一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \dfrac{n t^{n-1}}{1+\mathrm{e}^{x t}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^2$.
$\text{B.}$ $1+e$
$\text{C.}$ $\ln (1+e)$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
设 $I_1=\int_0^\pi \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x, I_2=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x, I_3=\int_\pi^{2 \pi} \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.
$I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln 1+x}{1+\cos x} d x, I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
已知 $\int_0^1\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=1, f(1)=0$, 则 $f(0)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数 $t$ ，有 $\int_t^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 证明 $G(x)=\int_0^x\left[2 f(t)-\int_t^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周 期函数.
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足
$$
f(x)=f(x-\pi)+\sin x ，
$$
且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，计算 $I=\int_\pi^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$.
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{x} \int_x^{x+1} \frac{\sin t}{\sqrt{t+\cos t}} \mathrm{~d} t$.
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x+\cos x)^2} d x=$
$\int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta$, 其中实数 $a>1$;
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=1+\arctan (x y)$ 所决定, 则 $y^{\prime}(0)=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)=e^{-x}$; 求 $\int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} d x$
解方程 $y^{\prime}-\frac{2}{x} y=2 x^2$
设有三角形闸板, 两直角边的和为 $l$. 将其竖直放人水中, 使一直角边与水面重合, 另一直角边垂直向下.问当两直角边成何比例时, 三角形闸板承受水压力最大? 设水的密度为 $1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$,求出其最大压力.
计算不定积分: $\int \frac{2 x^2+1}{x^2\left(x^2+1\right)} d x$ 。
计算定积分: $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{25 e^{2 x}-16}} d x$ 。
设 $f(x)$ 二阶可导, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f(1)=1$, 证明 : 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)-2 f^{\prime}(\xi)=-2 \text {. }
$$
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{\sqrt{t}}-1\right) d t}{x^2 \ln (1+3 x)}$ 。
设 $a_n=n \int_0^{\frac{n+1}{n}} \frac{x^{n-1}}{1+x^n} d x$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 。
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} d t$, 求 $\int_0^\pi f(x) d x$ 。
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的可导函数, 且满足: $0 < f(x) < 1$, 试证:
(1) 至少存在一点 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=\xi^{2019}$;
（2）至少存在一点 $\eta \in(0,1)$, 使得 $3 f(\eta)+\eta f^{\prime}(\eta)=2022 \eta^{2019}$ 。
设 $\int_0^2 f(x) d x=1, f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$, 求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) d x$
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\int_0^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^2\right) d t}{x^{\frac{5}{2}}}$
设 $f(x)$ 是可导函数, 且 $f(x) \cos x+2 \int_0^x f(t) \sin t \mathrm{~d} t=x+1$, 求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的正值连续函数, 试证: 存在唯一的 $\xi \in(a, b)$, 使得:
$$
\int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\xi}^b f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$