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yan11

数学

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 微分方程

x y^{'} - y \ln y = 0

的通解是

A.

y = e^{c x}

B.

y = c x

C.

y = e^{x} + c

D.

y = e^{x} + c x

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2. 设方程

\ln x = k x

只有两个正实根, 则

k

的取值范围为

A.

(- \infty, e)

B.

(0, \frac{1}{e})

C.

(\frac{1}{e}, + \infty)

D.

(\frac{1}{e}, 1)

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3. 设

f (x)

满足微分方程

f^{''} (x) + x f^{'} (x) = \ln (1 + x) - \frac{\arctan x}{x + 1}

, 且

f (x)

有驻点

x = x_{0} > 0

, 则

A.

x_{0}

不是

f (x)

的极值点.

B.

x_{0}

是

f (x)

的极大值点.

C.

x_{0}

是

f (x)

的极小值点.

D.

无法判断

x_{0}

是否是

f (x)

的极值点.

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4. 由方程

x y z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{2}

所确定的函数

z = z (x, y)

在点

(1, 0, 1)

处的全微分

{d z |}_{(1.0.1)} =

A.

- d x - \sqrt{2} d y

.

B.

- d x + \sqrt{2} d y

.

C.

d x + \sqrt{2} d y

.

D.

d x - \sqrt{2} d y

.

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5. 微分方程

y^{''} + 2 y^{'} - 3 y = e^{x}

的通解为

A.

C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{x} - \frac{1}{4} e^{x}

.

B.

C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{x} - \frac{1}{4} x e^{x}

.

C.

C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{x} + \frac{1}{4} e^{x}

.

D.

C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{x} + \frac{1}{4} x e^{x}

.

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6. 设有一阶微分方程 (1)

{(1 + x^{2})}^{2} y^{' 2} = 4 y

和微分方程 (2)

{(1 + x^{2})}^{2} y^{''} + 2 x (1 + x^{2}) y^{'} = 2

, 则

y = (\arctan x)^{2}

.

A.

是 (1) 的解, 也是 (2) 的解

B.

是 (1) 的解, 不是 (2) 的解

C.

是 (2) 的解, 不是 (1) 的解

D.

不是 (1) 的解, 也不是 (2) 的解

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7. 已知

(a x y^{3} - y^{2} \cos x) d x + (1 + b y \sin x + 3 x^{2} y^{2}) d y

为某二元函数的全微分, 则

a

和

b

的值分别为

A.

- 2

与

2

B.

- 3

与

3

C.

2

与

- 2

D.

3

与

- 3

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8. 微分方程

y^{''} - y^{'} + 2 y = x e^{2 x}

的特解

y^{*}

的形式可设为

A.

{axe}^{2 x}

B.

(a x + b) e^{2 x}

C.

(a x + b) x e^{2 x}

D.

a x^{2} e^{2 x}

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9. 已知

y = \frac{x}{\ln x}

是微分方程

y^{'} = \frac{y}{x} + φ (\frac{x}{y})

的解, 则

φ (\frac{x}{y})

的表达式为

A.

- \frac{y^{2}}{x^{2}}

.

B.

\frac{y^{2}}{x^{2}}

.

C.

- \frac{x^{2}}{y^{2}}

.

D.

\frac{x^{2}}{y^{2}}

.

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10. 微分方程

2 (x y + x) y^{'} = y

的通解是

A.

y = C e^{2 x}

B.

y^{2} = C e^{2 x}

C.

y^{2} e^{2 y} = C x

D.

e^{2 y} = C x y

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二、填空题（共 12 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 若函数

f (x)

满足

f^{''} (x) + a f^{'} (x) + f (x) = 0 (a > 0)

, 且

f (0) = m, f^{'} (0) = n

, 则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =

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12. 微分方程

y^{'''} - 3 y^{'} + 2 y = 0

的通解为

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13. 已知方程

e^{x} = k x

有且仅有一个实根, 则

k

的取值范围为

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14. 差分方程

y_{x + 1} - 2 y_{x} = x 2^{x}

的通解为

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15. 方程

\sum_{i = 1}^{100} \frac{1}{x - i} = 0

实根的个数为

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16.

