一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵， $P$ 是 $n$ 阶可逆矩阵. 已知 $n$ 维向量 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则矩阵 $\left(P^{-1} A P\right)^T$属于特征值 $\boldsymbol{\lambda}$ 的特征向量是
$\text{A.}$ $P^{-1} \alpha$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{P}^T \boldsymbol{\alpha}$
$\text{C.}$ $P \alpha$
$\text{D.}$ $\left(P^{-1}\right)^T \alpha$
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $A$ 合同的矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零, 且 $A$ 的秩为 $n-1$, 则线性方程组 $A x=0$ 的通解 为
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $|A| \neq 0 ， A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $A$ 有特征值 $\boldsymbol{\lambda}$ ，则 $\left(A^*\right)^2+E$ 必有特征值
已知四阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，矩阵为 $A$ 的特征值 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，则行列式 $\left|B^{-1}-E\right|=$
矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right)$ 的非零特征值是
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为线性无关的 2 维列向量，
$$
A \alpha_1=0, A \alpha_2=2 \alpha_1+\alpha_2
$$
则 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为
若 3 维列向量 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^T \beta=2$ ，其中 $\alpha^T$ 为 $\alpha$ 的转置，则矩阵 $\boldsymbol{\beta a}{ }^T$ 的非零特征值为
三、解答题 （ 共 32 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=1, \\
-x_{2}+(a-3) x_{3}-2 x_{4}=b, \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+a x_{4}=-1
\end{array}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多组解? 并求出有无穷多组解时的通解.
设四元齐次线性方程组 (I) 为 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=0, \\ x_{2}-x_{4}=0 .\end{array}\right.$ 又已知某齐次线性方程组 (II) 的通解为 $k_{1}(0,1,1,0)+$ $k_{2}(-1,2,2,1)$.
(1) 求线性方程组 (I) 的基础解系;
(2) 问线性方程组 (I) 和 (II) 是否有非零公共解?若有, 则求出所有的非零公共解. 若没有, 则说 明理由.
设 $\left\{\begin{array}{l}x_1+3 x_2+2 x_3+x_4=1 \\ x_2+a x_3-a x_4=-1 \\ x_1+2 x_2+3 x_4=3\end{array}\right.$
问 $a$ 为何值时方程组有
解，并在有解时求出方程组的通解.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶矩阵， $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值， $x_1, x_2$ 是分别属于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的特征向量. 试证明 $x_1+x_2$ 不是 $A$ 的特征向量.
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\ x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3\end{array}\right.$.
(1) 证明: 若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此方程组无解；
(2) 设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，且已知 $\beta_1, \beta_2$
是该方程组的两个解，其中 $\beta_1=\left[\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \beta_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$
写出通解
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A X}=0$ 的一个基础解系，证明 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 也是该方程组的一个基础解系.
对于线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-3 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}\right.$ ，讨论 $\lambda$ 取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解? 在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-2 x_3+3 x_4=0 \\ 2 x_1+x_2-6 x_3+4 x_4=-1 \\ 3 x_1+2 x_2+p x_3+7 x_4=-1 \\ x_1-x_2-6 x_3-x_4=t\end{array}\right.$, 讨论参数 $p, t$ 取何值时，方程组有解? 无解? 当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.
问 $\lambda$ 取何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+\lambda x_2-x_3=1 \\ \lambda x_1-x_2+x_3=2 \\ 4 x_1+5 x_2-5 x_3=-1\end{array}\right.$ 无解?
有唯一解或有无穷解? 并在有无穷解时写出方程组的通解.
已知下列非齐次线性方程组(I) 和(II)，
(I) $:\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-2 x_4=-6 \\ 4 x_1-x_2-x_3-x_4=1 \\ 3 x_1-x_2-x_3=3\end{array}\right.$
(II) : $\left\{\begin{array}{l}x_1+m x_2-x_3-x_4=-5 \\ n x_2-x_3-2 x_4=-11 \\ x_3-2 x_4=-t+1\end{array}\right.$
(1) 求解方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；
（2）当方程组 (II) 中的参数 $m, n, t$ 为何值时，方程组 (I) 与
(II) 同解.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ ，其行列式 $|A|=-1$ ，又 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 有一个特征值 $\lambda_0$ ，属于 $\lambda_0$ 的一个特征向量为 $\alpha=(-1,-1,1)^T$ ，求 $a, b, c$ 和 $\lambda_0$ 的值.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ ，其行列式 $|A|=-1$ ，又 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 有一个特征值 $\lambda_0$ ，属于 $\lambda_0$ 的一个特征向量为 $\alpha=(-1,-1,1)^T$ ，求 $a, b, c$ 和 $\lambda_0$ 的值.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ，问: 当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵? 并求出 $P$ 和相应的对角矩阵.
