一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $I_1=\iint_D(x+y) \operatorname{sgn}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D(x-y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{l}1, x>0, \\ 0, x=0, \\ -1, x < 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1=I_2$
$\text{D.}$ $I_1=-I_2$
设有向曲线 $L$ 上任一点 $(x, y)$ 处的切向量为 $(1,2 x)$, 则将 曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 化为第一类曲线积分的结果为
$\text{A.}$ $\int_L(P+2 x Q) \mathrm{d} s$;
$\text{B.}$ $\int_L(2 x P+Q) \mathrm{d} s$;
$\text{C.}$ $\int_L \frac{P+2 x Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$;
$\text{D.}$ $\int_L \frac{2 x P+Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$.
若曲线积分 $\int_L x^2 y^2 \mathrm{~d} x+a x^3 y \mathrm{~d} y$ 的结果与路径无关, 则 $a=$.
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 2
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=2-\left(x^2+y^2\right)$ 在 $x o y$ 平面上方的部分, 则 $I=\iint_{\Sigma} z d S=\begin{array}{ll}\quad \end{array}$
$\text{A.}$ $\int_1^{2 \pi} d \theta \int_0^{2-r^2}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{B.}$ $\int_0^2 d \theta \int_1^2\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_{-1}^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
如图, 正方形 $\{(x, y)|| x|\leq 1| y \mid, \leq 1\}$ 被其对角线划分为四个 区域 $D_k(k=1,2,3,4), I_k=\iint_{D_k} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 则 $\max _{1 \leq k \leq 4}\left\{I_k\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$.
$\text{B.}$ $I_2$.
$\text{C.}$ $I_3$.
$\text{D.}$ $I_4$.
设区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x, x= \pm \frac{\pi}{2}, y=1$ 围成, 则 $\iint_D\left(x y^5-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $\pi$.
$\text{B.}$ $2$.
$\text{C.}$ $-2$.
$\text{D.}$ $-\pi$.
设函数 $f(u)$ 连续, 区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$, 则 $\iint_D f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $2 \int_0^2 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x y) \mathrm{d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$.
$\text{D.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$.
$D$ 是闭区域 $\left\{(x, y) \mid a^2 \leq x^2+y^2 \leq b^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d \sigma=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
设 $f(t)=\iint_{\Sigma_t}(x+t)^2 d y d z+(y+t)^2 d z d x+(z+t)^2 d x d y$, 其中积分曲面 $\Sigma_t: x^2+y^2+z^2=t^2, t>0$, 取外侧, 则 $f^{\prime}(t)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $8 \pi t^3$.
$\text{C.}$ $16 \pi t^3$.
$\text{D.}$ $32 \pi t^3$.
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $L$ 是直线 $y=x$ 上点 $O(0,0)$ 到点 $A(1,1)$ 的一段弧, 则 $\int_L(x+y) \mathrm{d} s=$
$\int_L \mathrm{e}^x(1-2 \cos y) \mathrm{d} x+2 \mathrm{e}^x \sin y \mathrm{~d} y=$
(其中 $L$ 是 $y=\sin x$ 上从点 $A(\pi, 0)$ 到点 $O(0,0)$ 的一段弧 $)$.
曲线 $ \left\{\begin{array}{c}
y=4 \\
z=\frac{x^2+y^2}{4}
\end{array}\right.
$ 在点 $(2,4,5)$处的切线方程是
设闭区域 $D$ 由光滑曲线 $L$ 围成, $D$ 的面积等于 $2, L$ 是 $D$ 的取正向的 边界曲线, 则 $\oint_L 2 y \mathrm{~d} x-3 x \mathrm{~d} y=$
曲线 $x y=1$ 在点 $(-1,-1)$ 处的曲率圆方程为
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
经过 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且平行于 $x$ 轴的平面方程为
设 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外侧， $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是其外法向量的方向余弦，则
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} S=
$$
设函数 $f(x, y)$ 可微, $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处指向点 $P_1(-7,16)$ 的方向导数等于 $\frac{13}{17}$,指向点 $P_2(6,-11)$ 的方向导数等于 $-\frac{16}{13}$, 则 $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处的最大方向导数为
设函数 $f(u)$ 在曲面 $\Sigma: z=\sqrt{1-x^2-y^2}(z \geq 0)$ 上连续, 则曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left[x y \sqrt{x^4+y^4+1}+\right.$ $\left.z f\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\right] \mathrm{d} S=$
设 $a, b, c, \mu>0$ ，曲面 $x y z=\mu$ 与曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 相切，则 $\boldsymbol{\mu}=$
设 $z=x^y+y^x$, 则函数在 $(1,1)$ 处的全微分为
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算第二型曲面积分
$$
I=\iint_S \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^4 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^2+y^2+z^2} .
$$
其中 $S$ 是圆柱面 $x^2+y^2=1$ 和平面 $z=-1, z=1$ 所围成的立 体的表面外侧.
