yan3-数学组卷-自助组卷

科数题库试卷组卷竞赛教材学习 VIP

微信扫码登录或手机号登录考研数学版

导出试卷打印试卷试卷白板

yan3

数学

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 方程

x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 1 (b, c

为非零常数

)

所对应的曲面不可能是

A.

椭球面

B.

双叶双曲面

C.

单叶双曲面

D.

锥面

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

2.

D

是由

y = e^{x}, x = 0, x = 1, y = 0

所围成区域, 则

\iint_{D} d σ =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

3. 设

Ω

由

0 ⩽ z ⩽ 1 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}

所确定, 则其形心坐标是

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

4. 设

u = \ln (1 + x y + y z^{3})

，则

{grad u |}_{(1, 2, 1)} =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

5. 设曲线

L : y = \frac{x^{2}}{2} (0 \leq x \leq 1)

，则曲线积分

\int_{L} x d s

的值为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

6. 曲线

f (x) = 2 x + \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}

的渐近线为?

点赞(1) 错题本(0) 加入试卷

7. 设曲线

L : {\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 2 x, \\ 2 x - y - z = 1, \end{cases}

从

z

轴正向看为逆时针方向, 则

\oint_{L} y^{2} d x + (z + 1) d y + x d z =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

8. 设函数

f (x, y) = e^{x + y}

, 点

(a, b)

为圆周

x^{2} + y^{2} = 1

上的动点,

D

为中心在原点的正方形. 若要使积分

I (a, b) = \iint_{D} f (a + x, b + y) d x d y

最大, 则

(a, b)

应取

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

9. 在定向为逆时针方向的椭圆

C : \frac{1}{4} x^{2} + y^{2} = 1

上选取一段曲线

L

, 使得曲线积分

\int_{L} d x + 2 d y

最大, 则这个最大值为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

10. 设函数

f (x, y)

连续, 区域

D

是由曲线

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 x y

在第一象限所围成的部分, 则

\iint_{D} f (x, y) d x d y

在极坐标系下先

θ

, 后

r

的二次积分为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

11. 曲线段

{\begin{cases} x = t^{3} + 1 \\ y = \frac{3}{2} t^{2} - 1 \end{cases} (0 \leq t \leq 1)

的弧长是:

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

12. 设

Σ

为圆柱面

x^{2} + y^{2} = 4 (0 ⩽ z ⩽ 1)

, 则

\iint_{Σ} (x^{2} + y) d S =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

三、解答题（共 28 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 经过坐标原点作曲线

y = \ln x

的切线,该切线与曲线

y = \ln x

及

x

轴围成平面图形 D. 求：（1）D 的面积; (2)

D

绕

x

轴旋转一周所得旋转体的体积.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

14. 求由

x O z

平面上的曲线

{\begin{cases} {(x^{2} + z^{2})}^{2} = 4 (x^{2} - z^{2}) \\ y = 0 \end{cases}

绕

O z

轴旋转而成的曲面所包围区域的体积.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

15. 求曲面

x^{2} + x y + e^{z} = 3

在点

(1, 1, 0)

处的切平面及法线方程.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

16. 已知函数

u = x^{2} + e^{y} z

，其中

z = z (x, y)

由方程

x z + \ln (1 + y z) = 1

确定，求函数

u

在点

(1, 0)

处沿方向

d = (3, - 4)

的方向导数.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

17. 计算曲面积分

\iint_{Σ} (2 z + 1) d x d y

，其中曲面

Σ : z = x^{2} + y^{2} (0 \leq z \leq 1)

，方向取下侧.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

18. 求变力

F = (x + y - x y, x - y + y^{2})

将质点从原点

O (0, 0)

沿曲线

y = \sin x

移动到点

A (π, 0)

所做的功.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

19. 计算

I = ∭_{Ω} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} d V

，其中

Ω

是由曲面

Σ : {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} = x^{2} + y^{2}

所围成的闭区域.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

20. 设

u = f (x, y)

满足

d u = y^{2} d x + (2 x y + 1) d y

, 且

f (0, 0) = 1

, 计算

\iint_{Σ} z f (x, y) d S

, 其中

Σ

是

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

被

x^{2} + (y - 1)^{2} = 1

所截的部分.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

21. 设平面曲线

y = y (x)

满足

y (0) = 1 ， y^{'} (0) = 0

，且对曲线上任意点

P (x, y)

(x > 0)

，沿曲线从点

(0, 1)

到点

P (x, y)

的弧长等于该曲线在点

P (x, y)

的切线斜率，求

y (x) (x > 0)

。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

22. 设

Σ

为曲面

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (z ⩾ 0)

的下侧, 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} (x + 2 y) d y d z + \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} d z d x + (x^{2} - \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) d x d y .

