研9-数学组卷-自助组卷

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研9

数学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

lim_{n \to \infty} \frac{π}{2 n^{4}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} i^{2} \sin \frac{π j}{2 n} =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{5}

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I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} f (r) r d r =

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{1}^{x} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d y

C.

\int_{0}^{1} d r \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} f (r) r d θ + \int_{1}^{\sqrt{2}} d r \int_{\frac{π}{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}} f (r) r d θ

D.

\int_{0}^{\sqrt{2}} d r \int_{\arcsin \frac{1}{r}}^{\frac{π}{4}} f (r) d θ

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y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = x^{2} e^{2 x}

的一个特解可设为 ( ), 其中

A, B, C

为常数.

A.

(A x + B) x^{2} e^{2 x}

B.

(A x + B) x e^{2 x}

C.

(A x^{2} + B x + C) e^{2 x}

D.

(A x^{2} + B x + C) x^{2} e^{2 x}

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4. 设函数

y = y (x)

是微分方程

y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = 0

的解, 在

x = 0

处

y (x)

取得极值 4 , 且

y^{''} (0) =

0 , 则

y (x) =

A.

(3 - 2 x^{2}) e^{x} + e^{- x}

B.

3 e^{x} + x e^{- x}

C.

(3 - 2 x) e^{x} + e^{- x}

D.

e^{x} + (3 - 2 x) e^{- x}

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5. 函数

y = \frac{x^{3}}{6} + C x

(

C

为任意常数) 是微分方程

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x

的

A.

通解

B.

特解

C.

不是解

D.

是解，但既非通解，又非特解

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6. 设

y = y (x)

是微分方程

y^{''} - a y^{'} + b y = 0

的解, 其中常数

a < 0, b > 0

, 且某点

x = x_{0}

处的函数值

y (x_{0})

及导数值

y^{'} (x_{0})

已知, 则

lim_{x \to + \infty} y (x)

A.

与参数

a, b

无关, 与

y (x_{0})

及

y^{'} (x_{0})

也无关

B.

与参数

a, b

有关, 与

y (x_{0})

及

y^{'} (x_{0})

也有关

C.

与参数

a, b

无关,与

y (x_{0})

及

y^{'} (x_{0})

有关

D.

与参数

a, b

有关, 与

y (x_{0})

及

y^{'} (x_{0})

无关

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7. 设

a, b, A, B

均为常数, 则微分方程

y^{''} + 4 y = x + \cos 2 x

的特解可设为

A.

a x + b + A x \cos 2 x

B.

a x + b + x (A \cos 2 x + B \sin 2 x)

C.

a x + b + A \sin 2 x

D.

x (a x + b + A \cos 2 x + B \sin 2 x)

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8. 已知方程

(x^{2} + a x y + y^{3}) d x + (x^{2} + b x y^{2} + 2 y) d y = 0

为全微分方程，则常数

a, b

的取值为

A.

a = 2, b = 3

B.

a = 3, b = 2

C.

a = - 2, b = 3

D.

a = 2, b = - 3

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二、填空题（共 17 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

a_{n} = \int_{0}^{n π} x | \sin x | d x

, 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{\sqrt{a_{n}}} - \frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}}})

的和

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10. 在宽为

2 R

的河面上, 任意一点处的流速与该点到两岸距离之积成正比. 已知河道中心线处水的流速为

v_{0}

, 则河面上距河道中心线

r

处河水的流速

v (r)

在区间

[- R, R]

上的平均值

\bar{v} =

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11. 方程

3 x y y^{'} (x) + x^{2} + y^{2} = 0

的通解为

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12. 已知方程

y^{''} + a_{1} (x) y^{'} + a_{2} (x) y = f (x)

有三个解:

y_{1} = 1, y_{2} = x^{2} + 1

和

y_{3} = e^{2 x} + 1

, 则此方程右端的函数项

f (x) =

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13. 微分方程

x d y + 2 y d x = 0

, 满足

y_{∣ x = 2} = 1

的特解是 ________ .

