试卷3-数学组卷-自助组卷

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试卷3

数学

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 要使

ξ_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}), ξ_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

都是线性方程组

A x = 0

的解, 只要系数矩阵

A

为 ( )

A.

(- 2, 1, 1)

B.

(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & - 1 \\ 4 & - 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})

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2. 设

n

元齐次线性方程组

A X = 0

的系数矩阵

A

的秩为

r

，则

A X = 0

有非零解的充分必要条件是

A.

r = n

B.

r < n

C.

r \geq n

D.

r > n

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3. 设

A

为

m \times n

矩阵，则齐次线性方程组

A X = 0

仅有零解的充分条件是

A.

A

的列向量线性无关

B.

A

的列向量线性相关

C.

A

的行向量线性无关

D.

A

的行向量线性相关

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4. 设

A

是

m \times n

矩阵，

C

是

n

阶可逆矩阵，矩阵

A

的秩为

r

，矩阵

B = A C

的秩为

r_{1}

，则

A.

r > r_{1}

B.

r < r_{1}

C.

r = r_{1}

D.

r

与

r_{1}

的关系依

C

而定

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5. 非齐次线性方程组

A X = b

中未知量个数为

n

，方程个数为

m

，系数矩阵

A

的秩为

r

，则

A.

r = m

时，方程组

A X = b

有解

B.

r = n

时，方程组

A X = b

有唯一解

C.

m = n

时，方程组

A X = b

有唯一解

D.

r < n

时，方程组

A X = b

有无穷多解

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6. 齐次线性方程组

{\begin{cases} λ x_{1} + x_{2} + λ^{2} x_{3} = 0 \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = 0 \end{cases}

的系数矩阵记为

A

，若存在三阶矩阵

B \neq 0

，使得

A B = 0

，则

A.

λ = - 2

且

| B | = 0

B.

λ = - 2

且

| B | \neq 0

C.

λ = 1

且

| B | = 0

D.

λ = 1

且

| B | \neq 0

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7. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是四元非齐次线形方程组

A X = b

的三个解向量，且秩

(A) = 3

，

α_{1} = (1, 2, 3, 4)^{T}, α_{2} + α_{3} = (0, 1, 2, 3)^{T},

c

表示任意常数，则线形方程组

A X = b

的通解

X =

A.

(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}) + c (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}) + c (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})

C.

(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}) + c (\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{array})

D.

(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}) + c (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{array})

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 设

a_{i} \neq a_{i} (i \neq j; i, j = 1, 2, \dots, n)

，

A = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & a_{3}^{n - 1} & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{array}), X = (\begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}), B = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

则线性方程组

A^{T} X = B

的解是

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9. 已知方程组

(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a + 2 \\ 1 & a & - 2 \end{array}) (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array})

无解，则

a =

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10. 设

(\begin{array}{lll} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}) (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

有无穷多个解，则

a =

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三、解答题（共 30 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 已知三阶矩阵

B \neq 0

，且

B

的每一个列向量都是以下方程组的解：

{\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} = 0 \\ 2 x_{1} - x_{2} + λ x_{3} = 0 \\ 3 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0 \end{cases}

(1) 求

λ

的值;
(2) 证明

| B | = 0

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12.

k

为何值时，线性方程组

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + k x_{3} = 4 \\ - x_{1} + k x_{2} + x_{3} = k^{2} \\ x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 4 \end{matrix}

唯
一解、无解、有无穷多组解? 在有解情况下，求出其全部解.

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13. 已知线性方程组

(I)

{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1, 2 n} x_{2 n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2, 2 n} x_{2 n} = 0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n, 2 n} x_{2 n} = 0 \end{matrix}

的一个基础解系为

{(b_{11}, b_{12}, \dots, b_{1, 2 n})}^{T}, {(b_{21}, b_{22}, \dots, b_{2, 2 n})}^{T}

\dots, {(b_{n 1}, b_{n 2}, \dots, b_{n, 2 n})}^{T}

，试写出线性方程组

(II)

{\begin{cases} b_{11} y_{1} + b_{12} y_{2} + \dots + b_{1, 2 n} y_{2 n} = 0 \\ b_{21} y_{1} + b_{22} y_{2} + \dots + b_{2, 2 n} y_{2 n} = 0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ b_{n 1} y_{1} + b_{n 2} y_{2} + \dots + b_{n, 2 n} y_{2 n} = 0 \end{cases}

的通解，并说明理由.

