一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
以 $\boldsymbol{A}$ 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 $\bar{A}$ 为
$\text{A.}$ “甲种产品滞销，乙种产品畅销"
$\text{B.}$ “甲，乙产品均畅销"
$\text{C.}$ “甲种产品滞销"
$\text{D.}$ “甲种产品滞销或乙种产品畅销"
设当事件 $A$ 与 $B$ 同时发生时，事件 $C$ 必发生，则
$\text{A.}$ $P(C) \leq P(A)+P(B)-1$
$\text{B.}$ $P(C) \geq P(A)+P(B)-1$
$\text{C.}$ $P(C)=P(A B)$
$\text{D.}$ $P(C)=P(A \cup B)$
$n$ 阶方阵 $A$ 具有 $n$ 个不同的特征值是 $A$ 与对角阵相似的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分而非必要条件
$\text{C.}$ 必要而非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
设 $\lambda=2$ 是非奇异矩阵 $A$ 的一个特征值，则 $\left(\frac{1}{3} A^2\right)^{-1}$ 有一特征值等于
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
假设事件 $A$ 和 $B$ 满足 $P(B \mid A)=1$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 是必然事件
$\text{B.}$ $P(B \mid \bar{A})=0$
$\text{C.}$ $A \supset B$
$\text{D.}$ $A \subset B$
设 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, $P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1$ ，则
$\text{A.}$ 事件 $A$ 和 $B$ 互不相容
$\text{B.}$ 事件 $A$ 和 $B$ 互相对立
$\text{C.}$ 事件 $A$ 和 $B$ 互不独立
$\text{D.}$ 事件 $A$ 和 $B$ 相互独立
已知 $0 < P(B) < 1$ 且 $\mathbf{P}\left[\left(A_1+A_2\right) \mid B\right]=P\left(A_1 \mid B\right)+P\left(A_2 \mid B\right) ，$则下列选项成立的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{P}\left[\left(A_1+A_2\right) \mid \bar{B}\right]=P\left(A_1 \mid \bar{B}\right)+P\left(A_2 \mid \bar{B}\right)$
$\text{B.}$ $P\left(A_1 B+A_2 B\right)=P\left(A_1 B\right)+P\left(A_2 B\right)$
$\text{C.}$ $P\left(A_1+A_2\right)=P\left(A_1 \mid B\right)+P\left(A_2 \mid B\right)$
$\text{D.}$ $P(B)=P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)$
设 $A, B, C$ 是三个相互独立的随机事件，且 $0 < P(C) < 1$, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是
$\text{A.}$ $\overline{A+B}$ 与 $C$
$\text{B.}$ $\overline{A C}$ 与 $\bar{C}$
$\text{C.}$ $\overline{A-B}$ 与 $\bar{C}$
$\text{D.}$ $\overline{A B}$ 与 $\bar{C}$
在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的. 在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 $t_0$ ，电炉就断电. 以 $E$ 表示事件“电炉断电”，设
$$
T_{(1)} \leq T_{(2)} \leq T_{(3)} \leq T_{(4)}
$$
为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 $E$ 等于事件
$\text{A.}$ $\left\{T_{(1)} \geq t_0\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{T_{(2)} \geq t_0\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{T_{(3)} \geq t_0\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{T_{(4)} \geq t_0\right\}$
对于任意二事件 $A$ 和 $B$ ，与 $A \cup B=B$ 不等价的是
$\text{A.}$ $A \subset B$
$\text{B.}$ $\bar{B} \subset \bar{A}$
$\text{C.}$ $A \bar{B}=\varnothing$
$\text{D.}$ $\bar{A} B=\varnothing$
对于任意二事件 $A$ 和 $B$
$\text{A.}$ 若 $A B \neq \varnothing$ ，则 $A, B$ 一定独立
$\text{B.}$ 若 $A B \neq \varnothing$ ，则 $A, B$ 有可能独立
$\text{C.}$ 若 $A B=\varnothing$ ，则 $A, B$ 一定独立
$\text{D.}$ 若 $A B=\varnothing$ ，则 $A, B$ 一定不独立
设 $A, B$ 为随机事件，且 $P(B)>0, P(A \mid B)=1$ ，则必有
$\text{A.}$ $P(A \cup B)>P(A)$
$\text{B.}$ $P(A \cup B)>P(B)$
$\text{C.}$ $P(A \cup B)=P(A)$
$\text{D.}$ $P(A \cup B)=P(B)$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 3 维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，则由基 $\alpha_1, \frac{1}{2} \alpha_2, \frac{1}{3} \alpha_3$ 到基 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 / 2 & 1 / 4 & -1 / 6 \\ -1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 6 \\ 1 / 2 & -1 / 4 & 1 / 6\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}
1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 \\
1 / 4 & 1 / 4 & -1 / 4 \\
-1 / 6 & 1 / 6 & 1 / 6
\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cccc}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cccc}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 3 维线性空间的一组基底为 ${\alpha}_{1}=(1,1,0), {\alpha}_{2}=(1,0,1), {\alpha}_{3}=(0,1,1)$, 则向量 ${\beta}=$ $(2,0,0)$ 在上述基底下的坐标是
已知 $A, B$ 两个事件满足条件 $P(A B)=P(\bar{A} \bar{B})$, 且 $P(A)=p$, 则 $P(B)=$
矩阵 $A=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ 的非零特征值是
