ks9-数学组卷-自助组卷

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ks9

数学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设

P

为正交矩阵, 向量

α, β

的内积为

(α, β) = 2

, 则

(P α, P β) =

A.

B.

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{3}{2}

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2. 设矩阵

A_{m \times n}, B_{m \times}, C_{n \times}

, 满足

A C = B

, 以下命题中正确的是

A.

如果矩阵

C

的列向量组线性无关, 则矩阵

B

的列向量组一定线性无关

B.

如果矩阵

C

的行向量组线性无关, 则矩阵

B

的行向量组一定线性无关

C.

如果矩阵

B

的列向量组线性无关, 则矩阵

C

的列向量组一定线性无关

D.

如果矩阵

B

的行向量组线性无关, 则矩阵

C

的行向量组一定线性无关

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3. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 4 x_{1} x_{3} - 4 x_{2} x_{3}

, 则

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2

在空间直角坐标下表示的二次曲面为

A.

椭球面.

B.

单叶双曲面.

C.

双叶双曲面.

D.

柱面.

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4. 已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = \sum_{i = 1}^{3} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

, 其中

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}

, 则二次型的正惯性指数为

A.

B.

C.

D.

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5. 设

A_{i}, i = 1, 2

均为

n

阶对称阵, 且

A = (\begin{array}{cc} A_{1} & E \\ E & A_{2} \end{array})

为正定矩阵, 则下列说法不正确的是

A.

A_{1}

正定

B.

A_{2}

正定

C.

A_{2} - A_{1}^{- 1}

正定

D.

| A | = | A_{2} - A_{1}^{- 1} |

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6. 设

α_{1} = (\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{r} - 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})

和

β_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), β_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}), β_{3} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})

为

R^{3}

的两组基, 则

β_{1}

β_{2}, β_{3}

到

α_{1}, α_{2}, α_{3}

的过渡矩阵为

A.

(\begin{array}{rrr} 5 & - 4 & - 6 \\ 1 & 0 & 1 \\ 10 & 8 & 11 \end{array})

B.

(\begin{array}{rrr} 5 & 1 & - 10 \\ - 4 & 0 & 8 \\ - 6 & 1 & 11 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{15}{4} & \frac{7}{4} & \frac{9}{4} \\ - 2 & 0 & - 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{15}{4} & - 2 \\ \frac{3}{2} & \frac{7}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{9}{4} & - 1 \end{array})

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7. 下列矩阵中, 与矩阵

(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

相似的为

A.

(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{rrr} 3 & 2 & - 2 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 4 & 2 & - 3 \end{array})

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n

阶方降

A

能与对角矩阵相似的充分必要条件是

A.

A

具有

n

个线性无关的特征向量

B.

A

的

n

个特征值互不相等

C.

A

是实对称矩阵

D.

A

的特征向量两两正交

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设方程组

{\begin{matrix} 3 x_{1} + k x_{2} - x_{3} = 0 \\ 4 x_{2} - x_{3} = 0 \\ 4 x_{2} + k x_{3} = 0 \end{matrix}

有非零解, 则

k =

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10. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (1 - a) x_{1}^{2} + (1 - a) x_{2}^{2} - 2 x_{3}^{2} + 2 (1 + a) x_{1} x_{2}

, 经可逆线性变换

x =

P y

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + 2 y_{1} y_{2} - 4 y_{1} y_{3} + 2 y_{2} y_{3}

.
(I) 求常数

a

的值;
（II) 求所作可逆线性变换的矩阵

P

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11. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 2 a x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

的负惯性指数为 1 , 求常数

a

的取值范围.

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12. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 3 x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} - 8 x_{2} x_{3}

, 则二次型

f

的矩阵是

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三、解答题（共 18 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 已知二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2}

, 求:
(1) 二次型对应矩阵

A

的特征值
(2) 求正交矩阵

P

,及在正交变换下二次型的标准型

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14. 已知向量组

α_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}], α_{2} = [\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}], α_{3} = [\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}], α_{4} = [\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}]

, 求向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组表示出来

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15. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为线性无关的 3 维列向量,

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

, 交换

A

的第 2, 3 列, 再将第 2 列乘 (-4), 第 3 列乘

(- 1)

得

C

, 若

B A = C

.
( I ) 求

B

的全部特征值;
(II) 求可逆矩阵

P

, 使得

P^{- 1} B P = Λ

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16. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

是一组

n

维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一

n

维向量都可由它们线性表示.