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14. 设

α = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}), β = (\begin{array}{l} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array}), γ = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 8 \end{array}), A = α β^{T}, B = β^{T} α

，
其中

β^{T}

是

β

的转置，求解方程

2 B^{2} A^{2} x = A^{4} x + B^{4} x + γ

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15. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

为线性方程组

A x = 0

的一个基础解系，

\begin{matrix} β_{1} = t_{1} α_{1} + t_{2} α_{2}, β_{2} = t_{1} α_{2} + t_{2} α_{3}, \dots, \\ β_{s} = t_{1} α_{s} + t_{2} α_{1}, \end{matrix}

其中

t_{1}, t_{2}

为实常数. 试问

t_{1}, t_{2}

满足什么条件时，

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

也为

A x = 0

的一个基础解系.

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16. 已知 4 阶方阵

A = (α_{1}, α_{2} α_{3}, α_{4}) ， α_{1}, α_{2} α_{3}, α_{4}

均为 4 维列向量，其中

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关，

α_{1} = 2 α_{2} - α_{3}

，如果

β = α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}

，求线性方程组

A x = β

的通解.

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17. 已知 4 阶方阵

A = (α_{1}, α_{2} α_{3}, α_{4}) ， α_{1}, α_{2} α_{3}, α_{4}

均为 4 维列向量，其中

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关，

α_{1} = 2 α_{2} - α_{3}

，如果

β = α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}

，求线性方程组

A x = β

的通解.

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18. 设四元齐次方程组

(I) : {\begin{cases} 2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} = 0, \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0, \end{cases}

且已知另一四元齐次线性方程组

(I I)

的一个基础解系为

α_{1} = (2, - 1, a + 2, 1)^{T}, α_{2} = (- 1, 2, 4, a + 8)^{T} .

（1）求方程组

(I)

的一个基础解系;
（2）当

a

为何值时，方程组

(I)

与

(I I)

有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解.

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19. 设齐次线性方程组

{\begin{matrix} a x_{1} + b x_{2} + b x_{3} + \dots + b x_{n} = 0 \\ b x_{1} + a x_{2} + b x_{3} + \dots + b x_{n} = 0 \\ \dots \dots \dots \\ b x_{1} + b x_{2} + b x_{3} + \dots + a x_{n} = 0 \end{matrix}

，其中

a \neq 0, b \neq 0, n \geq 2

，试讨论

a, b

为何值时，方程仅有零解、有无穷多解? 在有无穷多个解时，求出全部解，并且基础解系表示全部解.

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20. 已知平面上三条不同直线的方程分别为

\begin{matrix} l_{1} : a x + 2 b y + 3 c = 0, l_{2} : b x + 2 c y + 3 a = 0, \\ l_{3} : c x + 2 a y + 3 b = 0 . \end{matrix}

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

a + b + c = 0

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21. 已知平面上三条不同直线的方程分别为

\begin{matrix} l_{1} : a x + 2 b y + 3 c = 0, \\ l_{2} : b x + 2 c y + 3 a = 0, \\ l_{3} : c x + 2 a y + 3 b = 0 . \end{matrix}

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

a + b + c = 0

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22. 已知齐次线性方程组

{\begin{matrix} (a_{1} + b) x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} + \dots + a_{n} x_{n} = 0 \\ a_{1} x_{1} + (a_{2} + b) x_{2} + a_{3} x_{3} + \dots + a_{n} x_{n} = 0 \\ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + (a_{3} + b) x_{3} + \dots + a_{n} x_{n} = 0 \\ \dots \dots \\ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} + \dots + (a_{n} + b) x_{n} = 0 \end{matrix}

其中

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \neq 0

. 试讨论

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

和

b

满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解;
（2）方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

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23. 设有齐次线性方程组

{\begin{matrix} (1 + a) x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0, \\ 2 x_{1} + (2 + a) x_{2} + \dots + 2 x_{n} = 0, (n \geq 2) \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ n x_{1} + n x_{2} + \dots + (n + a) x_{n} = 0, \end{matrix}

试问

a

取何值时，该方程组有非零解，并求出其非零解.

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24. 设有齐次线性方程组

{\begin{matrix} (1 + a) x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, \\ 2 x_{1} + (2 + a) x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 0, \\ 3 x_{1} + 3 x_{2} + (3 + a) x_{3} + 3 x_{4} = 0, \\ 4 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} + (4 + a) x_{4} = 0, \end{matrix}

试问

a

取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

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25. 设方程组

{\begin{cases} x_{1} + λ x_{2} + μ x_{3} + x_{4} = 0 \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 x_{4} = 0 \\ 3 x_{1} + (2 + λ) x_{2} + (4 + μ) x_{3} + 4 x_{4} = 1 \end{cases}

.
已知

(1, - 1, 1, - 1)^{T}

是该方程组的一个解，试求:
（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系

表示全部解;

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26. 设

α_{1} = (1, 2, 0)^{T}, α_{2} = (1, a + 2, - 3 a)^{T}

，

α_{3} = (- 1, - b, - 2, a + 2 b)^{T}, β = (1, 3, - 3)^{T}

，

试讨论当

a, b

为何值时，
(1)

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示;
（2）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

唯一地线性表示，并求出表示式；
(3)

β

可由

α_{1} α_{2}, α_{3}

线性表示，但表示式不唯一，并求表示式.

