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研13

数学

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{α} \ln^{β} n}

收敛的充要条件是

A.

α > 1

.

B.

α > 1, β > 1

.

C.

α ⩾ 1, β > 1

.

D.

α > 1

或

α = 1, β > 1

.

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2. 设

f (x)

是周期为

2 π

的周期函数, 它在区间

(- π, π]

上的表达式是

f (x) = x + x^{2}

. 若其傅里叶 (Fourier) 级数为

S (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x)

, 则

A.

b_{3} = \frac{2}{3}, S (3 π) = π^{2}

.

B.

b_{3} = \frac{4}{3}, S (3 π) = π

.

C.

b_{3} = \frac{2}{3}, S (3 π) = π

.

D.

b_{3} = - \frac{2}{3}, S (3 π) = π^{2}

.

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3. 下列广义积分中, 发散的是

A.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{\sqrt{x} (1 + x)}

B.

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sin x} d x

C.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln^{2} x} d x

D.

\int_{- \infty}^{+ \infty} x e^{- x^{2}} d x

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4. 设

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛,下面 4 个级数，
(1)

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

;
(2)

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - a_{n + 1})

;
(3)

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{2 n - 1} + a_{2 n})

;
(4)

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{2 n - 1} - a_{2 n})

.
必收敛的个数为（　　）

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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5. 设函数

f (x)

连续且满足

f (x + π) + f (x) = 0

, 则

f (x)

以

2 π

为周期的傅里叶系数

(n = 1

,

2, \dots)

A.

a_{2 n} = 0, b_{2 n} = 0

.

B.

a_{2 n} = 0, b_{2 n - 1} = 0

.

C.

a_{2 n - 1} = 0, b_{2 n - 1} = 0

.

D.

a_{2 π - 1} = 0, b_{2 n} = 0

.

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6. 已知

a_{n} = \frac{(- 1)^{[\cos 2 n]}}{n}

, 其中

n

为正整数,

[\cos 2 n]

表示不超过

\cos 2 n

的最大整数, 则数列

{a_{n}}

A.

有最大值

\frac{1}{2}

, 有最小值 -1 .

B.

有最大值 1 , 有最小值

- \frac{1}{3}

.

C.

有最大值 1 , 有最小值

- \frac{1}{2}

.

D.

有最大值

\frac{1}{3}

, 有最小值 -1 .

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7. 若幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x + 2)^{n}

在

x = - 5

处收敛,则其在

x = 0

处是

A.

发散

B.

条件收敛

C.

绝对收敛

D.

收敛性不能确定

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 极限

lim_{n \to \infty} n (\frac{\sin \frac{π}{n}}{n^{2} + 1} + \frac{\sin \frac{2 π}{n}}{n^{2} + 2} + \dots + \frac{\sin \frac{n π}{n}}{n^{2} + n}) =

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9. 已知

f (x) = \frac{(x - 1) (x - 2) \dots (x - n)}{(x + 1) (x + 2) \dots (x + n)}

, 则

f^{'} (1) =

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10. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} e^{- n x}

的收敛域为

(a, + \infty)

, 则

a =

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11.

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + \frac{i}{n}} =

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12. 设

f (x)

是周期为

2 π

的周期函数, 且当

x \in (- π, π)

时,

f (x) = x \sin x

. 若

f (x) = \frac{a_{0}}{2} +

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos n x

, 则

\sum_{n = 2}^{\infty} a_{n} =

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13. 设

α > 0

, 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{α}}{α^{n}}

和级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^{3 - α} n}

均收敛,则

α

的取值范围为

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14.

y = 2^{x}

的麦克劳林公式中

x^{n}

项的系数是

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15. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1}}{2 n - 1}

的和函数是

S (x) =

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三、解答题（共 25 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 若数列

{a_{n}}

满足

(2 - a_{n}) a_{n + 1} = 1

, 证明:
(a)存在正整数

k

, 使得

a_{k} \leq 1

.
(b) 数列

{a_{n}}

存在极限, 并求其极限值.
(c) 若

a_{1} \neq 1

, 则

a_{n} (n = 1, 2, \dots)

两两不等.
(d) 满足题设且

a_{1} \neq 1

的数列

{a_{n}}

存在.

