一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
$I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\sin \theta}} f(r) r \mathrm{~d} r=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} y$.
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^x f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} y$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} r \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} f(r) r \mathrm{~d} \theta+\int_1^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} r \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}} f(r) r \mathrm{~d} \theta$.
$\text{D.}$ $\int_0^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} r \int_{\arcsin \frac{1}{r}}^{\frac{\pi}{4}} f(r) \mathrm{d} \theta$.
$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x^2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的一个特解可设为 ( ), 其中 $A, B, C$ 为常数.
$\text{A.}$ $(A x+B) x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{B.}$ $(A x+B) x \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{C.}$ $\left(A x^2+B x+C\right) \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $\left(A x^2+B x+C\right) x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ 的解, 在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 4 , 且 $y^{\prime \prime}(0)=$ 0 , 则 $y(x)=$
$\text{A.}$ $\left(3-2 x^2\right) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{B.}$ $3 \mathrm{e}^x+x \mathrm{e}^{-x}$.
$\text{C.}$ $(3-2 x) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^x+(3-2 x) \mathrm{e}^{-x}$.
函数 $y=\frac{x^3}{6}+C x$ ( $C$ 为任意常数) 是微分方程 $\frac{d^2 y}{d x^2}=x$ 的
$\text{A.}$ 通解
$\text{B.}$ 特解
$\text{C.}$ 不是解
$\text{D.}$ 是解，但既非通解，又非特解
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-a y^{\prime}+b y=0$ 的解, 其中常数 $a < 0, b>0$, 且某点 $x=x_0$ 处的函数值 $y\left(x_0\right)$ 及导数值 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 已知, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x) $.
$\text{A.}$ 与参数 $a, b$ 无关, 与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也无关
$\text{B.}$ 与参数 $a, b$ 有关, 与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也有关
$\text{C.}$ 与参数 $a, b$ 无关,与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 有关
$\text{D.}$ 与参数 $a, b$ 有关, 与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 无关
设 $a, b, A, B$ 均为常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=x+\cos 2 x$ 的特解可设为
$\text{A.}$ $a x+b+A x \cos 2 x$.
$\text{B.}$ $a x+b+x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$.
$\text{C.}$ $a x+b+A \sin 2 x$.
$\text{D.}$ $x(a x+b+A \cos 2 x+B \sin 2 x)$.
已知方程 $\left(x^2+a x y+y^3\right) \mathrm{d} x+\left(x^2+b x y^2+2 y\right) \mathrm{d} y=0$为全微分方程，则常数 $a, b$ 的取值为
$\text{A.}$ $a=2, b=3$
$\text{B.}$ $a=3, b=2$
$\text{C.}$ $a=-2, b=3$
$\text{D.}$ $a=2, b=-3$
二、填空题 （共 17 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $a_n=\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$, 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{a_n}}-\frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}\right)$ 的和
在宽为 $2 R$ 的河面上, 任意一点处的流速与该点到两岸距离之积成正比. 已知河道中心线处水 的流速为 $v_0$, 则河面上距河道中心线 $r$ 处河水的流速 $v(r)$ 在区间 $[-R, R]$ 上的平均值 $\bar{v}=$
方程 $3 x y y^{\prime}(x)+x^2+y^2=0$ 的通解为
已知方程 $y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_2(x) y=f(x)$ 有三个解: $y_1=1, y_2=x^2+1$ 和 $y_3=\mathrm{e}^{2 x}+1$, 则此方程右端的函数项 $f(x)=$
微分方程 $x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0$, 满足 $y_{\mid x=2}=1$ 的特解是 ________ .
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=2 y^2 \ln x$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 的特解为 $y=$
微分方程 $\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d y}{d x}-6 y=0$ 的通解是
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 的通解为
已知微分方程 $y^{\prime}+y=\sin x$ 的解均为方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+y=f(x)$ 的解, 其中 $a$ 为常数, 则方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+y=f(x)$ 满足 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ 的特解为
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $z \int_0^{x^2+y^2} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t+z^2=1$ 确定, 则 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=$
方程 $x y^{\prime \prime}-y^{\prime}-x^2 \mathrm{e}^x=0$ 的通解为
差分方程 $2 y_{t+1}-6 y_t=5 \cdot 3^t$ 满足 $y_0=0$ 的特解为
微分方程 $\left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{y}}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{\frac{1}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的解为
求解如下微分方程通解.
$x\left(y^{\prime}\right)^2+\left(y-2 x^2\right) y^{\prime}-2 x y=0$.
求解如下微分方程通解.
$y^{\prime \prime}+y=\sec x$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 的通解为
解方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x^2$ 。
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
有一内表面为旋转抛物面的水缸, 其深为 $a$ (单位: 米), 缸口直径为 $2 a$, 缸内盛满了水, 设水的 密度为 $\rho$ (单位: 千克 / 立方米). 若以每秒 $Q$ 立方米的速率将缸中的水全部抽出, 问:
（1）共需多少时间?
(2) 需做多少功?
设 $f(x)$ 连续且不恒为零, 若 $f(x)$ 满足
$$
f(x)=\int_0^1 \mathrm{e}^{-x} f^2(t) \mathrm{d} t-\int_0^x f(t) \mathrm{d} t,
$$
求 $f(x)$ 及 $f(x)$ 的极值.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 \dot{y}=\mathrm{x}^x+\sin ^2 x$ 的通解.
已知 $y_1=3, y_2=3+x^2, y_3=3+\mathrm{e}^x$ 是二阶线性非齐次方程的解, 求它的通解和该方程.
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 其中 $f$ 为连续函数, 求 $f(x)$.
设函数 $y(x)$ 可导,且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=2$. 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积等于该区间上曲线弧长的 2 倍.
(I) 证明 $y^{\prime \prime}(x)-\frac{1}{4} y(x)=0$;
(II) 求 $y(x)$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0\end{array}, \lambda>0\right.$, 求 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$.
求微分方程 $x y^{\prime}+y-\mathrm{e}^x=0, y(2)=1$ 的特解.
求微分方程 $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{6 x-y^2}$ 的通解.
求微分方程 $y y^{\prime \prime}=2\left(y^{\prime 2}-y^{\prime}\right)$ 满足 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$ 的特解.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 满足 $f(x)+f(\pi-x)=f^{\prime}(x)+f^{\prime}(\pi-x), 2 f^{\prime}(x)+3 f(x)=$ $5 f(\pi-x)$. 若 $f(0)=1$, 求 $f(x)$.
设 $y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n)!},-\infty < x < +\infty$.
(1) 验证 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-y=-\cos x$ ；
(2) 试求 $y(x)$ 的表达式.
求微分方程 $y^{\prime \prime \prime}=\mathrm{e}^{2 x}-\cos x$ 的通解.
求微分方程 $\left(1+x^2\right) y^{\prime \prime}=2 x y^{\prime}$ 满足初值条件 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ 的特解
求微分方程 $y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=0$ 的通解.