填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right)$, 则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $\varepsilon_2+\varepsilon_3, \varepsilon_3$ 下的矩阵为
设矩阵 $A$ 的初等因子组为 $\lambda^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2, \lambda+1,(\lambda+1)^3$, 则 $A$ 的最小多项式为
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$T \in \mathcal{L}(V)$. 有极分解 $T=S \sqrt{G}$, 其中 $S$ 是等距同构, $G=T^* T$. 证明以下条件等价:
1. $T$ 是正规算子;
2. $G S=S G$;
3. $G$ 的所有特征空间 $E(\lambda, G)$ 都是 $S$-不变的.
设数域 $P$ 上多项式 $f(x)=x^5+x^4+2 x^2+1, g(x)=x^4-x^2+2 x-1$, 求 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式 $(f(x), g(x))$, 以及多项式 $u(x), v(x)$, 使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))$.
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间, 证明: $W$ 的正交补 $W^{\perp}$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间.
记 $V=\mathbb{R}[x]_4$ 为次数小于 4 的实系数一元多项式组成的线性空间, 定义 $V$ 上的映射 $\varphi$ 为 $\varphi(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$.
(1) 求 $\varphi$ 在基 $1, x, x^2, x^3$ 下的矩阵.
(2) 求 $\varphi$ 的特征值与特征向量.