ks13-数学组卷-自助组卷

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ks13

数学

一、单选题（共 15 题），每题只有一个选项正确

1. 设有直线

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 8}{1}

与

L_{2} : {\begin{cases} x - y = 6 \\ 2 y + z = 3 \end{cases}

, 则

L_{1}

与

L_{2}

的夹角为 ( )

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{π}{2}

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2. 下列函数中,在

x = 0

处可导的是

()

A.

f (x) = \frac{| x |}{x 1}

B.

f (x) = \sqrt{\cos x}

C.

f (x) = x \arctan \frac{1}{x}

D.

f (x) = \cos \sqrt{| x |}

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3. 设

g (x)

有界

f (x) = {\begin{cases} \frac{\cos x - 1}{x}, & x < 0, \\ x^{\frac{3}{2}} g (x), & x \geq 0, \end{cases}

则

f (x)

在

x = 0

处

()

A.

极限不存在

B.

存在极限但不连续

C.

连续但不可导

D.

可导

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4. 设

f (x)

以2为周期且

f^{'} (1) = π

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (32 x) - f (- 1 - \sin x)}{x} = ()

A.

π

B.

2 π

C.

3 π

D.

4 π

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5. 设

f (x)

在

x = a

处连续,

ϕ (x) = | x - a | f (x)

,若

ϕ (x)

在

x = a

处可导,则

()

A.

f (a) = 0

B.

f (a) \neq 0

C.

f^{'} (a) = 0

D.

f^{'} (a) \neq 0

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6. 若

lim_{x \to 0} \frac{x - \sin a x}{\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{b t^{4}}} d t} = 2

, 则

()

A.

a = 1

b = 2

B.

a = 1

b = 4

C.

a = 1

b = 6

D.

a = 1

b = 16

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7. 下列结论正确的是

()

A.

若

{a_{n}}

有界，

lim_{n \to \infty} b_{n}

存在，则

lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n}

存在

B.

若

{a_{n}}

有界，

lim_{n \to \infty} b_{n} = 0

, 则

lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = 0

C.

若

{a_{n}}

无界,

{b_{n}}

无界,则

{a_{n} b_{n}}

无界

D.

若

{a_{n}}

为无穷小数列，

{b_{n}}

无界，则

lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = 0

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8. 下列结论正确的是

()

A.

若

{a_{n}}

有界，

lim_{n \to \infty} b_{n}

存在，则

lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n}

存在

B.

若

{a_{n}}

有界，

lim_{n \to \infty} b_{n} = 0

, 则

lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = 0

C.

若

{a_{n}}

无界,

{b_{n}}

无界,则

{a_{n} b_{n}}

无界

D.

若

{a_{n}}

为无穷小数列，

{b_{n}}

无界，则

lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = 0

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9. 当

x \to 0

时,

(1 x^{n})^{\sin x} - 1

是比

(\sqrt{1 x} - 1) \arcsin x

高阶的无穷小，比

x^{2} - \sin^{2} x

低阶的无穷小,则

n = ()

A.

B.

C.

D.

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10. 设

α = \ln \cos 2 x

β = \ln \frac{1 - x^{2}}{1 x^{2}}

, 则当

x \to 0

时,

α

是

β

的

()

A.

高阶无穷小

B.

低阶无穷小

C.

等价无穷小

D.

同阶而非等价的无穷小

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11. 设

f (x) = \frac{| \ln | x | |}{x^{2} - 1}

, 则

f (x)

有

()

A.

两个跳跃间断点，一个第二类间断点

B.

两个可去间断点，一个第二类间断点

C.

一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个第二类间断点

D.

三个第二类间断点

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12. 设

f (x)

以

2

为周期,当

x \in [- 1, 1)

时

f (x) = {\begin{cases} - 1 - x, - 1 \leq x < 0, 2 x, 0 \leq x < \frac{1}{2}, \\ 1 - x, \frac{1}{2} \leq x < 1, \end{cases}

为其傅里叶级数的和函数，则

S (- \frac{7}{2}) = ()

A.

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

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13. 设

f (x)

以

2

为周期,当

x \in [- 1, 1)

时

f (x) = {\begin{cases} - 1 - x, - 1 \leq x < 0, 2 x, 0 \leq x < \frac{1}{2}, \\ 1 - x, \frac{1}{2} \leq x < 1, \end{cases}

为其傅里叶级数的和函数，则

S (- \frac{7}{2}) = ()

A.

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

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14. 设

f (x)

以

2

为周期,当

x \in [- 1, 1)

时

f (x) = {\begin{cases} - 1 - x, - 1 \leq x < 0, 2 x, 0 \leq x < \frac{1}{2}, \\ 1 - x, \frac{1}{2} \leq x < 1, \end{cases}

为其傅里叶级数的和函数，则

S (- \frac{7}{2}) = ()

A.

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

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15. 设

f (x)

以

2

为周期,当

x \in [- 1, 1)

时

f (x) = {\begin{cases} - 1 - x, - 1 \leq x < 0, 2 x, 0 \leq x < \frac{1}{2}, \\ 1 - x, \frac{1}{2} \leq x < 1, \end{cases}

为其傅里叶级数的和函数，则

S (- \frac{7}{2}) = ()

A.