设对于事件 $A, B, C$ 有 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(A B)=P(B C)=0, P(A C)=\frac{1}{8}$ ，则 $A, B, C$ 三个事件中至少出现一个的概率为
将 $C, C, E, E, I, N, S$ 七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词 $S C I E N C E$ 的概率为 $\qquad$
一批产品共有个 10 正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则第二次抽出的是次品的概率为
设 $A, B$ 是任意两个随机事件，则 $P\{(\bar{A}+B)(A+B)(\bar{A}+\bar{B})(A+\bar{B})\}=$
设两两相互独立的三事件 $A, B$ 和 $C$ 满足条件: $A B C=\varnothing$,
$P(A)=P(B)=P(C) < \frac{1}{2}, P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$
则 $P(A)=$
从 $R^2$ 的基 $\alpha_1=\binom{1}{0}, \alpha_2=\binom{1}{-1}$ 到基 $\beta_1=\binom{1}{1}, \beta_2=\binom{1}{2}$的过渡矩阵为
从数 $1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $X$ ，再从 $1,2, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 Y ，则 $P\{Y=2\}=$
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小干 $\frac{1}{2}$ 的概率为
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 $\frac{1}{2}$ 的概率为
设 $\alpha=(1,1,1)^T ， \beta=(1,0, k)^T$ ，若矩阵 $a \beta^T$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $k=$
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知矩阵 ${A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{array}\right)$ 与 ${B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似.
(1) 求 $x$ 与 $y$;
(2) 求一个满足 ${P}^{-1} {A P}={B}$ 的可逆矩阵 ${P}$.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$, 对应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 9\end{array}\right)$, 又向量 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.
（1）将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性表出;
（2） 求 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{\beta}(n$ 为自然数).
已知 $R^3$ 的两个基为
$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$
$$
\beta_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right], \beta_2=\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
4
\end{array}\right], \beta_3=\left[\begin{array}{l}
3 \\
4 \\
3
\end{array}\right]
$$
求由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵.
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=\lambda_{3}=1$, 对应于 $\lambda_{1}$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $A$.
设矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
2 & x & 2 \\
3 & 1 & 1
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & y
\end{array}\right) .
$$
(1) 求 $x$ 和 $y$ 的值；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\mathrm{P}^{-1} A P=B$.
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $2,4,6, \cdots, 2 n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值， $I$是 $n$ 阶单位阵，计算行列式 $|A-3 I|$ 的值.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，求 $x$ 和 $y$ 应满足的条件.
设 $B$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵， $\alpha_1=(1,1,2,3)^T$,
$$
\alpha_2=(-1,1,4,-1)^T, \alpha_3=(5,-1,-8,9)^T
$$
是齐次方程组 $B x=0$ 的解向量，求 $B x=0$ 的解空间的一个标准正交基.
已知 $\xi=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的一个特征向量.
(I) 试确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\xi$ 所对应的特征值；
(II) 问 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角阵? 说明理由.
设三阶实对称矩阵 $A$ 的特征值是 $1,2,3$ ，矩阵 $A$ 的属于特征值 1,2 的特征向量分别是
$$
\alpha_1=(-1,-1,1)^T, \alpha_2=(1,-2,-1)^T .
$$
(1) 求 $A$ 的属于特征值 3 的特征向量;
(2) 求矩阵 $A$.
设向量 $\alpha=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)^T, \beta=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)^T$ 都是非零向量，且满足条件 $\alpha^T \beta=0$. 记 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\alpha \beta^T$
求: (1) $A^2$;
(2) 矩阵 $A$ 的特征值和特征向量.
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $(A)=n, A_{i j}$ 是 $A=\left(a_{i j}\right)_{\mathrm{m} \times n}$中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|A|} x_i x_j .
$$
(1) 记 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，把 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(X)$ 的矩阵为 $A^{-1}$;
(2) 二次型 $g(X)=X^T A X$ 与 $f(X)$ 的规范形是否相同? 说明理由.
设 $A, B$ 是任意二事件，其中 $A$ 的概率不等于 0 和 1. 证明: $P(B \mid A)=P(B \mid \bar{A})$ 是事件 $A$ 与 $B$ 独立的充分必要条件.