研2-数学组卷-自助组卷

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研2

数学

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 设

D_{k}

是区域

D = {(x, y) | | x | + | y ∣⩽ e}

在第

k

象限的部分, 记

I_{k} = \iint_{D_{k}} \ln \frac{3 + y}{3 + x} d x d y

,则

max_{1 ⩽ k ⩽ 4} {I_{k}} =

A.

I_{1}

.

B.

I_{2}

.

C.

I_{3}

.

D.

I_{4}

.

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2. 设

M = \iint_{| x | + | y | ⩽ 1} (x + y)^{3} d σ, N = \iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 1} \cos x^{2} \sin y^{2} d σ, P = \iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 1} (e^{- x^{2} - y^{2}} - 1) d σ

, 则必有

A.

M > N > P

.

B.

N > M > P

.

C.

M > P > N

.

D.

N > P > M

.

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3. 设

L_{1}, L_{2}, L_{3}

依次表示三条曲线

y = e^{x} - 1, y = x, y = \ln (1 + x)

介于区间

[0, 1]

上的曲弧段,

I_{i} = \int_{L_{i}} y^{2} d s

, 则三者的大小关系为

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

C.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

D.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

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4. 曲面

x^{2} - 4 y^{2} + 2 z^{2} = 6

上点

(2, 2, 3)

处的法线方程为

A.

\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 2}{- 4} = \frac{z - 3}{3}

B.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{- 4} = \frac{z - 3}{3}

C.

\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{3}

D.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{3}

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5. 设

D

是矩形域:

0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{4}, - 1 ⩽ y ⩽ 1

,则

\iint_{D} x \cos (2 x y) d σ =

.

A.

0

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{4}

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6. 设

L

是以

A (- 1, 0), B (- 3, 2)

及

C (3, 0)

为顶点的三角形域的围界沿

A B C A

方向, 则

\oint_{L} (3 x - y) d x + (x - 2 y) d y =

.

A.

-8

B.

0

C.

8

D.

20

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7. 设点

O, A, B

的坐标分别为

(0, 0), (1, 0), (0, 1)

, 点

C

为区域

D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, y > 0}

内一点, 则下列区域中, 四边形

A O B C

的形心不可能在其中出现的是

A.

{(x, y) | 0 < x < \frac{1}{3}, 0 < y < 1}

.

B.

{(x, y) | 0 < x < \frac{1}{3}, 1 < y < 2}

.

C.

{(x, y) | \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}, 0 < y < 1}

.

D.

{(x, y) | \frac{2}{3} < x < 1, 0 < y < 1}

.

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 设曲面

Σ

是平面

y + z = 5

被柱面

x^{2} + y^{2} = 25

所截得的部分, 则

\iint_{Σ} (x + y + z) dS =

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9. 已知平面区域

D = {(x, y) ∣ y - 2 \leq x \leq \sqrt{4 - y^{2}}, 0 \leq y \leq 2}

, 计算

I = \iint_{D} \frac{(x - y)^{2}}{x^{2} + y^{2}} d x d y

.

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10. 已知

Σ

为曲面

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)

的上侧,

L

是

Σ

的边界曲线, 其正向与与

Σ

的正法向量满足右手法则, 计算积分曲线

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11. 设

r = (x, y, z), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

, 函数

f (x)

可微, 曲线

L

是一条有限的、不经过坐标原点的单侧光滑曲面

S

的边界曲线,

L

的正向与曲面

S

的正向符合右手法则, 则

\oint_{L.} \frac{x}{r} f (r) d x + \frac{y}{r} f (r) d y + \frac{z}{r} f (r) d z =

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12. 设

y^{'} = f (x, y)

是一条简单封闭曲线

L

(取正向),

f (x, y) \neq 0

, 其所围区域记为

D, D

的面积为

a, a > 0

, 则

I = \oint_{L} x f (x, y) d x - \frac{y}{f (x, y)} d y =

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13. 由曲线

x y = 3, x + y = 4

围成的平面区域绕

x

轴旋转一周所成旋转体体积为

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14. 设曲线积分

\int_{L} f^{'} (x) d y - 4 y f (x) d x

与路径无关, 其中

f (x)

具有二阶连续导数, 并且

lim_{x \to 0} f (x) - 1

存在, 则

f (x) =

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15. 曲线

y = \ln \cos x (0 \leq x \leq \frac{π}{6})

的弧长为

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16. 已知

D : x^{2} + y^{2} ⩽ 1, y ⩾ 0

, 则

\iint_{D} (x^{3} \cos y + y) d x d y =

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17. 曲线

{\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{4} = 1 \\ y = 0 \end{cases}

绕

z

轴旋转而成的旋转曲面方程为

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三、解答题（共 23 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

18. 计算曲线积分

I = \oint_{L} [\frac{4 x - y}{4 x^{2} + y^{2}} - \frac{y}{(x - 1)^{2} + y^{2}}] d x + [\frac{x + y}{4 x^{2} + y^{2}} + \frac{x - 1}{(x - 1)^{2} + y^{2}}] d y

, 其中

L

是

x^{2} + y^{2} = 4

的边界曲线, 方向为逆时针.

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19. 设

a_{n} = \int_{0}^{+ \infty} e^{- n^{2} x^{2}} d x, n = 1, 2,

求

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} a_{n + 2} .