L

是圆周

x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)

㑔向一周, 则曲线积分

\oint (x^{3} - x^{2} y) d x + (x y^{2} - y^{3}) d y =

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17. 微分方程

y^{'} = 3 x^{2} y

在条件

{y |}_{x = 0} = 1

下的特解为

y =

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18. 微分方程

y^{'} + x y = x y^{3}

当中满足

y (0) = \frac{1}{\sqrt{2}}

的特解为

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19. 若四阶常系数齐次线性微分方程有一个解为

y = x e^{x} \cos 2 x

, 则该方程的通解为

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20. 设

z = z (x, y)

由方程

x y z^{2} + \sqrt{x^{2} + y^{2}} + z = 2

确定, 则

{d z |}_{\begin{matrix} x = 1 \\ y z 0 \end{matrix}} =

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21. 讨论级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1}}{\ln^{2} n}

收敛性。

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22. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3}}{3^{n}} (x - 1)^{n}

的收敛半径与收敛区间。

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三、解答题（共 18 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

23. 设函数

y = f (x)

是由方程

e^{2 x + y} - \cos (x y) = e - 1

所确定的隐函数, 求导数

{\frac{d y}{d x} |}_{x = 0}

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24. 已知

y = y (x)

是由方程

\sin y + x e^{y} = 0

确定的隐函数, 求

dy

.

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25. 求微分方䅣

y^{''} - 2 y^{'} = e^{2 x}

的通解.

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26. 设

f (x)

二阶可导, 且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 0

, 若

g (x, y) = \int_{0}^{y} f (x t) d t

满足方程

\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} - x y g (x, y) = x y^{2} \sin x y,

求

g (x, y)

.

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27. 设

y = f (x)

在

[0, + \infty)

上可导,

f^{'} (x) ⩾ 0 (x > 0), f (0) = k > 0

, 若在区间

[0, x]

上以

y = f (x)

为曲边的曲边梯形的面积为

A (x), y = f (x)

在

[0, x]

上的弧长为

s (x)

, 且

A (x) = k s (x)

, 求

f (x)

.

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28. 设

u = f (r), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

, 其中函数

f

二阶可微, 且

lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 1}{x - 1} = 1

, 若函数

u = f (r)

满足

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

, 试求

f (r)

的表达式.

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29. 求解微分方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x} (1 - 2 x)

。

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30. 求解微分方程的初值问题:

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0, {y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 2

.

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31. 求微分方程

x y^{'} + y - e^{x} = 0, y (2) = 1

的特解.

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32. 求微分方程

y^{'} + y = e^{x}

满足初始条件

x = 0, y = 2

的特解。

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33. 设

z = z (x, y)

为方程

2 \sin (x + 2 y - 3 z) = x - 4 y + 3 z

确定的隐函数, 求

\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}

。

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34. 求幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{n!} x^{n}

的收敛域与和函数，并求级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{2^{n} \cdot n!}

的和.

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35. 设幂级数

y (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k} x^{k} (- \infty < x < + \infty)

满足微分方程初值问题:

{\begin{cases} y^{''} + 2 x y^{'} + 2 y = 0 \\ y (0) = 1, y^{'} (0) = 0 \end{cases}

(1) 证明:

a_{k + 2} = - \frac{2}{k + 2} a_{k}, k = 0, 1, 2, \dots

;
(2)求

y (x)

的表达式.

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36. 设

f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & - 1 \leq x \leq 0, \\ x - 1, 0 < x \leq 1, \end{cases}

a_{n} = \int_{- 1}^{1} f (x) \cos n π x d x, n = 0, 1, 2, \dots .

求函数

f (x)

对应的以周期为 2 的傅里叶级数在

[- 1, 1]

上的和函数并求

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

和

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

.

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37. 设

S (x)

为幂级数

x + \frac{x^{3}}{1 \cdot 3} + \frac{x^{5}}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \dots + \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!!} + \dots

的和函数.
(1) 求

S (x)

的定义域;
(2) 证明

S (x)

满足微分方程初值问题

S^{'} (x) - x S (x) = 1, S (0) = 0 ；

(3) 写出

S (x)

的积分表达式.

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38. 求级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n^{2} - 1) 2^{n}}

的和。

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39. 设

f (x) = \sin (a x), x \in [- π, π)

（

a

不取整数）, 求其 Fourier 级数及 Fourier 级数的和函数

S (x)

。

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40. 设可微函数

f (x)

是方程

(x - 2 y^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0

的解, 且

f (1) = 1

。
（1）求

f (x)

的表达式;
（2）讨论级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(f (n^{3}))}^{\ln n}}{(\ln n)^{n}}

收敛性。

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