一、单选题 （共 27 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵, 则必有 ( )
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A C B}=\boldsymbol{E}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{C B A}=\boldsymbol{E}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{B A C}=\boldsymbol{E}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{B C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$.
设
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right),
$$
$$
\boldsymbol{P}_{1}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right),
$$
则必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{B}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A P} \boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{B}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$.
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则
$\text{A.}$ $\lambda E-A=\lambda E-B$
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 有相同的特征值和特征向量
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 都相似于一个对角矩阵
$\text{D.}$ 对于任意常数 $t, t E-A$ 与 $t E-B$ 相似
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似.
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 不合同且不相似.
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量 $\beta_1$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，向量 $\beta_2$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，则对于任意常数 $k$ ，必有
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, k \beta_1+\beta_2$ 线性无关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, k \beta_1+\beta_2$ 线性相关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性无关
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性相关
设向量组 $\mathrm{I}: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 可由 II : $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 线性表示, 则
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，向量组 II 必线性相关
$\text{B.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 II 必线性相关
$\text{C.}$ 当 $r < s$ 时，向量组 I 必线性相关
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 I必线性相关
设向量组 $\mathrm{I}: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由向量组 I : $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 线性表示，则
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，向量组 II 必线性相关
$\text{B.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 II 必线性相关
$\text{C.}$ 当 $r < s$ 时，向量组｜必线性相关
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 I 必线性相关
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 均为 $n$ 维向量，下列结论不正确的是
$\text{A.}$ 若对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，都有 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s \neq 0$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，都有 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0$.
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 $s$.
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关
设 $A, B$ 为满足 $A B=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{D.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则必有
$\text{A.}$ 当 $|A|=a(a \neq 0)$ 时， $|B|=a$
$\text{B.}$ 当 $|A|=a(a \neq 0)$ 时， $|B|=-a$
$\text{C.}$ 当 $|A| \neq 0$ 时， $|B|=0$
$\text{D.}$ 当 $|A|=0$ 时， $|B|=0$
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, A\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, A\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, A\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 均为 $n$ 维列向量, $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关.
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性无关.
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关.
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 转性无关.
设 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 均为 $n$ 维列向量， $A$ 是 $m>n$ 矩阵，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性相关，则 ${A a}, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性相关.
$\text{B.}$ 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性相关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性无关.
$\text{C.}$ 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性无关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性相关.
$\text{D.}$ 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性无关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性无关.
设 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 均为 $n$ 维列向量， $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是( )
(A) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性相关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性相关
(B) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性相关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性无关
(C) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性无关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性相关
(D) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性无关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性无关
15、设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$
的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ $C=P^T A P$
$\text{D.}$ $C=P A P^T$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，又不相似
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，又不相似
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，又不相似
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $A$ 合同的矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$
设向量组 I : $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 可由向量组 II : $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$线性表示，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 I线性无关，则 $r \leq s$
$\text{B.}$ 若向量组 I线性相关，则 $r>s$
$\text{C.}$ 若向量组 II 线性无关，则 $r \leq s$
$\text{D.}$ 若向量组 II 线性相关，则 $r>s$
设向量组 I : $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 可由向量组 II : $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$线性表示，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 I 线性无关，则 $r \leq s$
$\text{B.}$ 若向量组 I 线性相关，则 $r>s$
$\text{C.}$ 若向量组 II 线性无关，则 $r \leq s$
$\text{D.}$ 若向量组 II 线性相关，则 $r>s$
设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $A^2+A=O$ ，若 $A$ 的秩为 3，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cccc}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cccc}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $B$ ，再交换 $B$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， $P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $A=(\quad)$
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知四阶矩阵 $A$ 相似于 $B: A$ 的特征值 $2,3,4,5 . E$ 为四阶单位矩阵，则 $|B-\boldsymbol{E}|=$
设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$, 三维列向量 $\alpha=(a, 1,1)^T$
已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $a=$
设行向量组 $(2,1,1,1) ，(2,1, a, a) ，(3,2,1, a) ，(4,3,2,1)$线性相关，且 $a \neq 1$ ，则 $a=$
设 $\alpha, \beta$ 为 3 维列向量， $\beta^T$ 为 $\beta$ 的转置，若矩阵 $\alpha \beta^T$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $\beta^T \alpha=$
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，且
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
2 & 4 & -2 \\
-3 & -3 & a
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & b
\end{array}\right),
$$
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=B$.
设 $A, B$ 为同阶矩阵，
(1) 如果 $A, B$ 相似，试证 $A, B$ 的特征多项式相等;
(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;
(3) 当 $A, B$ 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.
确定常数 $a$, 使向量组 $\alpha_1=(1,1, a)^T, \alpha_2=(1, a, 1)^T$, $\alpha_3=(a, 1,1)^T$ 可由向量组 $\beta_1=(1,1, a)^T, \beta_2=(-2, a, 4)^T$, $\beta_3=(-2, a, a)^T$ 线性表示，但向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 不能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.
设 4 维向量组 $\alpha_1=(1+a, 1,1,1)^T, \alpha_2=(2,2+a, 2,2)^T$, $\alpha_3=(3,3,3+a, 3)^T, \alpha_4=(4,4,4,4+a)^T$ ，问 $a$ 为何值时 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关? 当 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1,1$的特征向量，向量 $\alpha_3$ 满足 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$.
(I) 证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关;
(II) 令 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，求 $P^{-1} A P$.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right) ， \xi_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
(1) 求满足 $A \xi_2=\xi_1, A^2 \xi_3=\xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$ ；
(2) 对(1)中的任意向量 $\xi_2, \xi_3$ ，证明 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关。
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right) ， \xi_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
(1) 求满足 $A \xi_2=\xi_1, A^2 \xi_3=\xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$ ；
(2) 对 (I)中的任意向量 $\xi_2, \xi_3$ ，证明 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关。
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right) ， \xi_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
(1) 求满足 $A \xi_2=\xi_1, A^2 \xi_3=\xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$;
(2) 对(1)中的任意向量 $\xi_2, \xi_3$ ，证明 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关。
设向量组 $\alpha_1=(1,0,1)^T ， \alpha_2=(0,1,1)^T ， \quad \alpha_3=(1,3,5)^T$不能由向量组
$$
\beta_1=(1,1,1)^T, \beta_2=(1,2,3)^T, \quad \beta_3=(3,4, a)^T
$$
线性表示.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.