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17. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccccc} 2 & - 1 & - 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 1 & 4 \\ 4 & - 6 & 2 & - 2 & 4 \\ 3 & 6 & - 9 & 7 & 9 \end{array})

, 求矩阵

A

的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.

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18. 设

\begin{matrix} A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (\begin{array}{ccc} 2 & 2 & - 1 \\ 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & 2 \end{array}) ， \\ B = (β_{1}, β_{2}) = (\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ - 4 & 2 \end{array}) . \end{matrix}

证明

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是

R^{3}

的基，并求

β_{1}, β_{2}

在这个基中的坐标.

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19. 已知

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}

，求一组非零向量

α_{2}, α_{3}

，使得

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交.

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20. 用配方法将二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - 3 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3} - 6 x_{2} x_{3}

化为规范形, 并写出变换矩阵.

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21. 利用正交变换

x = Q y

,把二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2}

化为标准形.

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22. (1) 证明: 实二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X

的秩等于矩阵

A

非零特征值的个数，其中

A

为实对称矩阵，且

X = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T} .

(2) 化二次型

\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

为标准形，其中

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} .

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23. 已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = | \begin{array}{cccc} 0 & - x_{1} & - x_{2} & - x_{3} \\ x_{1} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ x_{2} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x_{3} & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

, 实对称矩阵

A = (\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array})

.
(1) 求二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的矩阵;
(2) 已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

经正交变换化为标准形

y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + y_{3}^{2}

, 其中

| A | > 0

, 矩阵

A

各行元素之和为

a (a < 1)

, 矩阵

B

满足

{[{(\frac{1}{2} A)}^{*}]}^{- 1} B A = 6 A B + 12 E

, 求可逆矩阵

P

和对角矩阵

Λ

, 使得

P^{T} B P = Λ

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24. 设实二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = {(x_{1} - x_{2} + x_{3})}^{2} + {(x_{2} + x_{3})}^{2} + {(x_{1} + a x_{3})}^{2}

, 其中

a

是参数.
(I) 求

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0

的解;
(II) 求

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的规范形.

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25. 实二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = {(x_{1} + 2 x_{2})}^{2} + {(2 x_{2} - x_{3})}^{2}

+ {(x_{1} + x_{3})}^{2}

的正惯性指数为

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26. 设

α_{1} = (\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 1 \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ a \end{array}), α_{4} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

且

α_{1}, α_{2}, α_{3}

与

α_{2}, α_{3}, α_{4}

等价，则

a

满足

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27. 已知实二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a x_{1}^{2} + a x_{2}^{2} + a x_{3}^{2}

+ 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}

用正交替换

X = T Y

化为标准形

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = b {y_{2}}^{2} + c y_{3}^{2}, (b, c \neq 0) .

求

a, b, c

并写出正交替换及所化成的标准二次型.

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28. 求矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 3 & - 6 & - 1 \end{array})

的约当标准形

J

, 并求可逆矩阵

T

.使得

T^{- 1} A T = J

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29. 设

A

为 3 阶实对称阵,

ξ_{1} = (a, - 2, 1)^{T}

是

A x = 0

的解,

ξ_{2} = (a, a, - 3)^{T}

是

(A - E) x = 0

的解, 且

B = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 1 & a & - 2 \\ 2 & - 2 & 9 \end{array})

是正定矩阵.
(I) 求参数

a

;
(II) 求正交变换

x = P y

, 将二次型

f = x^{T} B x

化为标准形;
(III) 当

x^{T} x = 2

时, 求

f = x^{T} B x

的最大值.

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30. 设

A = (\begin{array}{lll} 2 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array})

, 求一个正交矩阵

P

, 使

P^{- 1} A P = Λ

为对角阵.

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