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

23. 计算

\oint_{L} \frac{(x + y) d x + (y - x) d y}{x^{2} + y^{2}}, L

是

x^{2} + 2 y^{2} = 1

沿逆时针方向.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

24. 设曲线

L

为圆周

x^{2} + y^{2} = \frac{π^{2}}{4}

上从点

(\frac{π}{2}, 0)

到点

(0, \frac{π}{2})

上的一段, 计算曲线积分

I = \int_{L} \frac{e^{y} + e^{- y}}{2} \cos x d x + \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \sin x d y .

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

25. 计算曲面积分

\iint_{S} (2 x + z) d y d z + z d x d y

，其中

S

为有向曲面

z = x^{2} + y^{2} (0 \leq z \leq 1)

，其法向量与

z

轴正向的夹角为锐角。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

26. 已知

L

是第一象限中从

O (0, 0)

沿圆周

x^{2} + y^{2} = 2 x

到点

A (2, 0)

，再沿圆周

x^{2} + y^{2} = 4

到点

B (0, 2)

的曲线段，计算曲线积分

\int_{L} 3 x^{2} y d x + (x^{3} + x - 2 y) d y

。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

27. 计算

\iint_{D} (x y e^{x^{2} + y^{2}} + x^{2}) d x d y

, 其中

D : x^{2} + y^{2} < | x | + | y |

。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

28. 试求曲线

{(x^{3} + y^{3})}^{2} = x^{2} + y^{2}

所围的平面图形区域在第一象限部分的面积.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

29. 求椭球面

x^{2} + y^{2} + \frac{z^{2}}{2} = 1

上一点, 使得在这点的椭球面切平面与

x - y + 2 x = 4

平行。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

30. 计算计算

\int_{L} (x + y) d s

, 其中曲线

L : x^{2} + y^{2} = 2 x

。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

31. 求球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

被平面

x + y + z = 0

所截的上半部分在

x o y

面上的投影区域的面积。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

32. 计算

\iint_{Σ} (x^{2} + 2 y z) d y d z + (y^{2} + 2 z x) d z d x + (z^{2} + 2 x y) d x d y

, 其中

Σ

为曲面

z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

的上侧。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

33. 计算

\int_{L} (e^{x} \cos y + y^{2}) d x + (2 x y - e^{x} \sin y) d y

, 其中有向曲线

L

是

y = x^{2}

从

O (0, 0)

到

A (1, 1)

的一段。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

34. 证明

\frac{3}{2} π < ∭_{Ω} \sqrt{x + 2 y - 2 z + 5} d x d y d z < 3 π

,其中

Ω : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1

。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

35. 已知平面

Σ

经过直线

L : {\begin{cases} x + 3 y + z = 0 \\ x - y + 2 z = 0 \end{cases}

且与平面

Σ_{0} : 3 x + z = 6

的夹角为

\frac{π}{3}

, 求

Σ

的方程。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

36. 设曲面

Σ

是由平面曲线

r = a (1 + \cos θ) (a > 0)

绕极轴旋转一周所成, 其中

x

轴正向与极轴相重合。(1) 试写出

Σ

在相应空间直角坐标系中的方程; (2) 求

Σ

的面积。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

37. 设

a > 0

, 试确定

a

的范围使得曲线

y = a^{x}

与直线

y = x

必相交 (要求说明理由)。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

38. 求极限

lim_{\begin{matrix} x_{0} \to 0 \\ x_{1} \to + \infty \end{matrix}} I (x_{0}, x_{1}) = \iint_{S} \frac{e^{- x^{2}}}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} d y d z

其中

S

由

x = y^{2} + z^{2}

和

x = x_{0}, x = x_{1} (a > 0, x_{0} < x_{1})

所围成, 方向取外侧.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

39. 设

f (x)

是

[- 1, 1]

上的连续的偶函数, 计算曲线积分:

I = \oint_{L} \frac{x^{2} + y^{2}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} d x + f (x) d y

, 其中曲线

L

为正向圆周

x^{2} + y^{2} = - 2 y

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

40. 计算曲面积分

\iint_{Σ} (x + y^{2} + z^{2}) d y d z - z d x d y .

其中

Σ

为旋转抛物面

z = x^{2} + y^{2}

介于

z = 0

和

z = 2

之间的部分的下侧.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

他的试卷

研2 研1 kao1

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与