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14. 微分方程

\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 2 y^{2} \ln x

满足初始条件

{y |}_{x = e} = \frac{1}{e}

的特解为

y =

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15. 微分方程

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} - 6 y = 0

的通解是

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16. 微分方程

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = e^{- 2 x}

的通解为

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17. 已知微分方程

y^{'} + y = \sin x

的解均为方程

y^{''} + a y^{'} + y = f (x)

的解, 其中

a

为常数, 则方程

y^{''} + a y^{'} + y = f (x)

满足

y (0) = 0, y^{'} (0) = 1

的特解为

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18. 设

z = z (x, y)

由方程

z \int_{0}^{x^{2} + y^{2}} e^{t^{2}} d t + z^{2} = 1

确定, 则

y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} =

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19. 方程

x y^{''} - y^{'} - x^{2} e^{x} = 0

的通解为

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20. 差分方程

2 y_{t + 1} - 6 y_{t} = 5 \cdot 3^{t}

满足

y_{0} = 0

的特解为

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21. 微分方程

(1 + e^{\frac{1}{y}}) d x + e^{\frac{1}{y}} (1 - \frac{x}{y}) d y = 0

满足条件

y (0) = 1

的解为

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22. 求解如下微分方程通解.

x {(y^{'})}^{2} + (y - 2 x^{2}) y^{'} - 2 x y = 0

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23. 求解如下微分方程通解.

y^{''} + y = \sec x

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24. 微分方程

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = e^{- 2 x}

的通解为

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25. 解方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = x^{2}

。

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三、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

26. 有一内表面为旋转抛物面的水缸, 其深为

a

(单位: 米), 缸口直径为

2 a

, 缸内盛满了水, 设水的密度为

ρ

(单位: 千克 / 立方米). 若以每秒

Q

立方米的速率将缸中的水全部抽出, 问:
（1）共需多少时间?
(2) 需做多少功?

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27. 设

f (x)

连续且不恒为零, 若

f (x)

满足

f (x) = \int_{0}^{1} e^{- x} f^{2} (t) d t - \int_{0}^{x} f (t) d t,

求

f (x)

及

f (x)

的极值.

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28. 求微分方程

y^{''} + y^{'} - 2 \dot{y} = x^{x} + \sin^{2} x

的通解.

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29. 已知

y_{1} = 3, y_{2} = 3 + x^{2}, y_{3} = 3 + e^{x}

是二阶线性非齐次方程的解, 求它的通解和该方程.

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30. 设

f (x) = \sin x - \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

, 其中

f

为连续函数, 求

f (x)

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31. 设函数

y (x)

可导,且

y^{'} (x) > 0, y (0) = 2

. 若在区间

[0, x]

上以

y = y (x)

为曲边的曲边梯形面积等于该区间上曲线弧长的 2 倍.
(I) 证明

y^{''} (x) - \frac{1}{4} y (x) = 0

;
(II) 求

y (x)

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32. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} λ e^{- λ x}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0 \end{array}, λ > 0

, 求

\int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

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33. 求微分方程

x y^{'} + y - e^{x} = 0, y (2) = 1

的特解.

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34. 求微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{6 x - y^{2}}

的通解.

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35. 求微分方程

y y^{''} = 2 (y^{' 2} - y^{'})

满足

y (0) = 1, y^{'} (0) = 2

的特解.

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36. 设函数

f (x)

二阶可导, 满足

f (x) + f (π - x) = f^{'} (x) + f^{'} (π - x), 2 f^{'} (x) + 3 f (x) =

5 f (π - x)

. 若

f (0) = 1

, 求

f (x)

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37. 设

y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n)!}, - \infty < x < + \infty

.
(1) 验证

y = y (x)

满足微分方程

y^{''} - y = - \cos x

；
(2) 试求

y (x)

的表达式.

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38. 求微分方程

y^{'''} = e^{2 x} - \cos x

的通解.

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39. 求微分方程

(1 + x^{2}) y^{''} = 2 x y^{'}

满足初值条件

{y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 3

的特解

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40. 求微分方程

y y^{''} - y^{' 2} = 0

的通解.

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