试卷5-数学组卷-自助组卷

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试卷5

数学

一、单选题（共 14 题），每题只有一个选项正确

1. 以

A

表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件

\bar{A}

为

A.

“甲种产品滞销，乙种产品畅销"

B.

“甲，乙产品均畅销"

C.

“甲种产品滞销"

D.

“甲种产品滞销或乙种产品畅销"

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2. 设当事件

A

与

B

同时发生时，事件

C

必发生，则

A.

P (C) \leq P (A) + P (B) - 1

B.

P (C) \geq P (A) + P (B) - 1

C.

P (C) = P (A B)

D.

P (C) = P (A \cup B)

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n

阶方阵

A

具有

n

个不同的特征值是

A

与对角阵相似的

A.

充分必要条件

B.

充分而非必要条件

C.

必要而非充分条件

D.

既非充分也非必要条件

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4. 设

λ = 2

是非奇异矩阵

A

的一个特征值，则

{(\frac{1}{3} A^{2})}^{- 1}

有一特征值等于

A.

\frac{4}{3}

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{4}

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5. 假设事件

A

和

B

满足

P (B ∣ A) = 1

，则

A.

A

是必然事件

B.

P (B ∣ \bar{A}) = 0

C.

A \supset B

D.

A \subset B

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6. 设

0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1

P (A ∣ B) + P (\bar{A} ∣ \bar{B}) = 1

，则

A.

事件

A

和

B

互不相容

B.

事件

A

和

B

互相对立

C.

事件

A

和

B

互不独立

D.

事件

A

和

B

相互独立

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7. 已知

0 < P (B) < 1

且

P [(A_{1} + A_{2}) ∣ B] = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B) ，

则下列选项成立的是

A.

P [(A_{1} + A_{2}) ∣ \bar{B}] = P (A_{1} ∣ \bar{B}) + P (A_{2} ∣ \bar{B})

B.

P (A_{1} B + A_{2} B) = P (A_{1} B) + P (A_{2} B)

C.

P (A_{1} + A_{2}) = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B)

D.

P (B) = P (A_{1}) P (B ∣ A_{1}) + P (A_{2}) P (B ∣ A_{2})

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8. 设

A, B, C

是三个相互独立的随机事件，且

0 < P (C) < 1

, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是

A.

\overset{―}{A + B}

与

C

B.

\overset{―}{A C}

与

\bar{C}

C.

\overset{―}{A - B}

与

\bar{C}

D.

\overset{―}{A B}

与

\bar{C}

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9. 在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的. 在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度

t_{0}

，电炉就断电. 以

E

表示事件“电炉断电”，设

T_{(1)} \leq T_{(2)} \leq T_{(3)} \leq T_{(4)}

为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件

E

等于事件

A.

{T_{(1)} \geq t_{0}}

B.

{T_{(2)} \geq t_{0}}

C.

{T_{(3)} \geq t_{0}}

D.

{T_{(4)} \geq t_{0}}

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10. 对于任意二事件

A

和

B

，与

A \cup B = B

不等价的是

A.

A \subset B

B.

\bar{B} \subset \bar{A}

C.

A \bar{B} = \emptyset

D.

\bar{A} B = \emptyset

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11. 对于任意二事件

A

和

B

A.

若

A B \neq \emptyset

，则

A, B

一定独立

B.

若

A B \neq \emptyset

，则

A, B

有可能独立

C.

若

A B = \emptyset

，则

A, B

一定独立

D.

若

A B = \emptyset

，则

A, B

一定不独立

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12. 设

A, B

为随机事件，且

P (B) > 0, P (A ∣ B) = 1

，则必有

A.

P (A \cup B) > P (A)

B.

P (A \cup B) > P (B)

C.

P (A \cup B) = P (A)

D.

P (A \cup B) = P (B)

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13. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是 3 维向量空间

R^{3}

的一组基，则由基

α_{1}, \frac{1}{2} α_{2}, \frac{1}{3} α_{3}

到基

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

的过渡矩阵为

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} 1 / 2 & 1 / 4 & - 1 / 6 \\ - 1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 6 \\ 1 / 2 & - 1 / 4 & 1 / 6 \end{array})

D.

(\begin{array}{ccc} 1 / 2 & - 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 4 & 1 / 4 & - 1 / 4 \\ - 1 / 6 & 1 / 6 & 1 / 6 \end{array})

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14. 设

A

为 4 阶实对称矩阵，且

A^{2} + A = O

，若

A

的秩为 3 ，则

A

相似于

A.

(\begin{array}{llll} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{llll} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

C.

(\begin{array}{cccc} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

D.

