一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
方程 $x^2+b y^2+c z^2=1(b, c$ 为非零常数 $)$ 所对应的曲面 不可能是
$\text{A.}$ 椭球面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 单叶双曲面
$\text{D.}$ 锥面
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$D$ 是由 $y=\mathrm{e}^x, x=0, x=1, y=0$ 所围成区域, 则 $\iint_D \mathrm{~d} \sigma=$
设 $\Omega$ 由 $0 \leqslant z \leqslant 1-\sqrt{x^2+y^2}$ 所确定, 则其形心坐标是
设 $u=\ln \left(1+x y+y z^3\right)$ ，则 $\left.\operatorname{grad} u\right|_{(1,2,1)}=$
设曲线 $L: y=\frac{x^2}{2}(0 \leq x \leq 1)$ ，则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} s$ 的 值为
曲线 $f(x)=2 x+\sqrt{x^2-2 x+3}$ 的渐近线为?
设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2 x, \\ 2 x-y-z=1,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向看为逆时针方向, 则
$$
\oint_L y^2 \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} y+x \mathrm{~d} z=
$$
设函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x+y}$, 点 $(a, b)$ 为圆周 $x^2+y^2=1$ 上的动点, $D$ 为中心在原点的正方形. 若要使积分 $I(a, b)=\iint_D f(a+x, b+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 最大, 则 $(a, b)$ 应取
在定向为逆时针方向的椭圆 $C: \frac{1}{4} x^2+y^2=1$ 上选取一段曲线 $L$, 使得曲线积分 $\int_L \mathrm{~d} x+2 \mathrm{~d} y$ 最大, 则这个最大值为
设函数 $f(x, y)$ 连续, 区域 $D$ 是由曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 x y$ 在第一象限所围成的部分, 则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 在极坐标系下先 $\theta$, 后 $r$ 的二次积分为
曲线段 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+1 \\ y=\frac{3}{2} t^2-1\end{array}(0 \leq t \leq 1)\right.$ 的弧长是:
设 $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=4(0 \leqslant z \leqslant 1)$, 则 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y\right) \mathrm{d} S=$
三、解答题 （ 共 28 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
经过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线,该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D. 求：（1）D 的面积; (2) $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
求由 $x O z$ 平面上的曲线 $\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+z^2\right)^2=4\left(x^2-z^2\right) \\ y=0\end{array}\right.$ 绕 $O z$ 轴 旋转而成的曲面所包围区域的体积.
求曲面 $x^2+x y+e^z=3$ 在点 $(1,1,0)$ 处的切平面 及法线方程.
已知函数 $u=x^2+e^y z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 由方程 $x z+\ln (1+y z)=1$ 确定，求函数 $u$ 在点 $(1,0)$ 处沿方向 $\mathrm{d}=(3,-4)$ 的方向导数.
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(2 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中曲面 $\Sigma: z=x^2+y^2(0 \leq z \leq 1)$ ， 方向取下侧.
求变力 $\mathrm{F}=\left(x+y-x y, x-y+y^2\right)$ 将质点从原 点 $O(0,0)$ 沿曲线 $y=\sin x$ 移动到点 $A(\pi, 0)$ 所做的功.
计算 $I=\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由 曲面 $\Sigma:\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^2+y^2$ 所围成的闭区域.
设 $u=f(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} u=y^2 \mathrm{~d} x+(2 x y+1) \mathrm{d} y$, 且 $f(0,0)=1$, 计算 $\iint_{\Sigma} z f(x, y) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 是 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被 $x^2+(y-1)^2=1$ 所截的部分.
设平面曲线 $y=y(x)$ 满足 $y(0)=1 ， y^{\prime}(0)=0$ ，且对曲线上任意点 $P(x, y)$ $(x>0)$ ，沿曲线从点 $(0,1)$ 到点 $P(x, y)$ 的弧长等于该曲线在点 $P(x, y)$ 的切线斜率，求 $y(x)(x>0)$ 。
设 $\Sigma$ 为曲面 $4 x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的下侧, 计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^2-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
计算 $\oint_L \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^2+y^2}, L$ 是 $x^2+2 y^2=1$ 沿逆时针方向.
设曲线 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=\frac{\pi^2}{4}$ 上从点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 到点 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一段, 计算曲线积分
$$
I=\int_L \frac{\mathrm{e}^y+\mathrm{e}^{-y}}{2} \cos x \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}{2} \sin x \mathrm{~d} y .
$$
计算曲面积分 $\iint_S(2 x+z) d y d z+z d x d y$ ，其中 $S$ 为有向曲面 $z=x^2+y^2(0 \leq z \leq 1)$ ，其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角。
已知 $L$ 是第一象限中从 $O(0,0)$ 沿圆周 $x^2+y^2=2 x$ 到点 $A(2,0)$ ，再沿圆周 $x^2+y^2=4$ 到点 $B(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $\int_L 3 x^2 y d x+\left(x^3+x-2 y\right) d y$ 。
计算 $\iint_D\left(x y \mathrm{e}^{x^2+y^2}+x^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: x^2+y^2 < |x|+|y|$ 。
试求曲线 $\left(x^3+y^3\right)^2=x^2+y^2$ 所围的平面图形区域在第一象限部分的面积.
求椭球面 $x^2+y^2+\frac{z^2}{2}=1$ 上一点, 使得在这点的椭球面切平面与 $x-y+2 x=4$ 平行。
计算计算 $\int_L(x+y) d s$, 其中曲线 $L: x^2+y^2=2 x$ 。
求球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截的上半部分在 $x o y$ 面上的投影区域的面积。
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+2 y z\right) d y d z+\left(y^2+2 z x\right) d z d x+\left(z^2+2 x y\right) d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的上侧。
计算 $\int_L\left(e^x \cos y+y^2\right) d x+\left(2 x y-e^x \sin y\right) d y$, 其中有向曲线 $L$ 是 $y=x^2$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(1,1)$ 的一段。
证明 $\frac{3}{2} \pi < \iiint_{\Omega} \sqrt{x+2 y-2 z+5} d x d y d z < 3 \pi$,其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 1$ 。
已知平面 $\Sigma$ 经过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+z=0 \\ x-y+2 z=0\end{array}\right.$ 且与平面 $\Sigma_0: 3 x+z=6$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 求 $\Sigma$ 的方程。
设曲面 $\Sigma$ 是由平面曲线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 绕极轴旋转一周所成, 其中 $x$ 轴正向与极轴相重合。(1) 试写出 $\Sigma$ 在相应空间直角坐标系中的方程; (2) 求 $\Sigma$ 的面积。
设 $a>0$, 试确定 $a$ 的范围使得曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x$ 必相交 (要求说明理由)。
求极限
$$
\lim _{\substack{x_0 \rightarrow 0 \\ x_1 \rightarrow+\infty}} I\left(x_0, x_1\right)=\iint_S \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{\sqrt{y^2+z^2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $S$ 由 $x=y^2+z^2$ 和 $x=x_0, x=x_1\left(a>0, x_0 < x_1\right)$ 所围成, 方向取外侧.
设 $f(x)$ 是 $[-1,1]$ 上的连续的偶函数, 计算曲线积分:
$I=\oint_L \frac{x^2+y^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$, 其中曲线 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=-2 y$.
计算曲面积分$
\iint_{\Sigma}\left(x+y^2+z^2\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $
其中 $\Sigma$ 为旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 介于 $z=0$ 和 $z=2$ 之间的部分的下侧.