试卷1-数学组卷-自助组卷

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试卷1

数学

一、单选题（共 27 题），每题只有一个选项正确

1. 设

n

阶方阵

A, B, C

满足关系式

A B C = E

, 其中

E

是

n

阶单位阵, 则必有 ( )

A.

A C B = E

B.

C B A = E

C.

B A C = E

D.

B C A = E

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2. 设

A = (\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{11} & a_{32} + a_{12} & a_{33} + a_{13} \end{array}),

P_{1} = (\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), P_{2} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}),

则必有

A.

A P_{2} P_{1} = B

B.

A P P_{1} = B

C.

P_{2} P_{1} A = B

D.

P_{1} P_{2} A = B

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3. 设

A, B

均为

n

阶矩阵，且

A

与

B

相似，

E

为

n

阶单位矩阵，则

A.

λ E - A = λ E - B

B.

A

与

B

有相同的特征值和特征向量

C.

A

与

B

都相似于一个对角矩阵

D.

对于任意常数

t, t E - A

与

t E - B

相似

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4. 设

A = (\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}) ， B = (\begin{array}{llll} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A

与

B

A.

合同且相似

B.

合同但不相似.

C.

不合同但相似

D.

不合同且不相似.

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5. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，向量

β_{1}

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表出，向量

β_{2}

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表出，则对于任意常数

k

，必有

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}

线性无关

B.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}

线性相关

C.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} + k β_{2}

线性无关

D.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} + k β_{2}

线性相关

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6. 设向量组

I : α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

可由 II :

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性表示, 则

A.

当

r < s

时，向量组 II 必线性相关

B.

当

r > s

时，向量组 II 必线性相关

C.

当

r < s

时，向量组 I 必线性相关

D.

当

r > s

时，向量组 I必线性相关

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7. 设向量组

I : α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

可由向量组 I :

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性表示，则

A.

当

r < s

时，向量组 II 必线性相关

B.

当

r > s

时，向量组 II 必线性相关

C.

当

r < s

时，向量组｜必线性相关

D.

当

r > s

时，向量组 I 必线性相关

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8. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

均为

n

维向量，下列结论不正确的是

A.

若对于任意一组不全为零的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}

，都有

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s} \neq 0

，则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关

B.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性相关，则对于任意一组不全为零的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}

，都有

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s} = 0

C.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为

s

D.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关

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9. 设

A, B

为满足

A B = O

的任意两个非零矩阵，则必有

A.

A

的列向量组线性相关，

B

的行向量组线性相关.

B.

A

的列向量组线性相关，

B

的列向量组线性相关.

C.

A

的行向量组线性相关，

B

的行向量组线性相关.

D.

A

的行向量组线性相关，

B

的列向量组线性相关.

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10. 设

n

阶矩阵

A

与

B

等价，则必有

A.

当

| A | = a (a \neq 0)

时，

| B | = a

B.

当

| A | = a (a \neq 0)

时，

| B | = - a

C.

当

| A | \neq 0

时，

| B | = 0

D.

当

| A | = 0

时，

| B | = 0

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11. 设

λ_{1}, λ_{2}

是矩阵

A

的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

α_{1}, α_{2}

，则

α_{1}, A (α_{1} + α_{2})

线性无关的充分必要条件是

A.

λ_{1} \neq 0

B.

λ_{2} \neq 0

C.

λ_{1} = 0

D.

λ_{2} = 0

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12. 设

λ_{1}, λ_{2}

是矩阵

A

的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

α_{1}, α_{2}

，则

α_{1}, A (α_{1} + α_{2})

线性无关的充分必要条件是

A.

λ_{1} \neq 0

B.

λ_{2} \neq 0

C.

λ_{1} = 0

D.

λ_{2} = 0

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13. 设

λ_{1}, λ_{2}

是矩阵

A

的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

α_{1}, α_{2}

，则

α_{1}, A (α_{1} + α_{2})

线性无关的充分必要条件是

A.

λ_{1} \neq 0

B.

λ_{2} \neq 0

C.

λ_{1} = 0

D.

λ_{2} = 0

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14. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

均为

n

维列向量,

A

是

m \times n

矩阵，下列选项正确的是

A.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性相关，则

A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}

线性相关.

B.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性相关，则

A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}

线性无关.

C.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关，则

A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}

线性相关.

D.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关，则

A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}

转性无关.

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15. 设

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

均为

n

维列向量，

A

是

m > n

矩阵，下列选项正确的是

A.

若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性相关，则

A a, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性相关.

B.

若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性相关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性无关.

C.

若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性无关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性相关.

D.

若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性无关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性无关.

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16. 设

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

均为

n

维列向量，

A

是

m \times n

矩阵，下列选项正确的是( )
(A) 若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性相关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性相关
(B) 若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性相关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性无关
(C) 若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性无关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性相关
(D) 若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性无关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性无关
15、设

A

为三阶矩阵，将

A

的第 2 行加到第 1 行得

B

，再将

B

的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得

C

，记

P = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

，
则

A.

C = P^{- 1} A P

B.

C = P A P^{- 1}

C.

C = P^{T} A P

D.

C = P A P^{T}

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17. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，则下列向量组线性相关的是

A.

α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1}

B.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

C.

α_{1} - 2 α_{2}, α_{2} - 2 α_{3}, α_{3} - 2 α_{1}

D.

α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} + 2 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1}

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18. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array}) ， B = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A

与

B

A.

合同且相似

B.

合同但不相似

C.

不合同但相似.

D.

既不合同，又不相似

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19. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，则下列向量组线性相关的是

A.

α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1}

B.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

C.

α_{1} - 2 α_{2}, α_{2} - 2 α_{3}, α_{3} - 2 α_{1}

D.

