研1-数学组卷-自助组卷

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研1

数学

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 椭圆抛物面

z = x^{2} + \frac{1}{4} y^{2} + 3

到平面

2 x - y + z = 0

最近的点是?

A.

(- 1, 2, 5)

B.

(1, 2, 5)

C.

(1, - 2, 5)

D.

(- 1, 2, - 5)

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2. 函数

z = x e^{2 y}

在点

P (1, 0)

处沿从

P (1, 0)

到

Q (2, - 1)

的方向导数是?

A.

\frac{\sqrt{2}}{5}

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

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3. 过点

(p, \sin p)

作曲线

y = \sin x

的切线, 该曲线 (对应于

0 ⩽ x ⩽ p

的部分) 与切线及

y

轨所闹成平面图形的面积为

S_{1}

, 与直线

x = p

及

x

轴所围成平面图形的面积为

S_{2}

, 则

lim_{p - 0} \frac{S_{2}}{S_{1} + S_{2}} =

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{2}{3}

D.

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4. 设

{\vec{T}}^{\circ} = (\cos α, \cos β)

是简单封闭曲线

L

上点

(x, y)

处指向逆时钟方向的单位切向量，则该点处指向曲线外侧的单位法向量

{\vec{n}}^{\circ} =

A.

(- \cos α, - \cos β)

B.

(\cos β, \cos α)

C.

(\cos β, - \cos α)

D.

(- \cos β, \cos α)

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5. 向量场

\vec{u} (x, y, z) = x y^{2} \vec{i} + y e^{z} \vec{j} + x \vec{k}

在点

P (1, 1, 0)

处的旋度为

A.

(1, 1, 2)

B.

(- 1, - 1, - 2)

C.

2

D.

- 2

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6. 已知向量场

F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y))

，如题图所示，

L

为圆周

x^{2} + y^{2} = 1

，且取逆时针方向，则曲线积分

\oint_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y > 0

所对应的向量场是

A.

B.

C.

D.

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7. 下列正向闭曲线中, 使曲线积分

\oint_{I} \frac{y d x - x d y}{x^{2} + x y + y^{2}} = 0

的曲线是

A.

L : x^{2} + y^{2} = 1

B.

L : x^{2} + x y + y^{2} = 1

C.

L : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1

D.

L : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1

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二、填空题（共 13 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 设曲线

Γ

的极坐标方程为

r = \sin 2 θ (0 \leq θ \leq \frac{π}{2})

, 则

Γ

围成有界区域的面积为

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9. 已知曲线

L : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1

, 则

\oint_{L} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}) d s =

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10. 曲线积分

\oint_{L} (x - y^{2}) d s =

? 其中

L

是圆周

x^{2} + y^{2} = 1

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11. 求曲线段

y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} (0 \leq x \leq 3)

的弧长

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12. 设曲线

L : x^{2} + y^{2} = 16

，取逆时针方向，则

\oint_{L} \frac{y d x - x d y}{x^{2} + x y + y^{2}} =

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13. 已知

f (x, y) = x y + x^{2} y \iint_{D} x y f (x, y) d x d y

, 其中

D : y = x, y = 0, x = 1

所围成区域, 则

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} =

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14. 设

L : y = \frac{x^{2}}{2} (0 \leq x \leq 1)

，则曲线积分

\int_{L} x d s

值为

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15. 设曲线

C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0

，则曲线积分

\int_{C} (x + y) d s =

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16. 在力场

\vec{F} = (- y, x)

的作用下，质点在以

(0, 0), (1, 0), (0, 1)

为顶点的三角形上沿顺时针方向运动一周，则在该过程中力场对质点所做的功是

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17. 曲线积分

\oint_{L} (x - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}) d x + (y + \frac{x}{x^{2} + y^{2}}) d y =

其中

L : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

为逆时针方向.

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18. 已知曲面

Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0)

，则

\oint_{Σ} (x + z)^{2} d S

的值为

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19. 计算

\int_{L} (x + y) d s

, 其中

L : x^{2} + y^{2} = 2 x

。

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20. 计算

∭_{Ω} (x + y + z) d x d y d z

, 其中

Ω : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} \leq 1

。

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三、解答题（共 20 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

21. 求曲面

x = r \cos φ, y = r \sin φ, z = r \cot α

在点

M_{0} (r_{0}, φ_{0})

处的切平面方程和法线，其中

α

为某常数.

