yan14-数学组卷-自助组卷

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yan14

数学

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = 1 - \frac{x}{π} (0 \leq x \leq π)

以

2 π

为周期的余弦函数的和函数为

S (x)

，则

S (- \frac{π}{2})

和

S (3 π)

的值分别为

A.

\frac{1}{2}, - 2

B.

\frac{3}{2}, - 2

C.

\frac{1}{2}, 0

D.

\frac{3}{2}, 0

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2. 设

p ⩾ 0

, 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \frac{x^{p}}{1 + x^{q}} d x

发散, 则

A.

p > 0, q ⩾ 0

B.

p > 0, q < 0

C.

p = 0, q ⩾ 0

D.

p = 0, q < 0

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3. 设

a \neq b

, 函数

f (x) = {\begin{cases} a, & 0 < x < π, \\ b, & - π < x < 0, \end{cases}

且其傅里叶级数展开式为

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x +

b_{n} \sin n x)

, 则

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

收敛.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

发散.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}^{2}

收敛.

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4. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (e^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - 1) \ln (1 + \frac{1}{n^{α}})

绝对收敛, 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n^{1 - σ}}

条件收敛, 则

A.

α > \frac{5}{2}

B.

2 < α < 3

C.

\frac{1}{2} < α < 1

D.

α < 3

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5. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛,则下列结论正确的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

收敛

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

收敛

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1}

收敛

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2})

收敛

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6. 下列命题正确的是

A.

若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

与级数

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

都收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

一定收敛

B.

若

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

一定收敛

C.

若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (a_{n} \neq 0)

发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}

收敛

D.

若正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

收敛

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二、多选题（共 2 题），每题有多个选项正确

7. 设两个凸八面体

O_{1}, O_{2}

的每个面都是三角形, 且

O_{1}

在

O_{2}

的内部. 记

O_{1} (O_{2})

的棱长之和为

ℓ_{1} (ℓ_{2})

. 当我们计算

ℓ_{1} / ℓ_{2}

时, 可能得到以下哪个(些)值? (多选题)

A.

0.64

B.

C.

1.44

D.

1.96

E.

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8. 某个城市有 10 条东西向的公路和 10 条南北向的公路, 共交于 100 个路口. 小明从某个路口驾车出发, 经过每个路口恰一次, 最后回到出发点. 在经过每个路口时, 向右转不需要等待, 直行需要等待 1 分钟, 向左转需要等待 2 分钟. 设小明在路口等待总时间的最小可能值是

S

分钟, 则

A.

S < 50

;

B.

50 \leq S < 90

;

C.

90 \leq S < 100

;

D.

100 \leq S < 150

;

E.

S \geq 150

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三、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} (\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n}}) =

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10. 设数列

{a_{n}}

满足

a_{0} = 1, a_{n + 1} = \sin a_{n}

, 则幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + \frac{1}{n}) x^{n}

的收敛域为

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11.

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{n! + 1}{(n + 2)!} =

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12. 设函数

y = y (x)

在

x = 0

附近由方程

y + 2 y^{2} + y^{3} = e^{- x} + x - 1

所确定，且

y = a x^{2} + b x^{3} + o (x^{3}) (x \to 0)

，则

a + b =

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13. 求极限

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} (\sqrt[3]{n^{2}} + \sqrt[3]{2 n^{2}} + \dots + \sqrt[3]{n \cdot n^{2}}) =

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14. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} x^{2 n}}{n (2 n - 1)}

的收敛域为

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四、解答题（共 26 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设

S (x)

为幂级数

x + \frac{x^{3}}{1 \cdot 3} + \frac{x^{5}}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \dots + \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!!} + \dots

的和函数.
(1)求

S (x)

的定义域；
(2) 证明

S (x)

满足微分方程初值问题

S^{'} (x) - x S (x) = 1, S (0) = 0 ；

(3) 写出

S (x)

的积分表达式.