α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} + 2 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1}

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20. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array}) ， B = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

, 则

A

与

B

A.

合同且相似

B.

合同但不相似

C.

不合同但相似.

D.

既不合同，又不相似

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21. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，则下列向量组线性相关的是

A.

α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1}

B.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

C.

α_{1} - 2 α_{2}, α_{2} - 2 α_{3}, α_{3} - 2 α_{1}

D.

α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} + 2 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1}

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22. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array}), B = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A

与 $B

A.

合同且相似

B.

合同但不相似

C.

不合同但相似.

D.

既不合同，又不相似

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23. 设

A = (\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array})

，则在实数域上与

A

合同的矩阵为

A.

(\begin{array}{cc} - 2 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array})

B.

(\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array})

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24. 设向量组 I :

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

可由向量组 II :

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性表示，下列命题正确的是

A.

若向量组 I线性无关，则

r \leq s

B.

若向量组 I线性相关，则

r > s

C.

若向量组 II 线性无关，则

r \leq s

D.

若向量组 II 线性相关，则

r > s

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25. 设向量组 I :

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

可由向量组 II :

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性表示，下列命题正确的是

A.

若向量组 I 线性无关，则

r \leq s

B.

若向量组 I 线性相关，则

r > s

C.

若向量组 II 线性无关，则

r \leq s

D.

若向量组 II 线性相关，则

r > s

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26. 设

A

为 4 阶实对称矩阵，且

A^{2} + A = O

，若

A

的秩为 3，则

A

相似于

A.

(\begin{array}{llll} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{llll} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

C.

(\begin{array}{cccc} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

D.

(\begin{array}{cccc} - 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

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27. 设

A

为 3 阶矩阵，将

A

的第 2 列加到第 1 列得矩阵

B

，再交换

B

的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记

P_{1} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

，

P_{2} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

, 则

A = ()

A.

P_{1} P_{2}

B.

P_{1}^{- 1} P_{2}

C.

P_{2} P_{1}

D.

P_{2} P_{1}^{- 1}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

28. 已知四阶矩阵

A

相似于

B : A

的特征值

2, 3, 4, 5 . E

为四阶单位矩阵，则

| B - E | =

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29. 设三阶矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \end{array})

, 三维列向量

α = (a, 1, 1)^{T}

已知

A α

与

α

线性相关，则

a =

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30. 设行向量组

(2, 1, 1, 1) ， (2, 1, a, a) ， (3, 2, 1, a) ， (4, 3, 2, 1)

线性相关，且

a \neq 1

，则

a =

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31. 设

α, β

为 3 维列向量，

β^{T}

为

β

的转置，若矩阵

α β^{T}

相似于

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

, 则

β^{T} α =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

32. 设矩阵

A

和

B

相似，且

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 4 & - 2 \\ - 3 & - 3 & a \end{array}), B = (\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{array}),

(1) 求

a, b

的值;
(2) 求可逆矩阵

P

，使

P^{- 1} A P = B

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33. 设

A, B

为同阶矩阵，
(1) 如果

A, B

相似，试证

A, B

的特征多项式相等;
(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;
(3) 当

A, B

均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.

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34. 确定常数

a

, 使向量组

α_{1} = (1, 1, a)^{T}, α_{2} = (1, a, 1)^{T}

α_{3} = (a, 1, 1)^{T}

可由向量组

β_{1} = (1, 1, a)^{T}, β_{2} = (- 2, a, 4)^{T}

β_{3} = (- 2, a, a)^{T}

线性表示，但向量组

β_{1}, β_{2}, β_{3}

不能由向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示.

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35. 设 4 维向量组

α_{1} = (1 + a, 1, 1, 1)^{T}, α_{2} = (2, 2 + a, 2, 2)^{T}

α_{3} = (3, 3, 3 + a, 3)^{T}, α_{4} = (4, 4, 4, 4 + a)^{T}

，问

a

为何值时

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性相关? 当

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

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36. 设

A

为 3 阶矩阵，

α_{1}, α_{2}

为

A

的分别属于特征值

- 1, 1

的特征向量，向量

α_{3}

满足

A α_{3} = α_{2} + α_{3}

.
(I) 证明

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关;
(II) 令

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，求

P^{- 1} A P

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37. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 4 & - 2 \end{array}) ， ξ_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

.
(1) 求满足

A ξ_{2} = ξ_{1}, A^{2} ξ_{3} = ξ_{1}

的所有向量

ξ_{2}, ξ_{3}

；
(2) 对(1)中的任意向量

ξ_{2}, ξ_{3}

，证明

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}

线性无关。

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38. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 4 & - 2 \end{array}) ， ξ_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

.
(1) 求满足

A ξ_{2} = ξ_{1}, A^{2} ξ_{3} = ξ_{1}

的所有向量

ξ_{2}, ξ_{3}

；
(2) 对 (I)中的任意向量

ξ_{2}, ξ_{3}

，证明

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}

线性无关。

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39. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 4 & - 2 \end{array}) ， ξ_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

.
(1) 求满足

A ξ_{2} = ξ_{1}, A^{2} ξ_{3} = ξ_{1}

的所有向量

ξ_{2}, ξ_{3}

;
(2) 对(1)中的任意向量

ξ_{2}, ξ_{3}

，证明

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}

线性无关。

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40. 设向量组

α_{1} = (1, 0, 1)^{T} ， α_{2} = (0, 1, 1)^{T} ， α_{3} = (1, 3, 5)^{T}

不能由向量组

β_{1} = (1, 1, 1)^{T}, β_{2} = (1, 2, 3)^{T}, β_{3} = (3, 4, a)^{T}

线性表示.
(1) 求

a

的值;
(2) 将

β_{1}, β_{2}, β_{3}

由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示.

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