一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>0$.
(1)方程 $x y+e^{y^2}-x=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$, 求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程.
(2) 求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-6 y=x e^{-2 x}$ 的通解.
(I) 证明: 方程 $x=1+2 \ln x$ 在 $(e,+\infty)$ 内有唯一实根 $\xi$;
(II) 取 $x_0 \in(e, \xi)$, 令 $x_n=1+2 \ln x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi$.
设 $x_1>0$, 数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=\ln \left(\mathrm{e}^{x_n}-1\right)-\ln x_n$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求值.
数列 $x_n=n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=$
数列极限 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$
(I) 设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上单调减少且非负的连续函数. 证明:
$$
f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leqslant f(k)(k=1,2, \cdots)
$$
(II) 证明 : $\ln (1+n) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \leqslant 1+\ln n$, 并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}$.
设 $f(x)=a+b x+c x^2+d x^3-\tan x$, 当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小, 则 $a+b+c+d=$
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} \frac{x y z}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\Omega$ 是由曲面 $\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=2 x y$ 围成的区域在第一卦 限部分.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微， $f(0)=0$ ，且 存在常数 $A>0$, 使得 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq A|f(x)|$ 在 $[0,+\infty)$ 上成 立，试证明在 $(0,+\infty)$ 上有 $f(x) \equiv 0$.
计算积分
$$
I=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_0^\pi e^{\sin \theta(\cos \phi-\sin \phi)} \sin \theta \mathrm{d} \theta
$$
设 $f(x)$ 是仅有正实根的多项式函数，满足
$$
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n
$$
证明: $c_n>0(n \geq 0)$, 极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}}$ 存在，且等于 $f(x)$ 的最小根.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上具有连续导数，满 足 $3\left[3+f^2(x)\right] f^{\prime}(x)=2\left[1+f^2(x)\right]^2 e^{-x^2}$ ，且 $f(0) \leq 1$. 证明：存在常数 $M>0$ ，使得 $x \in[0,+\infty)$ 时，恒有 $|f(x)| \leq M$
已知曲线型构件 $L:\left\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2, \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ 的线密度为 $\rho=\left|x^2+x-y^2-y\right|$, 求 $L$ 的质量.
已知 $f(x)=x^3+\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^x z+x y z+\frac{1}{2} z^2-1=0$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性; 若收敛, 指出是绝对收敛还是条件收敛.
求微分方程 $\tan x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=5$ 的通解.
求 $\int_0^3(x+1) \ln \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x$.
计算 $I=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^1 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域及和函数.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=10 \sin x$ 的通解.
设某厂生产甲、乙两种产品, 其销售单价分别为 10 万元、 9 万元。若生产 $x$ 件甲 种产品和 $y$ 件乙种产品的总成本为 $C(x, y)=400+2 x+3 y+0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right)$ 万元。 又已知两种产品的总产量为 100 件, 问两种产品的产量各为多少时, 企业利润最大?
经过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线,该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D. 求：（1）D 的面积; (2) $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$, 试证存在 $\xi \in(0,1)$, 使 $f(\xi)+\xi^{\prime}(\xi)=0$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{\ln ^2(1+x)}}$.
设曲线 $y=y(x)$ 由参数方程 $x=t \ln t, y=\frac{\ln t}{t}\left(t>\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 给出, 求:
(I) $y=y(x)$ 的单调区间和极值、凹凸区间和拐点；
(II) 由曲线 $y=y(x)$, 直线 $x=-\frac{1}{\mathrm{e}}, x=\mathrm{e}$ 及 $x$ 轴所围成平面区域的面积.
( I ) 设 $f(x, y, z)$ 是连续函数, 当 $t \rightarrow 0^{+}$时, $I(t)=\iiint_{x^2+y^2+z^2 t^2} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 是 否为无穷小量?如果是, 指出它的阶.
(II) 曲线 $C$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ x^2+y^2=x,\end{array} z>0\right.$, 从上往下看 $C$ 的方向是顺时针的, 求向 量场 $\boldsymbol{A}=y^2 \boldsymbol{i}+z^2 \boldsymbol{j}+x^2 \boldsymbol{k}$ 沿 $C$ 的环量.
设 $f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$, 求 $f^{(n)}(x)$, 并证明 $\sum_{n=1} \frac{n !}{f^{(n)}(0)}$ 收敛