(\begin{array}{cccc} - 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

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二、填空题（共 13 题），请把答案直接填写在答题纸上

15. 已知 3 维线性空间的一组基底为

α_{1} = (1, 1, 0), α_{2} = (1, 0, 1), α_{3} = (0, 1, 1)

, 则向量

β =

(2, 0, 0)

在上述基底下的坐标是

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16. 已知

A, B

两个事件满足条件

P (A B) = P (\bar{A} \bar{B})

, 且

P (A) = p

, 则

P (B) =

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17. 矩阵

A = [\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}]

的非零特征值是

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18. 设对于事件

A, B, C

有

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}

P (A B) = P (B C) = 0, P (A C) = \frac{1}{8}

，则

A, B, C

三个事件中至少出现一个的概率为

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19. 将

C, C, E, E, I, N, S

七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词

S C I E N C E

的概率为

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20. 一批产品共有个 10 正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则第二次抽出的是次品的概率为

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21. 设

A, B

是任意两个随机事件，则

P {(\bar{A} + B) (A + B) (\bar{A} + \bar{B}) (A + \bar{B})} =

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22. 设两两相互独立的三事件

A, B

和

C

满足条件:

A B C = \emptyset

P (A) = P (B) = P (C) < \frac{1}{2}, P (A \cup B \cup C) = \frac{9}{16}

则

P (A) =

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23. 从

R^{2}

的基

α_{1} = (\binom{1}{0}), α_{2} = (\binom{1}{- 1})

到基

β_{1} = (\binom{1}{1}), β_{2} = (\binom{1}{2})

的过渡矩阵为

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24. 从数

1, 2, 3, 4

中任取一个数，记为

X

，再从

1, 2, \dots, X

中任取一个数，记为 Y ，则

P {Y = 2} =

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25. 在区间

(0, 1)

中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小干

\frac{1}{2}

的概率为

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26. 在区间

(0, 1)

中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于

\frac{1}{2}

的概率为

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27. 设

α = (1, 1, 1)^{T} ， β = (1, 0, k)^{T}

，若矩阵

a β^{T}

相似于

(\begin{array}{lll} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

, 则

k =

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三、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

28. 已知矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array})

与

B = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

相似.
(1) 求

x

与

y

;
(2) 求一个满足

P^{- 1} A P = B

的可逆矩阵

P

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29. 设 3 阶矩阵

A

的特征值为

λ_{1} = 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 3

, 对应的特征向量依次为

ξ_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), ξ_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array})

ξ_{3} = (\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 9 \end{array})

, 又向量

β = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})

.

（1）将

β

用

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}

线性表出;
（2）求

A^{n} β (n

为自然数).

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30. 已知

R^{3}

的两个基为

α_{1} = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}], α_{2} = [\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}], α_{3} = [\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]

β_{1} = [\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}], β_{2} = [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}], β_{3} = [\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 3 \end{array}]

求由基

α_{1}, α_{2}, α_{3}

到基

β_{1}, β_{2}, β_{3}

的过渡矩阵.

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31. 设 3 阶实对称矩阵

A

的特征值为

λ_{1} = - 1, λ_{2} = λ_{3} = 1

, 对应于

λ_{1}

的特征向量为

ξ_{1} = (0, 1, 1)^{T}

, 求

A

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32. 设矩阵

A

与

B

相似，其中

A = (\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{array}) .

(1) 求

x

和

y

的值；
(2) 求可逆矩阵

P

，使得

P^{- 1} A P = B

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33. 设

A

是

n

阶方阵，

2, 4, 6, \dots, 2 n

是

A

的

n

个特征值，

I

是

n

阶单位阵，计算行列式

| A - 3 I |

的值.

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34. 设

A = (\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

有三个线性无关的特征向量，求

x

和

y

应满足的条件.

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35. 设

B

是秩为 2 的

5 \times 4

矩阵，

α_{1} = (1, 1, 2, 3)^{T}

α_{2} = (- 1, 1, 4, - 1)^{T}, α_{3} = (5, - 1, - 8, 9)^{T}

是齐次方程组

B x = 0

的解向量，求

B x = 0

的解空间的一个标准正交基.

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36. 已知

ξ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

是

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ - 1 & b & - 2 \end{array})

的一个特征向量.
(I) 试确定参数

a, b

及特征向量

ξ

所对应的特征值；
(II) 问

A

能否相似于对角阵? 说明理由.

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37. 设三阶实对称矩阵

A

的特征值是

1, 2, 3

，矩阵

A

的属于特征值 1,2 的特征向量分别是

α_{1} = (- 1, - 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, - 2, - 1)^{T} .

(1) 求

A

的属于特征值 3 的特征向量;
(2) 求矩阵

A

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38. 设向量

α = {(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})}^{T}, β = {(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})}^{T}

都是非零向量，且满足条件

α^{T} β = 0

. 记

n

阶矩阵

A = α β^{T}

求: (1)

A^{2}

;
(2) 矩阵

A

的特征值和特征向量.

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39. 设

A

为

n

阶实对称矩阵，秩

(A) = n, A_{i j}

是

A = {(a_{i j})}_{m \times n}

中元素

a_{i j}

的代数余子式

(i, j = 1, 2, \dots, n)

，二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{A_{i j}}{| A |} x_{i} x_{j} .

(1) 记

X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

，把

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

写成矩阵形式，并证明二次型

f (X)

的矩阵为

A^{- 1}

;
(2) 二次型

g (X) = X^{T} A X

与

f (X)

的规范形是否相同? 说明理由.

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40. 设

A, B

是任意二事件，其中

A

的概率不等于 0 和 1. 证明:

P (B ∣ A) = P (B ∣ \bar{A})

是事件

A

与

B

独立的充分必要条件.

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