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20. 设

k > 0, y = k x^{2}

与

y = \sin x (0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{2})

在

x = t

处相交, 记

S_{1}

为

y = k x^{2}

与

y = \sin x

围成的面积;

S_{2}

为

y = \sin x, y = \sin t

与

x = \frac{π}{2}

围成的面积. 试证:

S (t) = S_{1} + S_{2}

在

(0, \frac{π}{2})

内必有最小值.

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21. 设抛物线

y = a x^{2} + b x + c

通过点

(0, 0)

和

(1, 2)

, 且

a < 0

, 试确定

a, b, c

的值使该拖物线与

x

轴所围图形

D

的面积最小,并求此图形

D

绕直线

x = 2

旋转一周所得旋转体的体积.

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22. 计算线积分

I = \int_{L} \frac{x d y - y d x}{4 x^{2} + y^{2}}

, 其中

L

为由点

A (- 1, 0)

经点

B (1, 0)

到点

C (- 1, 2)

的路径,

\overset{⏜}{A B}

为下半圆周,

\overset{―}{B C}

为直线.

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23. 求积分

∭_{2 x^{2} + y^{2} \leq z \leq x^{2} + 4 x + y} (x + y) d x d y d z

的值.

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24. 设曲面

Σ

由直线段

L : {\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2} (t - 1), \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} (t + 1), \\ z = t \end{cases}, (0 ⩽ t ⩽ 1)

绕

z

轴旋转一周得到, 空间区域

Ω

由

Σ

与平面

z = 0, z = 1

所围成, 求

Ω

的形心.

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25. 求三重积分

I = ∭_{Ω} z \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y d z

，其中

Ω

为

y = \sqrt{2 x - x^{2}}

及平面

z = 0, z = a, (a > 0)

和

y = 0

所围成的区域.

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26. 求曲线积分

I = \int_{C} x \ln (x^{2} + y^{2} - 1) d x + y \ln (x^{2} + y^{2} - 1) d y .

其中

C

是被积函数定义域内从

(2, 0)

到

(0, 2)

的逐段光滑曲线.

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27. 如图, 在

(0, \frac{π}{2})

内求一点

x

, 使得阴影部分面积最小, 并求出该最小值.

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28. 计算曲线积分:

I = \oint_{L} y^{2} d x + z^{2} d y + x^{2} d z

，其中

L

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

与柱面

x^{2} + y^{2} = a x

的交线，从

z

轴正向看过去为逆时针方向，其中

z \geq 0, a > 0

.

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29. 设在区间

[n π, (n + 1) π]

上由曲线

y = e^{- x} \sin x

与

x

轴所围成的平面图形的面积为

S_{n} (n = 0

,

1, 2, \dots)

, 求级数

I = \sum_{n = 0}^{\infty} n (n + 1) S_{n}

的值.

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30. 设曲线

\sqrt{x} + \sqrt{y} = a

过点

(1, 1)

.
(I) 求该曲线在点

(1, 1)

处的切线方程;
(II) 求该曲线的弧长

s

.

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31. 设

L

为

y O z

面上的一条曲线,其方程为

z = \sqrt{4 y - y^{2} - 3}

, 记

L

绕

y

轴旋转一周所得曲面为

Σ

.
(I) 求

Σ

的方程;
(II) 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} (x^{2} + \sin x z) d y d z + (2 y^{2} + 3 \cos x y) d z d x + 3 z (1 + x \sin x y) d x d y

.

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32. 设椭圆

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

在

A (1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})

点的切线交

y

轴于

B

点，设

L

为从

A

到

B

的直线段，试计算曲线积分:

I = \int_{L} (\frac{\sin y}{x + 1} - \sqrt{3} y) d x + [\cos y \cdot \ln (x + 1) + 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}] d y

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33. 过抛物线

y = x^{2}

上的一点

M_{0} (x_{0}, y_{0})

作切线,

(0 \leq x_{0} \leq 1)

, 问

M_{0}

取在何处时,该切线与直线

x = 1

和

x

轴所围成的三角形面积最大? 并求最大值.

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34. 设

F (x, y) = x y + \frac{1}{2} y^{2}

, 曲线

c

的方程为

3 {(\frac{\partial F}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial y})}^{2} = 4

, 点

P

为

c

上任一点, 以

P (x, y), O (0, 0), Q (x, 0)

三点为顶点的三角形面积记作

S

, 求面积的最大值.

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35. 设

φ (t)

具有连续导数,

φ (0) = 0

. 在全平面内曲线积分

I = \int_{L} (y - 2 x φ (x y)) e^{- x^{2} - y^{2}} d x + (x - 2 y φ (x y)) e^{- x^{2} - y^{2}} d y

与路径无关.
( I ) 求

φ (t)

;
(II) 设

L

为从

O (0, 0)

到

A (a, a)

的一条分段光滑曲线, 计算

I (a)

;
(III) 求

I (a)

的最值.

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36.

I = \oint_{L} x d y - 2 y d x

, 其中

L

为正向圆周

x^{2} + y^{2} = 2

在第一象限中的部分.

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37. 求椎面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

被柱面

z^{2} = 2 x

所割下部分的曲面面积.

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38. 设

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

的外侧, 求

I = \oint_{Σ} x^{3} d y d z + y^{3} d z d x + z^{3} d x d y

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39. 求曲面

{\begin{cases} 2 z = x^{2} + y^{2} \\ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{cases}

所围区域的体积.

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40. 求第二型曲线积分

\int_{L} \frac{x d y - y d x}{2 x^{2} + y^{2}}

, 其中

L

为圆周

x^{2} + y^{2} = 1

, 方向为逆时针.

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