设空间曲线 $\Gamma$ 为圆周 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ y+z=0,\end{array}\right.$ 上从点 $(-1,0,0)$ 经过点 $(0$, $\left.-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 到点 $(1,0,0)$ 的有向曲线段. (1) 若 $P=P(x, y, z), Q=Q(x, y, z), R=R(x$, $y, z$ ) 为 $\Gamma$ 上的连续函数, 将 $\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 转化为对弧长的曲线积分; (2) 利用 (1) 中 的结论, 计算 $I=\int_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+(x+\cos x) \mathrm{d} y+\mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d} z$.
设函数 $f(u)$ 在 $\left(0,+\infty\right.$ ) 内可导, $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+y$ 满足关系式 $x \frac{\partial z}{\partial x}-$ $y \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$, 且 $f(1)=1$, 求曲线 $y=f(x)$ 的渐近线.
计算 $\int_L x y^2 \mathrm{~d} y-x^2 y \mathrm{~d} x$, 其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=a^2(a>0)$, 逆时针方向.
计算曲线积分 $\prod_L\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s$, 其中
$$
L:\left\{\begin{array}{c}
x^2+y^2+z^2=\frac{9}{2}, \\
x+z=1 .
\end{array}\right.
$$
求曲线积分: $\int_L\left[\left(x^2+y^2\right)^2+y^2\right] \mathrm{d} s$ ，其中
$$
L: x^2+y^2=x
$$
求曲面积分: $\iint_S x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x^2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y^2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 由 $z=x^2+y^2$ ，柱面 $x^2+y^2=1$ 以及三个坐标面在第一卦 限所围曲面外侧.
计算积分 $I=\iiint_{x^2+y^2 \leq x+y}(x+y) d x d y$ 。 解: 极坐标: 令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$, 则
已知曲线积分 $\int_L\left[2 \mathrm{e}^x-f(x)\right] y^2 \mathrm{~d} x+2 y f(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有连续的导数, 且 $f(0)=1$, 求 $f(x)$.
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点, 当 $0 \leq x \leq 1$ 时, $y \geq 0$, 又该抛物线与直线 $x=1$ 及 $x$ 轴 围成平面图形的面积为 $\frac{1}{3}$, 求 $a, b, c$ 使该图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积 $\mathrm{V}$ 最小
求曲线积分 $\int_L(x+y) d x+(x-y) d y$, 其中 $L$ 沿 $x^2+y^2=a^2(x \geq 0, y \geq 0)$, 逆时针方向。
计算 $\iint_D y^5 \sqrt{1+x^2-y^6} d x d y$, 其中 $D$ 是由 $y=\sqrt[3]{x}, x=-1$ 及 $y=1$ 所围成的区域。
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有连续导数, 且 $f(0)=1, g(0)=0, L$ 为平面上任意简 单光滑闭曲线, 取逆时针方向, $L$ 围成的平面区域为 $D$, 已知
$$
\oint_L x y d x+[y f(x)+g(x)] d y=\iint_D y g(x) d \sigma,
$$
求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。
设 $f(x)$ 一阶连续可导，
$$
R(x, y, z)=\int_0^{x^2+y^2} f(z-t) \mathrm{d} t
$$
曲面 $\Sigma$ 为抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $y+z=1$ 所截的下面部分 的内侧， $L$ 为 $\Sigma$ 的正向边界，求
$$
\begin{aligned}
& I=\oint_L 2 x z f\left(z-x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \\
&+\left[x^3+2 y z f\left(z-x^2-y^2\right)\right] \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z .
\end{aligned}
$$
设空间曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}z=x^2+2 y^2, \\ z=6-2 x^2-y^2,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往负向看为逆时针方向, 计算曲线积分
$$
I=\oint_L\left(z^2-y\right) \mathrm{d} x+\left(x^2-z\right) \mathrm{d} y+\left(x-y^2\right) \mathrm{d} z
$$
多元设平面区域为 $D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$, 若表达式为
$$
x y\left[\iint_D f(x, y) d x d y\right]^2=f(x, y)-1
$$
且 $I(t)=\int_t^1 f(x, t) d x$, 试求 $\int_0^1 I(t) \mathrm{d} t$.
求曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 在 $x \in[1,2]$ 上的弧长.
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} \frac{x y z}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\Omega$ 是由曲面 $\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=2 x y$ 围成的区域在第一卦 限部分.
已知曲线型构件 $L:\left\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2, \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ 的线密度为 $\rho=\left|x^2+x-y^2-y\right|$, 求 $L$ 的质量.