考研4-数学组卷-自助组卷

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考研4

数学

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A

是

n

阶实对称矩阵，

P

是

n

阶可逆矩阵. 已知

n

维向量

α

是

A

的属于特征值

λ

的特征向量，则矩阵

{(P^{- 1} A P)}^{T}

属于特征值

λ

的特征向量是

A.

P^{- 1} α

B.

P^{T} α

C.

P α

D.

{(P^{- 1})}^{T} α

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2. 设

A = (\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array})

，则在实数域上与

A

合同的矩阵为

A.

(\begin{array}{cc} - 2 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array})

B.

(\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array})

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 设

n

阶矩阵

A

的各行元素之和均为零, 且

A

的秩为

n - 1

, 则线性方程组

A x = 0

的通解为

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4. 设

A

为

n

阶矩阵，

| A | \neq 0 ， A^{*}

为

A

的伴随矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，若

A

有特征值

λ

，则

{(A^{*})}^{2} + E

必有特征值

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5. 已知四阶矩阵

A

与

B

相似，矩阵为

A

的特征值

\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}

，则行列式

| B^{- 1} - E | =

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6. 矩阵

(\begin{array}{ccc} 0 & - 2 & 2 \\ 2 & 2 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 2 \end{array})

的非零特征值是

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7. 设

A

为 2 阶矩阵，

α_{1}, α_{2}

为线性无关的 2 维列向量，

A α_{1} = 0, A α_{2} = 2 α_{1} + α_{2}

则

A

的非零特征值为

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8. 若 3 维列向量

α, β

满足

α^{T} β = 2

，其中

α^{T}

为

α

的转置，则矩阵

β a^{T}

的非零特征值为

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三、解答题（共 32 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 问

a, b

为何值时, 线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, \\ x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 1, \\ - x_{2} + (a - 3) x_{3} - 2 x_{4} = b, \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + a x_{4} = - 1 \end{cases}

有唯一解, 无解, 有无穷多组解? 并求出有无穷多组解时的通解.

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10. 设四元齐次线性方程组 (I) 为

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 0, \\ x_{2} - x_{4} = 0 . \end{cases}

又已知某齐次线性方程组 (II) 的通解为

k_{1} (0, 1, 1, 0) +

k_{2} (- 1, 2, 2, 1)

.
(1) 求线性方程组 (I) 的基础解系;
(2) 问线性方程组 (I) 和 (II) 是否有非零公共解?若有, 则求出所有的非零公共解. 若没有, 则说明理由.

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11. 设

{\begin{cases} x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} + x_{4} = 1 \\ x_{2} + a x_{3} - a x_{4} = - 1 \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{4} = 3 \end{cases}

问

a

为何值时方程组有

解，并在有解时求出方程组的通解.

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12. 设

A

为

n

阶矩阵，

λ_{1}

和

λ_{2}

是

A

的两个不同的特征值，

x_{1}, x_{2}

是分别属于

λ_{1}

和

λ_{2}

的特征向量. 试证明

x_{1} + x_{2}

不是

A

的特征向量.

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13. 设线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + a_{1} x_{2} + a_{1}^{2} x_{3} = a_{1}^{3} \\ x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{2}^{2} x_{3} = a_{2}^{3} \\ x_{1} + a_{3} x_{2} + a_{3}^{2} x_{3} = a_{3}^{3} \\ x_{1} + a_{4} x_{2} + a_{4}^{2} x_{3} = a_{4}^{3} \end{cases}

.
(1) 证明: 若

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}

两两不相等，则此方程组无解；
(2) 设

a_{1} = a_{3} = k, a_{2} = a_{4} = - k (k \neq 0)

，且已知

β_{1}, β_{2}

是该方程组的两个解，其中

β_{1} = [\begin{array}{l} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}], β_{2} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]

写出通解

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14. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是齐次线性方程组

A X = 0

的一个基础解系，证明

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

也是该方程组的一个基础解系.

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15. 对于线性方程组

{\begin{cases} λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = λ - 3 \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = - 2 \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = - 2 \end{cases}

，讨论

λ

取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解? 在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.

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16. 已知线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} + 3 x_{4} = 0 \\ 2 x_{1} + x_{2} - 6 x_{3} + 4 x_{4} = - 1 \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + p x_{3} + 7 x_{4} = - 1 \\ x_{1} - x_{2} - 6 x_{3} - x_{4} = t \end{cases}

, 讨论参数

p, t

取何值时，方程组有解? 无解? 当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.