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27. 已知三阶矩阵

A

的第一行是

(a, b, c), a, b, c

不全为零，矩阵

B = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k \end{array}]

(

k

为常数)，且

A B = 0

，求线性方程组

A X = 0

的通解.

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28. 已知齐次线性方程组
( I )

{\begin{matrix} x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0, \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} = 0, \\ x_{1} + x_{2} + a x_{3} = 0 \end{matrix}

(ㅍ)

{\begin{matrix} x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = 0, \\ 2 x_{1} + b^{2} x_{2} + (c + 1) x_{3} = 0 \end{matrix}

同解，求

a, b, c

的值.

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29. 已知非齐次线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 1 \\ 4 x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} - x_{4} = - 1 \\ a x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + b x_{4} = 1 \end{cases} ，

有 3 个线性无关的解.
(1) 证明方程组系数矩阵

A

的秩

r (A) = 2

；
(2) 求

a, b

的值及方程组的通解.

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30. 已知非齐次线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 1 \\ 4 x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} - x_{4} = - 1 ， \\ a x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + b x_{4} = 1 \end{cases}

有三个线性无关的解.
(1) 证明方程组系数矩阵

A

的秩

r (A) = 2

；
(2) 求

a, b

的值及方程组的通解.

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31. 设线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0 \\ x_{1} + 4 x_{2} + a^{2} x_{3} = 0 \end{cases}

与方程组

x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = a - 1

有公共解，求

a

的值及所有公共解.

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32. 设线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0 \\ x_{1} + 4 x_{2} + a^{2} x_{3} = 0 \end{cases}

与方程组

x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = a - 1

有公共解，求

a

的值及所有公共解.

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33. 设 3 阶对称矩阵

A

的特征值

λ_{1} = 1, λ_{2} = - 2, λ_{3} = - 2

，且

α_{1} = (1, - 1, 1)^{T}

是

A

的属于

λ_{1}

的一个特征向量，记

B = A^{5} - 4 A^{3} + E,

其中

E

为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证

α_{1}

是矩阵

B

的特征向量，并求

B

的全部特征值与特征向量;
(2) 求矩阵

B

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34. 设线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0 \\ x_{1} + 4 x_{2} + a^{2} x_{3} = 0 \end{cases}

与方程组

x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = a - 1

有公共解，求

a

的值及所有公共解.

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35. 设

n

元线性方程组

A x = b

，其中

A = {(\begin{array}{cccccc} 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a \end{array})}_{n \times n}, x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

(1) 证明行列式

| A | = (n + 1) a^{n}

;
(2) 当

a

为何值时，该方程组有惟一解，并求

x_{1}

.
(3) 当

a

为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.

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36. 设

n

元线性方程组

A x = b

，其中

A = {(\begin{array}{ccccccc} 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a \end{array})}_{n \times n}, x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

(1) 证明行列式

| A | = (n + 1) a^{n}

;
(2) 当

a

为何值时，该方程组有惟一解，并求

x_{1}

.
(3) 当

a

为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.

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37. 设

n

元线性方程组

A x = b

，其中

A = {(\begin{array}{cccccc} 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a \end{array})}_{n \times n}

, x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

(I) 证明行列式

| A | = (n + 1) a^{n}

;
(II) 当

a

为何值时，该方程组有惟一解，并求

x_{1}

.
(III) 当

a

为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.

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38. 设

A = (\begin{array}{ccc} λ & 1 & 1 \\ 0 & λ - 1 & 0 \\ 1 & 1 & λ \end{array}), b = (\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \end{array})

. 已知线性方程组

A x = b

存在两个不同的解.
（1）求

λ, a

.
（2）求方程组

A x = b

的通解.

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39. 设

A = (\begin{array}{ccc} λ & 1 & 1 \\ 0 & λ - 1 & 0 \\ 1 & 1 & λ \end{array}) ， b = (\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \end{array})

. 已知线性方程组

A x = b

存在两个不同的解.
（1）求

λ, a

.
(2) 求方程组

A x = b

的通解.

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40. 设

A = (\begin{array}{ccc} λ & 1 & 1 \\ 0 & λ - 1 & 0 \\ 1 & 1 & λ \end{array}), b = (\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \end{array})

. 已知线性方程组

A x = b

存在两个不同的解.
（1）求

λ, a

.
（2）求方程组

A x = b

的通解.

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