试卷2-数学组卷-自助组卷

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试卷2

数学

一、单选题（共 17 题），每题只有一个选项正确

n

维向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} (3 ⩽ s ⩽ n)

线性无关的充分必要条件是（　　）

A.

存在一组不全为零的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}

, 使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s} \neq 0

B.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意两个向量都线性无关.

C.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.

D.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.

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2. 已知向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关, 则向量组

A.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{4}, α_{4} + α_{1}

线性无关.

B.

α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{4}, α_{4} - α_{1}

线性无关.

C.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{4}, α_{4} - α_{1}

线性无关.

D.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} - α_{4}, α_{4} - α_{1}

线性无关.

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3. 向量组

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

线性无关的充分条件是

A.

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

均不为零向量

B.

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

中任意两个向量的分量不成比例

C.

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

中任意一个向量均不能由其余

s - 1

个向量线性表示

D.

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

中有一部分向量线性无关

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4. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

均为

n

维向量，那么下列结论正确的是

A.

若

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = 0

，则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性相关

B.

若对任意一组不全为零的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

，都有

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} \neq 0 ，

则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性无关

C.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性相关，则对任意一组不全为零的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

，都有

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = 0

D.

若

0 α_{1} + 0 α_{2} + \dots + 0 α_{m} = 0

，则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性无关

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5. 设向量组

α_{1} = (1, - 1, 2, 4), α_{2} = (0, 3, 1, 2), α_{3} = (3, 0, 7, 14)

α_{4} = (1, - 2, 2, 4), α_{5} = (2, 1, 5, 10)

，则该向量组的极大线性无关组是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}, α_{4}

C.

α_{1}, α_{2}, α_{5}

D.

α_{1}, α_{2}, α_{4}, α_{5}

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6. 设

n

维行向量

α = (\frac{1}{2}, 0 \dots, 0 \frac{1}{2})

，矩阵

A = E - α^{T} α, B = E + 2 α^{T} α,

其中

E

为

n

阶单位矩阵，则

A B

等于

A.

B.

- E

C.

E

D.

E + α^{T} α

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7. 设有任意两个

n

维向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

和

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}

，若存在两组不全为零的

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}

和

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

，使

(λ_{1} + k_{1}) α_{1} + \dots + (λ_{m} + k_{m}) α_{m}

+ (λ_{1} - k_{1}) β_{1} + \dots + (λ_{m} - k_{m}) β_{m} = 0

，则

A.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

和

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}

都线性相关

B.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

和

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}

都线性无关

C.

α_{1} + β_{1}, α_{2} + β_{2}, \dots, α_{m} + β_{m}, α_{1} - β_{1}, α_{2} - β_{2}

\dots, α_{m} - β_{m}

线性无关

D.

α_{1} + β_{1}, α_{2} + β_{2}, \dots, α_{m} + β_{m}, α_{1} - β_{1}, α_{2} - β_{2}

\dots, α_{m} - β_{m}

线性相关

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8. 设

α_{1} = (\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array})

，则三条直线

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0, a_{3} x + b_{3} y + c_{3} = 0

(其中

a_{i}^{2} + b_{i}^{2} \neq 0, i = 1, 2, 3

) 交于一点的充要条件是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关

B.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关

C.

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = r (α_{1}, α_{2})

D.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，

α_{1}, α_{2}

线性无关

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9. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，则下列向量组线性无关的是

A.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} - α_{1}

B.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{1} + 2 α_{2} + α_{3}

C.

α_{1} + 2 α_{2}, 2 α_{2} + 3 α_{3}, 3 α_{3} + α_{1}

D.

α_{1} + α_{2} + α_{3}, 2 α_{1} - 3 α_{2} + 22 α_{3}, 3 α_{1} + 5 α_{2} - 5 α_{3}

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10. 设矩阵

(\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array})

是满秩的，则两直线

\frac{x - a_{3}}{a_{1} - a_{2}} = \frac{y - b_{3}}{b_{1} - b_{2}} = \frac{z - c_{3}}{c_{1} - c_{2}}, \frac{x - a_{1}}{a_{2} - a_{3}} = \frac{y - b_{1}}{b_{2} - b_{3}} = \frac{z - c_{1}}{c_{2} - c_{3}}

A.

相交于一点

B.

重合

C.

平行但不重合

D.

异面

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11. 若向量组

α, β, γ

线性无关，

α, β, δ

线性相关，则

A.

α

必可由

β, γ, δ

线性表示

B.

β

必不可由

α, γ, δ

线性表示

C.

δ

必可由

α, β, γ

线性表示

D.

δ

必不可由

α, β, γ

线性表示

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12. 设向量

β

可由向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性表示，但不能由向量组(I):

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}

线性表示，记向量组(II):

α_{1}

α_{2}, \dots, α_{m - 1}, β

，则

A.

α_{m}

不能由 (I)线性表示，也不能由(II)线性表示

B.

α_{m}

不能由 (I) 线性表示，但可由 (II)线性表示

C.