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17. 问

λ

取何值时，方程组

{\begin{cases} 2 x_{1} + λ x_{2} - x_{3} = 1 \\ λ x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2 \\ 4 x_{1} + 5 x_{2} - 5 x_{3} = - 1 \end{cases}

无解?

有唯一解或有无穷解? 并在有无穷解时写出方程组的通解.

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18. 已知下列非齐次线性方程组(I) 和(II)，
(I)

: {\begin{cases} x_{1} + x_{2} - 2 x_{4} = - 6 \\ 4 x_{1} - x_{2} - x_{3} - x_{4} = 1 \\ 3 x_{1} - x_{2} - x_{3} = 3 \end{cases}

(II) :

{\begin{cases} x_{1} + m x_{2} - x_{3} - x_{4} = - 5 \\ n x_{2} - x_{3} - 2 x_{4} = - 11 \\ x_{3} - 2 x_{4} = - t + 1 \end{cases}

(1) 求解方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；
（2）当方程组 (II) 中的参数

m, n, t

为何值时，方程组 (I) 与
(II) 同解.

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19. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} a & - 1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1 - c & 0 & - a \end{array})

，其行列式

| A | = - 1

，又

A

的伴随矩阵

A^{*}

有一个特征值

λ_{0}

，属于

λ_{0}

的一个特征向量为

α = (- 1, - 1, 1)^{T}

，求

a, b, c

和

λ_{0}

的值.

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20. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} a & - 1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1 - c & 0 & - a \end{array})

，其行列式

| A | = - 1

，又

A

的伴随矩阵

A^{*}

有一个特征值

λ_{0}

，属于

λ_{0}

的一个特征向量为

α = (- 1, - 1, 1)^{T}

，求

a, b, c

和

λ_{0}

的值.

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21. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 2 & - 2 \\ - k & - 1 & k \\ 4 & 2 & - 3 \end{array})

，问: 当

k

为何值时，存在可逆矩阵

P

，使得

P^{- 1} A P

为对角矩阵? 并求出

P

和相应的对角矩阵.

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22. 已知线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = 0 \\ a^{2} x_{1} + b^{2} x_{2} + c^{2} x_{3} = 0 \end{cases}

(1)

a, b, c

满足何种关系时，方程组仅有零解?
(2)

a, b, c

满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解.

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23. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将

\frac{1}{6}

熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的

\frac{2}{5}

成为熟练工. 设第

n

年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为

x_{n}

和

y_{n}

，记为向量

(\binom{x_{n}}{y_{n}})

:
(1) 求

(\binom{x_{n + 1}}{y_{n + 1}})

与

(\binom{x_{n}}{y_{n}})

的关系式并写成矩阵形式:

(\binom{x_{n + 1}}{y_{n + 1}}) = A (\binom{x_{n + 1}}{y_{n + 1}})

(2) 验证

η_{1} = (\binom{4}{1}), η_{2} = (\binom{- 1}{1})

是

A

的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；

(3) 当

(\binom{x_{1}}{y_{1}}) = (\binom{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})

时，求

(\binom{x_{n + 1}}{y_{n + 1}})

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24. 已知 3 阶矩阵

A

与三维向量

x

，使得向量组

x, A x, A^{2} x

线性无关，且满足

A^{3} x = 3 A x - 2 A^{2} x

.
(1) 记

P = (x, A x, A^{2} x)

，求 3 阶矩阵

B

，使

A = P B P^{- 1}

；
(2) 计算行列式

∣ A + E

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25. 设实对称矩阵

A = (\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & - 1 \\ 1 & - 1 & a \end{array})

，求可逆矩阵

P

，使

P^{- 1} A P

为对角形矩阵，并计算行列式

| A - E |

的值.

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26. 设

A

为 3 阶实对称矩阵，且满足条件

A^{2} + 2 A = O

，已知

A

的秩

r (A) = 2

，
(1) 求

A

得全部特征值;
(2) 当

k

为何值时，矩阵

A + k E

为正定矩阵，其中

E

为 3 阶单位矩阵.

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27. 设

A = (\begin{array}{lll} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{array}) ， P = (\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) ， B = P^{- 1} A^{*} P

，求

B + 2 E

的特征值与特征向量，其中

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，

E

为 3 阶单位矩阵.

