解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将函数 $\frac{1}{(1-x)(2-x)}$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求其成立的区间。
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^n}{(n+1) !}$ 的和函数。
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有连续导数, 且 $f(0)=1, g(0)=0, L$ 为平面上任意简 单光滑闭曲线, 取逆时针方向, $L$ 围成的平面区域为 $D$, 已知
$$
\oint_L x y d x+[y f(x)+g(x)] d y=\iint_D y g(x) d \sigma,
$$
求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。
证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>\frac{2-\sqrt{2}}{2 \sqrt{\pi}}$.
设三角形的三个内角分别为 $A, B, C$ ，求$3 \cos A+4 \cos B+6 \cos C$的最大值.