α_{m}

可由 (I) 线性表示，也可由(II)线性表示

D.

α_{m}

可由 (I) 线性表示，但不可由(II)线性表示

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13. 设

n

维列向量组

α_{1}, \dots, α_{m} (m < n)

线性无关，则

n

维列向量组

β_{1}, \dots, β_{m}

线性无关的充分必要条件为

A.

向量组

α_{1}, \dots, α_{m}

可由向量组

β_{1}, \dots, β_{m}

线性表示

B.

向量组

β_{1}, \dots, β_{m}

可由向量组

α_{1}, \dots, α_{m}

线性表示

C.

向量组

α_{1}, \dots, α_{m}

与向量组

β_{1}, \dots, β_{m}

等价

D.

矩阵

A = (α_{1}, \dots, α_{m})

与矩阵

B = (β_{1}, \dots, β_{m})

等价

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14. 11、设

A

是

n

阶矩阵，

α

是

n

维列向量. 若秩

(\begin{array}{ll} A & α \\ α^{T} & 0 \end{array}) =

秩

(A)

，则线性方程组

A.

A X = α

必有无穷多解

B.

A X = α

必有惟一解

C.

(\begin{array}{cc} A & α \\ α^{T} & 0 \end{array}) (\binom{X}{y}) = 0

仅有零解

D.

(\begin{array}{cc} A & α \\ α^{T} & 0 \end{array}) (\binom{X}{y}) = 0

必有非零解

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15. 设有三张不同平面的方程

a_{i 1} x + a_{i 2} y + a_{i 3} z = b_{i}, i = 1, 2, 3 ，

它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2 ，则这三张平面可能的位置关系为

A.

B.

C.

D.

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16. 设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，则线性方程组

(A B) x = O

A.

当

n > m

时仅有零解

B.

当

n > m

时必有非零解

C.

当

m > n

时仅有零解

D.

当

m > n

时必有非零解

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17. 设有齐次线性方程组

A x = 0

和

B x = 0

，其中

A, B

均为

m \times n

矩阵，现有 4 个命题:
(1) 若

A x = 0

的解均是

B x = 0

的解，则

r (A) \geq r (B)

(2) 若

r (A) \geq r (B)

，则

A x = 0

的解均是

B x = 0

的解
(3) 若

A x = 0

与

B x = 0

同解，则

r (A) = r (B)

(4) 若

r (A) = r (B)

，则

A x = 0

与

B x = 0

同解以上命题中正确的是

A.

(1)(2)

B.

(1)(3)

C.

(2)(4)

D.

(3)(4)

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

18. 已知向量组

α_{1} = (1, 2, 3, 4), α_{2} = (2, 3, 4, 5), α_{3} = (3, 4, 5, 6), α_{4} = (4, 5, 6, 7)

, 则该向量的秩是

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19. 已知向量组

α_{1} = (1, 2, - 1, 1), α_{2} = (2, 0, t, 0), α_{3} =

(0, - 4, 5, - 2)

的秩为 2 ，则

t =

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20. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{4}

为线性方程组

A x = 0

的一个基础解系，

\begin{aligned} β_{1} = α_{1} + t α_{2}, β_{2} = α_{2} + t α_{3}, \\ β_{3} = α_{3} + t α_{4}, β_{4} = α_{4} + t α_{1}, \end{aligned}

其中

t

为实常数. 试问

t

满足什么条件时，

β_{1}, β_{2}, β_{3}, β_{4}

也为

A x = 0

的一个基础解系.

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21. 设向量组

α_{1} = (a, 0, c), α_{2} = (b, c, 0), α_{3} = (0, a, b)

线性无关，则

a, b, c

必须满足关系式

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22. 设

A = {(a_{i j})}_{3 \times 3}

是实正交矩阵，且

a_{11} = 1, b = (1, 0, 0)^{T}

，则线性方程组

A x = b

的解是

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23. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

均为三维列向量，记矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

B = (α_{1} + α_{2} + α_{3}, α_{1} + 2 α_{2} + 4 α_{3}, α_{1} + 3 α_{2} + 9 α_{3}) ，

如果

| A | = 1

，那么

| B | =

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24. 已知

α_{1}, α_{2}

为 2 维列向量，矩阵

A = (2 α_{1} + α_{2}, α_{1} - α_{2})

B = (α_{1}, α_{2})

. 若行列式

| A | = 6

，则

| B | =

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25. 设

α_{1} = (1, 2, - 1, 0)^{T}, α_{2} = (1, 1, 0, 2)^{T}, α_{3} = (2, 1

1, a)^{T}

，若由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

形成的向量空间的维数是 2，则

a =

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三、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

26. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关, 向量组

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关, 问:
(1)

α_{1}

能否由

α_{2}, α_{3}

线性表出? 证明你的结论.
(2)

α_{4}

能否由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表出?证明你的结论.

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27. 设

A

是

n \times m

矩阵,

B

是

m \times n

矩阵, 其中

n < m, E

是

n

阶单位矩阵, 若

A B = E

, 证明

B

的列向量组线性无关.

