双曲面.
$\text{D.}$ 柱面.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3\left(x_i-\bar{x}\right)^2$, 其中 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$, 则二次型的正惯性指数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的两组基, 则 $\boldsymbol{\beta}_1$, $\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}5 & -4 & -6 \\ 1 & 0 & 1 \\ 10 & 8 & 11\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & -10 \\ -4 & 0 & 8 \\ -6 & 1 & 11\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{15}{4} & \frac{7}{4} & \frac{9}{4} \\ -2 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & \frac{15}{4} & -2 \\ \frac{3}{2} & \frac{7}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{9}{4} & -1\end{array}\right)$.
下列矩阵中, 与矩阵 $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$.
$n$ 阶方降 $A$ 能与对角矩阵相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $A$ 具有 $n$ 个线性无关的特征向量
$\text{B.}$ $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等
$\text{C.}$ $A$ 是实对称矩阵
$\text{D.}$ $A$ 的特征向量两两正交
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设方程组 $\left\{\begin{array}{c}3 x_1+k x_2-x_3=0 \\ 4 x_2-x_3=0 \\ 4 x_2+k x_3=0\end{array}\right.$ 有非零解, 则 $\mathrm{k}=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=(1-a) x_1^2+(1-a) x_2^2-2 x_3^2+2(1+a) x_1 x_2$, 经可逆线性变换 $x=$ $\boldsymbol{P y}$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2-2 y_2^2+y_3^2+2 y_1 y_2-4 y_1 y_3+2 y_2 y_3$.
(I) 求常数 $a$ 的值;
（II) 求所作可逆线性变换的矩阵 $\boldsymbol{P}$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数为 1 , 求常数 $a$ 的取值范围.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1{ }^2+3 x_3{ }^2-4 x_1 x_2+2 x_1 x_3-8 x_2 x_3$, 则二次型 $f$ 的矩阵是
三、解答题 （ 共 18 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知二次型 $f=x_1^2+x_2^2+3 x_3^2-2 x_1 x_2$, 求:
(1) 二次型对应矩阵 $\mathrm{A}$ 的特征值
(2) 求正交矩阵 $P$,及在正交变换下二次型的标准型
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 3 \\ -1\end{array}\right], \alpha_4=\left[\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$, 求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的一个 极大无关组，并把其余向量用此极大无关组表示出来
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为线性无关的 3 维列向量, $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$, 交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 2, 3 列, 再将第 2 列乘 (-4), 第 3 列乘 $(-1)$ 得 $\boldsymbol{C}$, 若 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}$.
( I ) 求 $\boldsymbol{B}$ 的全部特征值;
(II) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{\Lambda}$.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一组 $n$ 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一 $n$ 维向 量都可由它们线性表示.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$ 的 列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示.
设
$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right) \text { ， } \\
B=\left(\beta_1, \beta_2\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
0 & 3 \\
-4 & 2
\end{array}\right) .
\end{gathered}
$$
证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R^3$ 的基，并求 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的坐标.
已知 $\alpha_1=(1,1,1)^T$ ，求一组非零向量 $\alpha_2, \alpha_3$ ，使得 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交.
用配方法将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-3 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 化为规范形, 并写出变换矩阵.
利用正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$,把二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2+2 x_1 x_2$ 化为标准形.
(1) 证明: 实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 的秩等于矩阵
$A$ 非零特征值的个数，其中 $A$ 为实对称矩阵，且
$$
X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T .
$$
(2) 化二次型 $\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ 为标准形，其中
$$
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} .
$$
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ x_2 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x_3 & a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$, 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$.
(1) 求二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵;
(2) 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 经正交变换化为标准形 $y_1^2+4 y_2^2+y_3^2$, 其中 $|\boldsymbol{A}|>0$, 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 各行元素之和为 $a(a < 1)$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\left[\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{A}\right)^*\right]^{-1} \boldsymbol{B A}=6 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+12 \boldsymbol{E}$, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{\Lambda}$.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$, 其中 $a$ 是参数.
(I) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+2 x_2\right)^2+\left(2 x_2-x_3\right)^2$ $+\left(x_1+x_3\right)^2$ 的正惯性指数为
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ 且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$与 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 等价，则 $a$ 满足
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1{ }^2+a x_2{ }^2+a x_3{ }^2$
$+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 用正交替换 $X=T Y$ 化为标准形
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=b{y_2}^2+c y_3{ }^2,(b, c \neq 0) .
$$
求 $a, b, c$ 并写出正交替换及所化成的标准二次型.
求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ -3 & -6 & -1\end{array}\right)$ 的约当标准形 $J$, 并求可逆矩阵 $T$.使得 $T^{-1} A T=J$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{\xi}_1=(a,-2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}_2=(a, a,-3)^{\mathrm{T}}$是 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 化为标准形;
(III) 当 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 时, 求 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 的最大值.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right)$, 求一个正交矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P=\Lambda$ 为对角阵.