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22. 计算曲面积分，

I = \iint_{Σ} (x + y + z) d S

，其中

Σ

为上半球面

z = \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} (a > 0)

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23. 计算第二类曲线积分，

I = \int_{L} e^{x} \sin y d x + e^{x} \cos y d y

，其中

L

从

O (0, 0)

沿摆线

x = a (t - \sin t), y = a (1 - \cos t)

到

A (π a, 2 a) (a > 0)

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24. 设函数

y (x)

可导, 且

y^{'} (x) > 0, y (0) = 2

. 若在区间

[0, x]

上以

y = y (x)

为曲边的曲边梯形面积等于该区间上曲线弧长的 2 倍.
(I) 证明

y^{''} (x) - \frac{1}{4} y (x) = 0

；
(II) 求

y (x)

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25. 设

F (x, y) = x y + \frac{1}{2} y^{2}

, 曲线

c

的方程为

3 {(\frac{\partial F}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial y})}^{2} = 4

, 点

P

为

c

上任一点, 以

P (x, y), O (0, 0), Q (x, 0)

三点为顶点的三角形面积记作

S

, 求面积的最大值.

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26. 求曲线

{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{cases}

在

y o z

面上的投影曲线方程.

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27. 求曲线

{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} = 1, \\ x + 2 y = 1, \end{cases}

上到坐标原点距离最近的点.

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28. 设

y^{2} d x + (2 x y + 1) d y

是函数

f (x, y)

的全微分, 其中

f (0, 0) = 0

, 求

f (x, y)

, 并计算曲面积分

I = \iint_{Σ} z f (x, y) d S

, 其中

Σ

是椎面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

被柱面

x^{2} + (y - 1)^{2} = 1

所截下的有限部分.

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29. 已知

f (u, v) = \oint_{C} (u x^{2} + v y^{2}) d s

，其中曲线

C : x^{2}

+ y^{2} = u^{2}

，试求

f_{u v}^{''} (1, 1)

的值.

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30. 问: 当常数

a

为何值时, 存在可微函数

u = u (x, y)

, 使得

d u = (x - 2 y + 1) d x + (a x + y^{2} + 3) d y

? 若

u (0, 0) = 0

,求函数

u (x, y)

的表达式.

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31. 设

f (x)

为正值连续函数，证明不等式:

I = \oint_{C} x f (y) d y - \frac{y}{f (x)} d x \geq 2 π a^{2},

其中

C

是

(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = a^{2} (a > 0)

，方向取逆时钟方向.

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32. 设三元函数

f (x, y, z)

连续，

f (x, y, z) \neq 0

且满足

f (x, y, z) ∭_{Ω} f (x, y, z) d V = (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \oint_{Σ} f (x, y, z) d S

,其中

Ω

为球面

Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

所围成的闭区域，求

f (x, y, z)

的表达式.

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33. 已知

C

为不经过原点的简单光滑闭曲线，且取逆时针方向. 计算曲线积分

\oint_{C} \frac{y d x - x d y}{a x^{2} + b y^{2}}

，其中

a, b

为大于零的常数.

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34. 设函数

f (t)

在

(- \infty, + \infty)

上有连续导数，

L

为从点

A (- \frac{π}{2}, - 1)

沿曲线

y = \sin x

到点

B (\frac{π}{2}, 1)

，再沿直线

y = 1

到点

C (- \frac{π}{2}, 1)

的有向曲线段，计算曲线积分

\int_{L} x f (x^{2} + y^{2}) d x + x^{2} d y .

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35. 设有一边长为 1 的立方体，其一个顶点位于坐标原点，三条棱与坐标轴正方向重合，平面

x + 2 y + 3 z = 4

截立方体所得截面的边界线记作

Γ

，计算

I = \oint_{Γ} (x - y) d x + (y - 2 z) d y + (z - 3 x) d z ，

其中

Γ

方向为从

z

轴正向往负向看为逆时针方向.

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36. 设

S

为旋转抛物面

z = 4 - x^{2} - y^{2} ， π

为其在

M (1, 1, 2)

处的切平面.
(1) 求

S

在

z \geq 0

部分的曲面面积.
(2) 求第一卦限介于

S

与

π

之间部分的体积.

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37. 设函数

f (x)

具有二阶连续导数，且

f (0) = 1, f^{'} (0) = 1

.假设对任意光滑闭曲面

Σ

，恒有

\oint_{Σ} [f^{'} (x) + x^{2}] d y d z + (z + 1) f (x) d x d y = 0 .

试求

f (x)

的表达式.

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38. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x (8 y + 1) d y d z + 2 (1 - y^{2}) d z d x - 4 y z d x d y,

曲面，它的法向量与

y

轴正向的夹角恒大于

\frac{π}{2}

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39. 设过点

(- 1, c, c)

的直线

L

的方程为

{\begin{cases} c x + y + z = c, \\ x - c y + c z = - 1, \end{cases}

其中

c

为实数。
（1）求直线

L

的对称式方程;
（2）当

c

连续变化时，

L

随之移动而生成曲面

Σ

, 求曲面

Σ

与平面

z = t

的交线的方程, 其中

t

为常数;
（3）求由曲面

Σ

, 平面

z = 0

和

z = 1

所围立体的体积。

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40. 求

\int_{L} (2 x \sin y + y) d x + (x^{2} \cos y + 2 x) d y

, 其中

L : x^{2} + y^{2} = 2 a x (a > 0)

从

(0, 0)

到

(2 a, 0)

的上半圆周。

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