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28. 设

α_{1} = [\begin{matrix} 1 + λ \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], α_{2} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 + λ \\ 1 \end{matrix}], α_{3} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 + λ \end{matrix}], β = [\begin{matrix} 0 \\ λ \\ λ^{2} \end{matrix}]

,
问

λ

取何值时，
（1）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表达式
唯一?
（2）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表达式不唯一?
（3）

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示?

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29. 试证明

n

维列向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性无关的充分必要条件是

D = | \begin{array}{cccc} α_{1}^{T} α_{1} & α_{1}^{T} α_{2} & \dots & α_{1}^{T} α_{n} \\ α_{2}^{T} α_{1} & α_{2}^{T} α_{2} & \dots & α_{2}^{T} α_{n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ α_{n}^{T} α_{1} & α_{n}^{T} α_{2} & \dots & α_{n}^{T} α_{n} \end{array} | \neq 0

,

其中

α_{i}^{T}

表示列向量

α_{i}

的转置，

i = 1, 2, \dots, n

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30. 设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，

E

是

n

阶单位矩阵

(m > n)

. 已知

B A = E

，试判断

A

的列向量组是否线性相关? 为什么?

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31. 已知向量组 (I):

α_{1}, α_{2}, α_{3}

, (II):

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

,
(III):

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{5}

，如果各向量组的秩分别为

R (I) = R (II) = 3, R (III) = 4,

证明: 向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{5} - α_{4}

的秩为 4 .

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32. 设向量

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{t}

是齐次线性方程组

A X = 0

的一个基础解系，向量

β

不是方程组

A X = 0

的解，即

A β \neq 0

，试证明：向量组

β, β + α_{1}, β + α_{2}, \dots, β + α_{t}

，线性无关.

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33. 设

A

是

n

阶矩阵，若存在正整数

k

，使线性方程组

A^{k} x = 0

有解向量

α

，且

A^{k - 1} α \neq 0

.
证明: 向量组

α, A α, \dots, A^{k - 1} α

是线性无关的.

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34. 已知

α_{1} = (1, 4, 0, 2)^{T}, α_{2} = (2, 7, 1, 3)^{T}, α_{3} = (0, 1, - 1, a)^{T}

，

β = (3, 10, b, 4)^{T}

，问:
（1）

a, b

取何值时，

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示?
（2）

a, b

取何值时，

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示? 并写出此表示式.

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35. 设向量组

α_{1} = (1, 1, 1, 3)^{T}, α_{2} = (- 1, - 3, 5, 1)^{T}, α_{3} =

(3, 2, - 1, p + 2)^{T}, α_{4} = (- 2, - 6, 10, p)^{T}

.
（1）

p

为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将向量

α = (4, 1, 6, 10)^{T}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性表出；
（2）

p

为何值时，该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.

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36. 已知向量组

β_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), β_{2} = (\begin{array}{l} a \\ 2 \\ 1 \end{array}), β_{3} = (\begin{array}{l} b \\ 1 \\ 0 \end{array})

与向量组

α_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}), α_{2} = (\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}), α_{3} = (\begin{matrix} 9 \\ 6 \\ - 7 \end{matrix})

具有相同的秩，且

β_{3}

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，求

a, b

的值.

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37. 设向量组

α_{1} = (a, 2, 10)^{T}, α_{2} = (- 2, 1, 5)^{T}, α_{3} = (- 1

1, 4)^{T}, β = (1, b, c)^{T}

，试问: 当

a, b, c

满足什么条件时:
（1）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表出，且表示唯一?
（2）

β

不可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表出?
（3）

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表出，但表示不唯一? 并求出一般表达式.

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38. 设

α_{i} = {(a_{i 1}, a_{i 2}, \dots a_{i n})}^{T} (i = 1, 2, \dots, r; r < n)

是

n

维实向量，且

α_{1}, α_{2}, \dots α_{r}

线性无关. 己知

β = {(b_{1}, b_{2}, \dots b_{n})}^{T}

是线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots a_{1 n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots a_{2 n} x_{n} = 0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{r 1} x_{1} + a_{r 2} x_{2} + \dots a_{r n} x_{n} = 0 \end{cases}

的非零解向量. 试判断向量组

α_{1}, α_{2}, \dots α_{r}, β

的线性相关性.

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39. 设有向量组

(I) : α_{1} = (1, 0, 2)^{T}, α_{2} = (1, 1, 3)^{T}, α_{3} =

(1, - 1, a + 2)^{T}

和

(I I) : β_{1} = (1, 2, a + 3)^{T}, β_{2} = (2, 1, a + 6)^{T}

β_{3} = (2, 1, a + 4)^{T}

. 试问: 当

a

为何值时，两个向量组等价?当

a

为何值时，两个向量组不等价?

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40. 已知三阶矩阵

A

的第一行是

(a, b, c), a, b, c

不全为零，矩阵

B = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k \end{array}]

(

k

为常数)，且

A B = 0

，求线性方程组

A X = 0

的通解.

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试卷1

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