一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)=1-\frac{x}{\pi}(0 \leq x \leq \pi)$ 以 $2 \pi$ 为周期的余弦函 数的和函数为 $S(x)$ ，则 $S\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ 和 $S(3 \pi)$ 的值分别为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2},-2$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2},-2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}, 0$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}, 0$
设 $p \geqslant 0$, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^p}{1+x^q} \mathrm{~d} x$ 发散, 则
$\text{A.}$ $p>0, q \geqslant 0$.
$\text{B.}$ $p>0, q < 0$.
$\text{C.}$ $p=0, q \geqslant 0$.
$\text{D.}$ $p=0, q < 0$.
设 $a \neq b$, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 < x < \pi, \\ b, & -\pi < x < 0,\end{array}\right.$ 且其傅里叶级数展开式为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+\right.$ $\left.b_n \sin n x\right)$, 则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 发散.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$ 收敛.
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1\right) \ln \left(1+\frac{1}{n^\alpha}\right)$ 绝对收敛, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n^{1-\sigma}}$ 条件收敛, 则
$\text{A.}$ $\alpha>\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $2 < \alpha < 3$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} < \alpha < 1$.
$\text{D.}$ $\alpha < 3$.
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛,则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 收敛
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}^2-a_n^2\right)$ 收敛
下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 一定收敛
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 一定收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(a_n \neq 0\right)$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ 收敛
$\text{D.}$ 若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛
二、多选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
设两个凸八面体 $O_1, O_2$ 的每个面都是三角形, 且 $O_1$ 在 $O_2$ 的内部. 记 $O_1\left(O_2\right)$ 的棱长之 和为 $\ell_1\left(\ell_2\right)$. 当我们计算 $\ell_1 / \ell_2$ 时, 可能得到以下哪个(些)值? (多选题)
$\text{A.}$ 0.64
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 1.44
$\text{D.}$ 1.96
某个城市有 10 条东西向的公路和 10 条南北向的公路, 共交于 100 个路口. 小明从某 个路口驾车出发, 经过每个路口恰一次, 最后回到出发点. 在经过每个路口时, 向右转不需 要等待, 直行需要等待 1 分钟, 向左转需要等待 2 分钟. 设小明在路口等待总时间的最小可能 值是 $S$ 分钟, 则
$\text{A.}$ $S < 50$;
$\text{B.}$ $50 \leq S < 90$;
$\text{C.}$ $90 \leq S < 100$;
$\text{D.}$ $100 \leq S < 150$;
三、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)=$
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=1, a_{n+1}=\sin a_n$, 则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的收敛域为
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n !+1}{(n+2) !}=$
设函数 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 附近由方程 $y+2 y^2+y^3=e^{-x}+x-1$ 所确定，且 $y=a x^2+b x^3+o\left(x^3\right)(x \rightarrow 0)$ ，则 $a+b=$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{2 n^2}+\cdots+\sqrt[3]{n \cdot n^2}\right)=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域为
四、解答题 （ 共 26 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $S(x)$ 为幂级数
$$
x+\frac{x^3}{1 \cdot 3}+\frac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) ! !}+\cdots
$$
的和函数.
(1)求 $S(x)$ 的定义域；
(2) 证明 $S(x)$ 满足微分方程初值问题
$$
S^{\prime}(x)-x S(x)=1, \quad S(0)=0 ；
$$
(3) 写出 $S(x)$ 的积分表达式.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_1=1, a_n=\frac{a_{n-1}}{n\left(a_{n-1}+1\right)}, n \geqslant 2$, 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} n ! a_n=\frac{1}{e}$.
计算极限: $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$.
设 $\left\{y_n\right\}$ 是趋于正无穷的严格递增数列, 求证:
$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n} \leq \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}
$$
设 $f(x)$ 连续, $g(x)=\frac{1}{n !} \int_0^x(x-t)^n f(t) \mathrm{d} t$, 计算 $g^{(n+1)}(x)$.
计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2023)}{2^{n+2023}}$.
证明级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{3 n-2}$ 条件收敛并求其和.
设 $a_1=2, a_{n+1}=2+\frac{1}{a_n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足
$$
f(x)=\sin x+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t ，
$$
判定级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 敛散性.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\left(A+B x+C x^2\right)}{x^3}=D$ ，求常数 $A, B, C, D$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2^n}+(-2)^n\right](x+1)^n$ 的收敛域。
将 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。
证明 $\sum_{k=0}^n(-1)^k C_n^k \frac{1}{1+k+m}=\sum_{k=0}^m(-1)^k C_m^k \frac{1}{1+k+n}$
无穷乘积 $\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+a_n\right)$ 收玫, 是否无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。如果是证明你的结论, 如果不是举出反例。
对 $p>0$, 讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \frac{n \pi}{4}}{n^p+\sin \frac{n \pi}{4}}$ 的绝对收敛性和收敛性。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln ^2 n}{2^n}(x-2)^{2 n}$ 的收敛半径与收敛区间。
求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-1} x^n$ 的和函数。
证明下列问题
(1). $\forall x>0, y \in R$, 则有 $x y < x \ln x-x+\mathrm{e}^y$;
(2). $\sum_{k=0}^n C_\alpha^k C_\beta^{n-k}=C_{\alpha+\beta}^n$, 其中
$$
C_\alpha^k=\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)}{k !}, C_\alpha^0=1
$$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导, 若
$
f(x)=f(x+2 k)=f(x+b)
$
其中 $k$ 为正整数, $b$ 为正无理数, 则利用傅立叶级数证明 $f(x)$ 为一常数.
设函数 $f(x)=\int_0^x \frac{\ln (1+t)}{1+e^{-t} \sin ^3 t} \mathrm{~d} t,(x>0)$, 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收敛, 且 $\frac{1}{3} < \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{5}{6}$.
设 $0 < a_1 < 1, a_{n+1}=\ln \left(2-a_n\right)+a_n$, 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+n+1}{2 n+1} x^{2 n}$ 的和函数.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_0=\frac{1}{3}$, $x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}, n \geqslant 0$. 证明: 无穷级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x_n$ 收敛并求其和.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数.
给出函数 $f(x)=2[x]-[2 x]$ 的最小正周期并给予证明.
设 $\alpha>0$, 若 $n x_n=1+o\left(n^{-\alpha}\right)$, 则数列 $x_1+x_2+\cdots+x_n-\ln n$ 收敛.