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17. 求极限

lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt[n]{(n + 1) (n + 2) \dots (n + n)}}{n}

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18. 求函数

f (x) = \arctan \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}

在

x = 0

处的幂级数展开式，并求

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1}

.

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19. 求极限:

lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} + \frac{n}{n^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{n^{2} + n})

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20. 计算:

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \frac{3}{n^{2}} + \dots + \frac{n}{n^{2}})

。

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21. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n + 1}{n!} x^{2 n}

的收敛域与和函数.

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22. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}

在点

x = 4

处条件收敛, 判断级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} {(1 + \frac{1}{n})}^{n^{2}}

是否收敛, 若收敛,请说明是条件收敛,还是绝对收敛.

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23.

x

为大于 0 的常数,构造数列

{x_{n}} : x_{1} = \sqrt{x}, x_{n + 1} = \sqrt{x + x_{n}} (n = 1, 2, \dots)

.
(I) 证明: 数列

{x_{n}}

收敛;
(II) 给定正整数

m ⩾ 2

, 求方程

lim x_{n} = m

的解.

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24. 求极限

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{10 n} {(1 - | \sin \frac{x}{n} |)}^{n} d x

的值.

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25. 计算级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{H_{n}}{2^{n} (n + 1)}

, 其中

H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} (n \geq 1)

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26. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n (2 n + 1)}

的和.

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27. 设

x_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!}, n = 1, 2, \dots

, 求极限

lim_{n \to \infty} (\frac{\ln x_{n}}{\sqrt[n]{e} - 1} - n) .

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28. 设

a_{1} > 0, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}, n = 1, 2, \dots

, 证明

lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}} = 0

.

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29. 设函数项级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{x e^{- n x}}{\ln n}

.
(1) 求函数项级数的收敛区间.
(2) 设

a > 0

，证明: 函数项级数在

[a, + \infty)

上一致收敛.

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30.

lim_{x \to 1} (\frac{m}{1 - x^{m}} - \frac{n}{1 - x^{n}}), m, n

是任意正整数.

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31.

lim_{x \to + \infty} [\sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} + x + 1} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]

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32. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n! \cdot 2^{n}} (x - 2)^{n}

的收敛域与和函数.

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33. 设

a_{n} > 0

，正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散，以

S_{n}

表示前

n

项的和，即

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

.

证明: (1) 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}

发散.
(2) 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}

收敛.

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34. 设定义在

[- π, π]

上的函数

f_{n} (x) = \int_{0}^{x} (| t - 1 | - | t |) \sin^{2 n} t d t

.
(I) 求

f_{n} (x)

的最大值点;
(II) 记

max_{- π ⩽ x ⩽ π} f_{n} (x) = a_{n}

, 证明:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

收敛, 且级数和小于

\frac{3}{2} \ln 3 - 2 \ln 2

.

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35. 求函数

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{\ln (1 + 2 t)}{t} d t

的麦克劳林级数级数.

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36. 令

F (x) = - \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{e}) + \int_{- 1}^{1} | x - t | e^{- t^{2}} d t

, 讨论方程

F (x) = 0

在闭区间

[- 1, 1]

上实数根的个数.

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37. 讨论级数

1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1}{1 + 2 + \dots + n} + \dots

的敛散性. 若收敛, 求其和.

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38. 判断级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + a^{n}} (a > 0)

的敛散性.

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39. 将函数

f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4 x + 3}

展开成

x - 1

的幕级数.

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40. 计算

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n^{2} - 1}} + \frac{1}{\sqrt{2 n^{2}}})

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