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16. 设数列

{a_{n}}

满足:

a_{1} = 1, a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{n (a_{n - 1} + 1)}, n ⩾ 2

, 证明

lim_{n \to \infty} n! a_{n} = \frac{1}{e}

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17. 计算极限:

lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n + \sqrt{1}} + \frac{1}{n + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{n + \sqrt{n}})

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18. 设

{y_{n}}

是趋于正无穷的严格递增数列, 求证:

\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{x_{n}}{y_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}

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19. 设

f (x)

连续,

g (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} (x - t)^{n} f (t) d t

, 计算

g^{(n + 1)} (x)

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20. 计算

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (n + 2023)}{2^{n + 2023}}

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21. 证明级数

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{3 n - 2}

条件收敛并求其和.

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22. 设

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 + \frac{1}{a_{n}}

，求

lim_{n \to \infty} a_{n}

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23. 已知函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续，且满足

f (x) = \sin x + \int_{0}^{x} t f (x - t) d t ，

判定级数

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} f (\frac{1}{n})

敛散性.

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24. 设

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (A + B x + C x^{2})}{x^{3}} = D

，求常数

A, B, C, D

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25. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{1}{2^{n}} + (- 2)^{n}] (x + 1)^{n}

的收敛域。

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26. 将

f (x) = 1 - x^{2} (0 \leq x \leq π)

展开成余弦级数，并求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2}}

的和。

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27. 证明

\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} C_{n}^{k} \frac{1}{1 + k + m} = \sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{k} C_{m}^{k} \frac{1}{1 + k + n}

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28. 无穷乘积

\prod_{n = 1}^{\infty} (1 + a_{n})

收玫, 是否无穷级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛。如果是证明你的结论, 如果不是举出反例。

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29. 对

p > 0

, 讨论级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin \frac{n π}{4}}{n^{p} + \sin \frac{n π}{4}}

的绝对收敛性和收敛性。

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30. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\ln^{2} n}{2^{n}} (x - 2)^{2 n}

的收敛半径与收敛区间。

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31. 求幂级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - 1} x^{n}

的和函数。

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32. 证明下列问题
(1).

\forall x > 0, y \in R

, 则有

x y < x \ln x - x + e^{y}

;
(2).

\sum_{k = 0}^{n} C_{α}^{k} C_{β}^{n - k} = C_{α + β}^{n}

, 其中

C_{α}^{k} = \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!}, C_{α}^{0} = 1

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33. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上可导, 若

f (x) = f (x + 2 k) = f (x + b)

其中

k

为正整数,

b

为正无理数, 则利用傅立叶级数证明

f (x)

为一常数.

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34. 设函数

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{\ln (1 + t)}{1 + e^{- t} \sin^{3} t} d t, (x > 0)

, 证明级数

\sum_{n = 1}^{\infty} f (\frac{1}{n})

收敛, 且

\frac{1}{3} < \sum_{n = 1}^{\infty} f (\frac{1}{n}) < \frac{5}{6}

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35. 设

0 < a_{1} < 1, a_{n + 1} = \ln (2 - a_{n}) + a_{n}

, 证明: 数列

{a_{n}}

收敛, 并求

lim_{n \to \infty} a_{n}

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36. 求级数

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 n^{2} + n + 1}{2 n + 1} x^{2 n}

的和函数.

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37. 设数列

{x_{n}}

满足

x_{0} = \frac{1}{3}

x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{2}}{1 - x_{n} + x_{n}^{2}}, n ⩾ 0

. 证明: 无穷级数

\sum_{n = 0}^{\infty} x_{n}

收敛并求其和.

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38. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} x^{2 n}}{n (2 n - 1)}

的收敛域及和函数.

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39. 给出函数

f (x) = 2 [x] - [2 x]

的最小正周期并给予证明.

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40. 设

α > 0

, 若

n x_{n} = 1 + o (n^{- α})

, 则数列

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} - \ln n

收敛.

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