一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上非负，在 $(a, b)$ 内
$$
\begin{gathered}
f^{\prime \prime}(x)>0, f^{\prime}(x) < 0 . \quad I_1=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)], \\
I_2=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, I_3=(b-a) f(b)
\end{gathered}
$$
则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为 ( ).
$\text{A.}$ $I_1 \leq I_2 \leq I_3$
$\text{B.}$ $I_1 \leq I_3 \leq I_2$
$\text{C.}$ $I_2 \leq I_3 \leq I_1$
$\text{D.}$ $I_3 \leq I_2 \leq I_1$
$\lim \limits _{n \rightarrow \infty } \sum \limits _{i=1}^{n} \dfrac {n}{n^{2}+i^{2}}=$
$\text{A.}$ $\frac { \pi }{4} $
$\text{B.}$ $\frac { \pi }{3} $
$\text{C.}$ $\frac { \pi }{2}$
$\text{D.}$ $\pi$
设$f(x)$连续,且$ f(0)=0$,$f'(0)=2$, 则
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ -3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
$\dfrac {d^{2}}{dx^{2}} \int _{x}^{2x}te^{-(x-t)^{2}}dt=$
$\text{A.}$ $xe^{-x^{2}}$
$\text{B.}$ $-xe^{-x^{2}}$
$\text{C.}$ $e^{-x^{2}}$
$\text{D.}$ $-e^{-x^{2}}$
下列反常积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int _{0}^{1} \dfrac {dx}{ \sqrt {x}(x-1)} $
$\text{B.}$ $\int _{0}^{+ \infty } \dfrac { \sqrt {x}}{1+x \sqrt {x}}dx$
$\text{C.}$ $\int _{1}^{+ \infty } \dfrac {dx}{ \sqrt {x^{2}-x}} $
$\text{D.}$ $\int _{0}^{1} \dfrac {dx}{ \sqrt {x-x^{2}}}$
二、填空题 （共 16 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知平面上的函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=2(y-2)$, 且
$$
f(x, x)=(x-2)^2+(x-2) \ln x,
$$
求函数 $f(x, y)$ 的解析式, 并求曲线 $f(x, y)=0$ 绕直线 $y=2$ 旋转一周所形成的旋转体的体积.
若 $f(x)$ 连续，且 $f(0)=2$ ，又函数
$$
F(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^2} \int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{cases}
$$
连续，则 $a=$
设 $y(x)=\int_x^{4 x} \sin \left((x-t)^2\right) \mathrm{d} t$ ，求 $y^{\prime}(x)$.
交换二次积分的次序: $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x=$
(1) $\int _{0}^{2}x^{3}e^{x^{2}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int _{0}^{ \ln 2} \sqrt {e^{x}-1}dx= \underline { \quad \quad \quad }.$
(1) $\int_{-1}^{1}(x^{2} \sin x+x^{2} \sqrt {1-x^{2}})dx= $.
(1) $\int _{0}^{ \pi } \sqrt {1- \sin 2x}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int _{- \pi }^{ \pi }(x+|x|) \sin xdx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(1) $\int _{0}^{1} \dfrac {dx}{1+ \sqrt {1-x^{2}}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int _{0}^{1} \dfrac {dx}{x+ \sqrt {1-x^{2}}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(1) $\lim \limits _{n \rightarrow \infty }\left [ \frac {1}{1 \times 2}+ \frac {1}{2 \times 3}+ \cdots + \frac {1}{n(n+1)}\right ]= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2)$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {n}{n^{2}+1}+ \dfrac {n}{n^{2}+2}+ \cdots + \dfrac {n}{n^{2}+n} \right )= \underline { \quad \quad \quad }$.
(3) $\lim \limits _{n \rightarrow \infty } \left ( \frac {1}{n+1}+ \frac {1}{n+2}+ \cdots + \frac {1}{n+n} \right )= \underline { \quad \quad \quad }$.
(4) $\lim \limits _{n \rightarrow \infty } \sum \limits _{i=1}^{n} \dfrac {i}{n^{2}}e^{ \dfrac {i}{n}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$连续,则 $\dfrac {d}{dx} \int _{0}^{x}tf(x^{2}-t^{2})dt= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\int_0^xe^{-t^2}dt-x}{\tan x-\sin x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$连续且 $f(0)=0$,$f'(0)=3$, 则$\lim \limits _{ x \rightarrow 0 }\dfrac{ \int _{0}^{x}f(x-t)dt}{x-\ln (1+x)}= \underline { \quad \quad \quad }$.