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28. 若矩阵

A = (\begin{array}{lll} 2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & a \\ 0 & 0 & 6 \end{array})

相似于对角阵

Λ

，试确定常数

a

的值；并求可逆矩阵

P

使

P^{- 1} A P = Λ

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29. 设矩阵

A = (\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array})

可逆，向量

α = (\begin{array}{l} 1 \\ b \\ 1 \end{array})

是矩阵

A^{*}

的
一个特征向量，

λ

是

α

对应的特征值，其中

A^{*}

是矩阵

A

的伴随矩阵. 试求

a, b

和

λ

的值.

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30. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 3 \\ - 1 & 4 & - 3 \\ 1 & a & 5 \end{array})

的特征方程有一个二重根，求

a

的值，并讨论

A

是否可相似对角化.

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31. 设三阶实对称矩阵

A

的秩为

2 ， λ_{1} = λ_{2} = 6

是

A

的二重特征值. 若

α_{1} = (1, 1, 0)^{T}, α_{2} = (2, 1, 1)^{T}, α_{3} = (- 1, 2, - 3)^{T}

都为

A

的属于特征值 6 的特征向量.
(1) 求

A

的另一特征值与特征向量;
(2) 求矩阵

A

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32. 设

n

阶矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & b & \dots & b \\ b & 1 & \dots & b \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ b & b & \dots & 1 \end{array})

(1) 求

A

的特征值和特征向量；
(2) 求可逆矩阵

P

，使得

P^{- 1} A P

为对角矩阵.

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33. 设

A

为三阶矩阵，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是线性无关的三维列向量，
且满足

A α_{1} = α_{1} + α_{2} + α_{3}, A α_{2} = 2 α_{2} + α_{3}

A α_{3} = 2 α_{2} + 3 α_{3}

.
(1) 求矩阵

B

，使得

A (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) B

;
(2) 求矩阵

A

的特征值;
(3) 求可逆矩阵

P

，使得

P^{- 1} A P

为对角矩阵.

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34. 设 3 阶对称矩阵

A

的特征值

λ_{1} = 1, λ_{2} = - 2, λ_{3} = - 2

，且

α_{1} = (1, - 1, 1)^{T}

是

A

的属于

λ_{1}

的一个特征向量，记

B = A^{5} - 4 A^{3} + E,

其中

E

为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证

α_{1}

是矩阵

B

的特征向量，并求

B

的全部特征值与特征向量；
(2) 求矩阵

B

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35. 设 3 阶对称矩阵

A

的特征值

λ_{1} = 1, λ_{2} = - 2, λ_{3} = - 2

，且

α_{1} = (1, - 1, 1)^{T}

是

A

的属于

λ_{1}

的一个特征向量，记

B = A^{5} - 4 A^{3} + E

，其中

E

为 3 阶单位矩阵.
(I) 验证

α_{1}

是矩阵

B

的特征向量，并求

B

的全部特征值与特征向量；
(ㅍ) 求矩阵

B

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36. 设

A

为 3 阶矩阵，

α_{1}, α_{2}

为

A

的分别属于特征值

- 1, 1

的特征向量，向量

α_{3}

满足

A α_{3} = α_{2} + α_{3}

.
(1) 证明

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关；
(2) 令

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，求

P^{- 1} A P

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37. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a x_{1}^{2} + a x_{2}^{2} + (a - 1) x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3}

(1) 求二次型

f

的矩阵的所有特征值;
(2) 若二次型

f

的规范形为

y_{1}^{2} + y_{2}^{2}

，求

a

的值.

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38. 设

A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 4 \\ - 1 & 3 & a \\ 4 & a & 0 \end{array})

, 正交矩阵

Q

使得

Q^{T} A Q

为对角矩阵，若

Q

的第 1 列为

\frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, 1)^{T}

，求

a, Q

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39. 设

A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 4 \\ - 1 & 3 & a \\ 4 & a & 0 \end{array})

, 正交矩阵

Q

使得

Q^{T} A Q

为对角矩阵，若

Q

的第 1 列为

\frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, 1)^{T}

，求

a, Q

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40. 设

A

为三阶实对称矩阵，

A

的秩

r (A) = 2

，且

A (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}) .

（1）求

A

的特征值与特征向量；
（2）求矩阵

A

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