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

16. 设一平面经过原点及点

(6, - 3, 2)

, 且与平面

4 x - y + 2 z = 8

垂直, 求此平面方程。

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17. 设

y = \frac{1}{2 x - 1}

, 则

y^{(10)} (0) = \underset{―}{}

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18. 设

e^{x y} = x y 1

, 则

y^{'} (0) = \underset{―}{}

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19. 设

f (x) = lim_{t \to 0} x^{2} (1 - t^{2})^{\frac{x}{\sin t^{2}}}

, 则

f^{'} (x) = \underset{―}{}

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20. 设

y = y (x)

满足

Δ y = \frac{Δ x}{1 x^{2}} o (Δ x)

, 且

y (0) = 1

,则

y (x) = \underset{―}{}

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21. 设

f (x)

在

x = 1

处可导且

f (1) = 0

f^{'} (1) = π

,则

lim_{x \to 0} \frac{f (\cos x)}{\ln (1 x^{2})} = \underset{―}{}

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22. 设

f (x) = {\begin{cases} \ln (1 a x), & x > 0, \\ e^{2 x} b, & x \leq 0 \end{cases}

且

f^{'} (0)

存在,则

a = \underset{―}{}

b = \underset{―}{}

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23. 设

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{10 x} - 10)

, 则

f^{'} (0) = \underset{―}{}

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24. 设

f (x)

连续可导,且

lim_{x \to 1} \frac{f (x) 1}{x - 1} = 2

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (12 x) - f (1 - 3 x)}{x} = \underset{―}{}

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25. 设

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{10 x} - 10)

, 则

f^{'} (0) = \underset{―}{}

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三、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

26. 设

f (x) = \frac{\ln | x |}{| x - 1 |} \sin x

, 求

f (x)

的间断点并判断其类型.

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27. 设

f (x) = \frac{1}{π x} \frac{1}{\sin π x} - \frac{1}{π (1 - x)}, x \in [\frac{1}{2}, 1)

试补充定义使得

f (x)

在区间

[\frac{1}{2}, 1]

上连续.

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28. 设

f (x) = e^{\frac{1}{x}} \arctan \frac{1}{x^{2} - 1}

, 求

f (x)

的间断点并判断其类型.

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29. 求

f (x) = \frac{x^{3} x}{(x^{2} - 1) \arctan x} e^{\frac{1}{x - 2}}

的间断点并分类.

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30. 设

f (x) = \frac{1 - e^{\frac{1}{x - 1}}}{1 e^{\frac{2}{x - 1}}} \arctan \frac{1}{x}

, 求

f (x)

的间断点，并分类.

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31. 设

f (x) = \frac{x}{1 - e^{\frac{x}{1 - x}}}

求

f (x)

的间断点并判断其类型.

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32. 讨论函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{\ln (e^{n} x^{n})}{n} (x > 0)

的连续性.

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33. 讨论函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{\sin x}{| x |}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}

的连续性.

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34. 生命在于运动, 小双每天坚持练习跳绳. 某一天, 小双以 1 分钟跳 160 个为目标, 并把 10 次 1 分钟跳的数量记录如下 (超过 160 个的部分记为 “ ”, 少于 160 个的部分记为 “-”) :

- 9, - 10, - 2, 12, 10, - 11, 13, - 2, 6, 7

.
(1) 小双在这 10 次跳绳练习中, 1 分钟最少跳了多少个?
(2) 小双在这 10 次跳绳练习中累计跳绳多少个?

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35. 计算下列极限.
(1)

lim_{x \to 0} \frac{(12 x)^{\sin x} - 1}{x^{2}}

.
(2)

lim_{x \to 0} \frac{\ln (e \sin 2 x) - 1}{x}

.
(3)

lim_{x \to 0} \frac{\ln \frac{\sin x}{x}}{\tan^{2} x}

.
(4)

lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} - e^{x}}{x^{3}}

.
(5)

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 x \cos x} - \sqrt{1 x}}{x^{2} \arcsin 2 x}

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36. 计算下列极限.
(1)

lim_{x \to 0} (\cos x x^{2})^{\frac{1}{x \ln (1 x)}}

.
(2)

lim_{x \to 0} (e^{x} e^{\sin 2 x} - 1)^{\frac{1}{x}}

.
(3)

lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 1}{x 1})}^{2 x}

.
(4)

lim_{x \to 0} {(\frac{\arctan x}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}

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37. 计算下列极限.
(1)

lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} 4 x 1} - \sqrt{x^{2} - 2 x 3})

.
(2)

lim_{x \to \infty} (x \arctan x - \frac{π}{2} x)

.
(3)

lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1})

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38. 计算下列极限.
(1)

lim_{n \to \infty} (1 2^{n} 3^{n})^{\frac{1}{n}}

.
(2)

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{4 n^{2} 1} \frac{2}{4 n^{2} 2} \dots \frac{n}{4 n^{2} n})

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39. 设

a_{1} > 0

a_{n 1} = \ln (1 a_{n}) (n = 1, 2, \dots)

.
(1)证明:

lim_{n \to \infty} a_{n}

存在，并求此极限；
(2)求

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n 1} - a_{n}}{a_{n} a_{n 1}}

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40. 在

x O y

坐标平面上，连续曲线

L

过点

M (1, 0)

，其上任意点

P (x, y) (x \neq 0)

处的切线斜率与直线

O P

的斜率之差等于

a x

（常数

a > 0

).
(I) 求

L

的方程;
(ㅍ) 当

L

与直线

y = a x

所围成平面图形的面积为

8 / 3

时，确定

a

的值.

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