9. $\int _{0}^{2} \dfrac {dx}{ \sqrt {2x-x^{2}}}=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$ L: \frac {x^{2}}{4}+y^{2}=1$, 则$L$绕$x$轴和$y$轴旋转一周的几何体体积分别为$ V_x=\underline { \quad \quad \quad }$，$V_{y}=\underline { \quad \quad \quad }$.
已知正四面体 $O-A B C$ (就是每个面都是全等的等边三角形) 的边长以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增大 (过程中 仍然保持正四面体), 那么当棱长变为 $3 \mathrm{~cm}$ 的时候该正四面体表面积的增大速率为
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $\frac{f(x)}{F(x)}=-2, F(0)=1$ ，
则 $\int_0^{+\infty} F(x) \mathrm{d} x=$
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算曲面积分 $I=\oint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^2+2 y^2+z^2=4$ 的外侧.
计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+e^{-x}} \mathrm{~d} x$.
设 $F(x)=\int_0^{x^2} e^{-t^2} \mathrm{~d} t$, 试求:
(1) $F(x)$ 的极值；
(2)曲线 $y=F(x)$ 的拐点的横坐标;
(3) $\int_{-2}^3 x^2 F^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数，且
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=\frac{27}{2},
$$
证明: $\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x>2021$.
求 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{1-x} \mathrm{~d} z \int_0^{1-x-z}(1-y) e^{-(1-y-z)^2} \mathrm{~d} y$.
某企业生髙甲、乙两种产品, 其销售単价分别为 10 万元/件、 9 万元/件, 若生产 $x$ 件甲产品和 $y$ 件乙产品的总成本为 $C=400+2 x+3 y+0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right)$ (万元), 又已知两种产品的总产量为 100 件, 试建立这一问题的数学模型, 并分 析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。
计算 $\int _{- \pi }^{ \pi }( \sin ^{4}x+x \cos ^{2}x)dx$.
计算 $\int _{-1}^{1}(x^{2}+ \sin ^{3}x) \sqrt {1-x^{2}}dx$.
(1)设$f(x)$在$[-a,a]$上连续,证明: $\int _{-a}^{a}f(x)dx= \int _{0}^{a}[f(x)+f(-x)]dx$；
(2)计算 $\int _{- \pi }^{ \pi } \dfrac { \sin ^{2}x}{1+e^{x}}dx$.
(1)设$f(x)$在$[0,1]$上连续,证明: $\int _{0}^{ \pi }f( \sin x)dx=2 \int _{0}^{ \frac { \pi }{2}}f( \sin x)dx$.
(2)设$f(x)$在$[0,1]$上连续,证明: $\int _{0}^{ \pi }xf( \sin x)dx= \frac { \pi }{2} \int _{0}^{ \pi }f( \sin x)dx$.
(3)计算 $\int _{- \pi }^ \pi (x+|x|)= \int _{1}^{x}e^{-t^{2}}dt$, 求 $\int _{0}^{1}x^{2}f(x)dx$.
设$f(x)$在$[a,b]$上连续,证明: $\int _{a}^{b}f(x)dx= \int _{a}^{b}f(a+b-x)dx$.
设$f(x)$在$[a,b]$上连续,证明:$ \int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a) \int _{0}^{1}f[a+(b-a)x]dx$.
判断广义积分$ \int _{1}^{+ \infty } \dfrac {dx}{x^{3} \sqrt {x^{2}-1}} $的敛散性，若收敛求其值.
计算下列广义积分.
(1) $\int _{0}^{+ \infty }x^{5}e^{-x^{2}}dx$.
(2) $\int _{0}^{+ \infty }x^{4}e^{ \dfrac {-x^{2}}{2}}dx$.
求椭圆 $L: \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ 所围成的面积.
设曲线 $C:y= \sqrt {2x-x^{2}} $与$x$轴围成区域$D$，
(1)求区域$D$的面积；
(2)求区域$D$绕$x$轴旋转一周而成的几何体的体积；
(3)求区域$D$绕$x=2$旋转一周所得的几何体的体积.
求 $\int \frac{x+1}{x\left(1+x e^x\right)} d x$
一个立体以圆域 $x^2+y^2 \leq 1$ 为底，且该立体与 $x$ 轴垂直的截面均为正方形，求该立体的 体积。
求圆盘 $x^2+y^2 \leq a^2$ 绕直线 $y=-b(0 < a < b)$ 转一周得到的旋转体体积。