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0 \\ a x_1+b x_2+c x_3=0 \\ a^2 x_1+b^2 x_2+c^2 x_3=0\end{array}\right.$
(1) $a, b, c$ 满足何种关系时，方程组仅有零解?
(2) $a, b, c$ 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解.
某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 $\frac{1}{6}$ 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的 $\frac{2}{5}$ 成为熟练工. 设第 $n$ 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 $x_n$ 和 $y_n$ ，记为向量 $\binom{x_n}{y_n}$ :
(1) 求 $\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}$ 与 $\binom{x_n}{y_n}$ 的关系式并写成矩阵形式:
$$
\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=A\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}
$$
(2) 验证 $\eta_1=\binom{4}{1}, \eta_2=\binom{-1}{1}$ 是 $A$ 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；
(3) 当 $\binom{x_1}{y_1}=\binom{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$ 时，求 $\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}$.
已知 3 阶矩阵 $A$ 与三维向量 $x$ ，使得向量组 $x, A x, A^2 x$线性无关，且满足 $A^3 x=3 A x-2 A^2 x$.
(1) 记 $P=\left(x, A x, A^2 x\right)$ ，求 3 阶矩阵 $B$ ，使 $A=P B P^{-1}$ ；
(2) 计算行列式 $\mid A+E$.
设实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a\end{array}\right)$ ，求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角形矩阵，并计算行列式 $|A-E|$ 的值.
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 $A^2+2 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $r(A)=2$ ，
(1) 求 $A$ 得全部特征值;
(2) 当 $k$ 为何值时，矩阵 $A+k E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{array}\right) ， P=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) ， B=P^{-1} A^* P$ ，求 $B+2 E$ 的特征值与特征向量，其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
若矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & a \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ 相似于对角阵 $\Lambda$ ，试确定常数 $a$ 的值；并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $P^{-1} A P=\Lambda$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ 可逆，向量 $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ b \\ 1\end{array}\right)$ 是矩阵 $A^*$ 的
一个特征向量， $\lambda$ 是 $\alpha$ 对应的特征值，其中 $A^*$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵. 试求 $a, b$ 和 $\lambda$ 的值.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5\end{array}\right)$ 的特征方程有一个二重根，求 $a$ 的值，并讨论 $A$ 是否可相似对角化.
设三阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2 ， \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值. 若
$$
\alpha_1=(1,1,0)^T, \alpha_2=(2,1,1)^T, \alpha_3=(-1,2,-3)^T
$$
都为 $A$ 的属于特征值 6 的特征向量.
(1) 求 $A$ 的另一特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & b & \cdots & b \\ b & 1 & \cdots & b \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b & b & \cdots & 1\end{array}\right)$
(1) 求 $A$ 的特征值和特征向量；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是线性无关的三维列向量，
且满足 $A \alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, A \alpha_2=2 \alpha_2+\alpha_3$,
$A \alpha_3=2 \alpha_2+3 \alpha_3$.
(1) 求矩阵 $B$ ，使得 $A\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) B$;
(2) 求矩阵 $A$ 的特征值;
(3) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵.
设 3 阶对称矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=-2, \lambda_3=-2$ ，且 $\alpha_1=(1,-1,1)^T$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_1$ 的一个特征向量，记
$$
B=A^5-4 A^3+E,
$$
其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证 $\alpha_1$ 是矩阵 $B$ 的特征向量，并求 $B$ 的全部特征值与特征向量；
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
设 3 阶对称矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=-2, \lambda_3=-2$ ，且 $\alpha_1=(1,-1,1)^T$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_1$ 的一个特征向量，记 $B=A^5-4 A^3+E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
(I) 验证 $\alpha_1$ 是矩阵 $B$ 的特征向量，并求 $B$ 的全部特征值与特征向量；
(ㅍ) 求矩阵 $B$.
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1,1$的特征向量，向量 $\alpha_3$ 满足 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$.
(1) 证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关；
(2) 令 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，求 $P^{-1} A P$.
设二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3
$$
(1) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值;
(2) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$ ，求 $a$ 的值.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$, 正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵，若 $Q$ 的第 1 列为 $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$ ，求 $a, Q$.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$, 正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵，若 $Q$ 的第 1 列为 $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$ ，求 $a, Q$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(A)=2$ ，且
$$
A\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) \text {. }
$$
（1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；
（2）求矩阵 $\boldsymbol{A}$.