单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
设三个积分分别为
$$
\begin{gathered}
\mathrm{M}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, \\
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, \\
P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x,
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ ${N} < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < 1$
设反常积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{x|\ln x|^a \cos ^b 2 x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则
$\text{A.}$ $a < 1, b < 1$.
$\text{B.}$ $a < 1, b>1$.
$\text{C.}$ $a>1, b < 1$.
$\text{D.}$ $a>1, b>1$.
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，且
$$
|f(x)| \leq 1, f^{\prime}(x)>0, x \in(-\infty,+\infty),
$$
证明：对于 $0 < \alpha < \beta$ ，成立
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_\alpha^\beta f^{\prime}\left(n x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=0
$$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t ，
$$
试证: (1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；
(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减.
$\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1 \frac{\arctan x}{x^5} \mathrm{~d} x=$