一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
微分方程 $x y^{\prime}-y \ln y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=e^{c x}$
$\text{B.}$ $y=c x$
$\text{C.}$ $y=e^x+c$
$\text{D.}$ $y=e^x+c x$
设方程 $\ln x=k x$ 只有两个正实根, 则 $k$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(-\infty, e)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 无法判断 $x_0$ 是否是 $f(x)$ 的极值点.
由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(1,0,1)$ 处的全微分 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\text {(1.0.1) }}=$
$\text{A.}$ $-\mathrm{d} x-\sqrt{2} \mathrm{~d} y$.
$\text{B.}$ $-\mathrm{d} x+\sqrt{2} \mathrm{~d} y$.
$\text{C.}$ $\mathrm{d} x+\sqrt{2} \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ $\mathrm{d} x-\sqrt{2} \mathrm{~d} y$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^x$ 的通解为
$\text{A.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x-\frac{1}{4} \mathrm{e}^x$.
$\text{B.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x-\frac{1}{4} x \mathrm{e}^x$.
$\text{C.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{4} \mathrm{e}^x$.
$\text{D.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{4} x \mathrm{e}^x$.
设有一阶微分方程 (1) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime 2}=4 y$ 和微分方程 (2) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x\left(1+x^2\right) y^{\prime}=2$, 则 $y=(\arctan x)^2 $.
$\text{A.}$ 是 (1) 的解, 也是 (2) 的解
$\text{B.}$ 是 (1) 的解, 不是 (2) 的解
$\text{C.}$ 是 (2) 的解, 不是 (1) 的解
$\text{D.}$ 不是 (1) 的解, 也不是 (2) 的解
已知 $\left(a x y^3-y^2 \cos x\right) d x+\left(1+b y \sin x+3 x^2 y^2\right) d y$ 为某二元函数的全微分, 则 $a$ 和 $b$ 的 值分别为
$\text{A.}$ $-2$ 与 $2$
$\text{B.}$ $-3$ 与 $3$
$\text{C.}$ $2$ 与 $-2$
$\text{D.}$ $3$ 与 $-3$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=x \mathrm{e}^{2 x}$ 的特解 $y^*$ 的形式可设为
$\text{A.}$ $\operatorname{axe}^{2 x}$
$\text{B.}$ $(a x+b) \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{C.}$ $(a x+b) x \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $a x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解, 则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$.
微分方程 $2(x y+x) y^{\prime}=y$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C e^{2 x}$
$\text{B.}$ $y^2=C e^{2 x}$
$\text{C.}$ $y^2 e^{2 y}=C x$
$\text{D.}$ $e^{2 y}=C x y$
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0)$, 且 $f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解为
已知方程 $\mathrm{e}^x=k x$ 有且仅有一个实根, 则 $k$ 的取值范围为
差分方程 $y_{x+1}-2 y_x=x 2^x$ 的通解为
方程 $\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{x-i}=0$ 实根的个数为
$L$ 是圆周 $x^2+y^2=a^2(a>0)$ 㑔向一周, 则曲线积分 $\oint\left(x^3-x^2 y\right) d x+\left(x y^2-y^3\right) d y=$
微分方程 $y^{\prime}=3 x^2 y$ 在条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 下的特解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime}+x y=x y^3$ 当中满足 $y(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的特解为
若四阶常系数齐次线性微分方程有一个解为 $y=x \mathrm{e}^x \cos 2 x$, 则该方程的通解为
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y z^2+\sqrt{x^2+y^2}+z=2$ 确定, 则 $\left.d z\right|_{\substack{x=1 \\ y z 0}}=$
讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\ln ^2 n}$ 收敛性。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}(x-1)^n$ 的收敛半径与收敛区间。
三、解答题 （ 共 18 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是由方程 $e^{2 x+y}-\cos (x y)=e-1$ 所确定的隐函数, 求导 数 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}$
已知 $y=y(x)$ 是由方程 $\sin y+x e^y=0$ 确定的隐函数, 求 $\mathrm{dy}$.
求微分方䅣 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^{2 x}$ 的通解.
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
设 $y=f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $f^{\prime}(x) \geqslant 0(x>0), f(0)=k>0$, 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形的面积为 $A(x), y=f(x)$ 在 $[0, x]$ 上的弧长为 $s(x)$, 且 $A(x)=k s(x)$, 求 $f(x)$.
设 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 其中函数 $f$ 二阶可微, 且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=1$, 若函数 $u=f(r)$ 满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$, 试求 $f(r)$ 的表达式.
求解微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^x(1-2 x)$ 。
求解微分方程的初值问题: $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$.
求微分方程 $x y^{\prime}+y-\mathrm{e}^x=0, y(2)=1$ 的特解.
求微分方程 $y^{\prime}+y=e^x$ 满足初始条件 $x=0, y=2$ 的特解。
设 $z=z(x, y)$ 为方程 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x-4 y+3 z$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ 。
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+1}{n!} x^n$ 的收敛域与和函数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+1}{2^n \cdot n!}$ 的和.
设幂级数 $y(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程初值问题:
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+2 y=0 \\
y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
\end{array}\right.
$$
(1) 证明: $a_{k+2}=-\frac{2}{k+2} a_k, k=0,1,2, \cdots$;
(2)求 $y(x)$ 的表达式.
设 $f(x)= \begin{cases}x^2, & -1 \leq x \leq 0, \\ x-1,0 < x \leq 1,\end{cases}$
$$
a_n=\int_{-1}^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots .
$$
求函数 $f(x)$ 对应的以周期为 2 的傅里叶级数在 $[-1,1]$ 上的和函数并求 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n$.
设 $S(x)$ 为幂级数
$$
x+\frac{x^3}{1 \cdot 3}+\frac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!!}+\cdots
$$
的和函数.
(1) 求 $S(x)$ 的定义域;
(2) 证明 $S(x)$ 满足微分方程初值问题
$$
S^{\prime}(x)-x S(x)=1, \quad S(0)=0 ；
$$
(3) 写出 $S(x)$ 的积分表达式.
求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^2-1\right) 2^n}$ 的和。
设 $f(x)=\sin (a x), x \in[-\pi, \pi)$ （ $a$ 不取整数）, 求其 Fourier 级数及 Fourier 级数的和函数 $S(x)$ 。
设可微函数 $f(x)$ 是方程 $\left(x-2 y^3\right) d x+3 x y^2 d y=0$ 的解, 且 $f(1)=1$ 。
（1）求 $f(x)$ 的表达式;
（2）讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(f\left(n^3\right)\right)^{\ln n}}{(\ln n)^n}$ 收敛性。