一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
设三个积分分别为
$$
\begin{gathered}
\mathrm{M}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, \\
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, \\
P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x,
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ ${N} < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < 1$
设反常积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{x|\ln x|^a \cos ^b 2 x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则
$\text{A.}$ $a < 1, b < 1$.
$\text{B.}$ $a < 1, b>1$.
$\text{C.}$ $a>1, b < 1$.
$\text{D.}$ $a>1, b>1$.
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，且
$$
|f(x)| \leq 1, f^{\prime}(x)>0, x \in(-\infty,+\infty),
$$
证明：对于 $0 < \alpha < \beta$ ，成立
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_\alpha^\beta f^{\prime}\left(n x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=0
$$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t ，
$$
试证: (1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；
(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减.
$\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1 \frac{\arctan x}{x^5} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x+\cos x)^2} d x=$
设 $f(x)$ 连续且 $f(x+2)-f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ， 则
$$
\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=
$$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+x^2, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0\end{array}\right.$, 则 $\int_1^3 f(x-2) d x=$
$\int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta$, 其中实数 $a>1$;
计算 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y=$
可微函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 且 $f(0)=1$, 则 $f(x)=$
求 $\int_{-1}^1\left(2 x+\sqrt{1-x^2}\right)^2 d x$
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算不定积分 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)=e^{-x}$; 求 $\int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} d x$
设 $f(x)$ 二阶可导并且 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x), f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right]$ 。
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2+k}-\frac{n}{3}\right]$.
设 $n$ 为给定的正整数， $[x]$ 表示 $x$ 的取整， $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \mathrm{~d} t=-\frac{1}{2} \pi \ln 2$. 计算
$$
I=\int_0^1[n x] \cdot \frac{\ln x+\ln (1-x)}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x .
$$
设 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^n \ln x$, 计算 $\int_0^1 f(x) d x$
求函数 $f(x)=\frac{2 x \sin \theta}{1-2 x \cos \theta+x^2}$ 在 $x=0$ 的泰勒展开。其中 $\theta$ 是常数. 并计算积分 $\int_0^\pi \ln \left(1-2 x \cos \theta+x^2\right) d \theta$.
证明 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}$, 并计算 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2(x y)}{x^2} d x$ 。
设函数 $f(x)$ 于 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足
$$
f(x)=\frac{1}{x^2+\left(\int_0^x f(t) d t+\sqrt{3}\right)^2},
$$
(1) 证明: 反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) d x$ 收玫, 且其值小于 $\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}$;
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=\int_0^{x_n} f(t) d t, n \geq 1, x_1 \geq 0$, 试证: $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n$ 存在且有限。
计算积分
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4 s}} s^{-\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-s} \mathrm{~d} s
$$
求解以下问题
(1). 证明方程 $(x+1)^{x+1}=\mathrm{e} \cdot x^x$ 只有唯一正实根
(2). 若 $f(x)$ 二阶可导, $p(x)=x-x^2$，证明：
$$
\int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f(k+1)+f(k)}{2}-\int_k^{k+1} f^{\prime \prime}(x)p(x-[x])dx
$$
其中 $[x]$ 为取整函数.
(3) 若 $\beta$ 为(1)中方程的正实根，计算
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\beta+\frac{1}{n}\right)\left(\beta+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(\beta+\frac{n}{n}\right)
$$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\int_0^x \mathrm{e}^{-t} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln ^2(1+x)^0}-\frac{1}{x}\right]$.
计算 $I=\int \dfrac{e^{-\sin x} \sin 2 x}{\sin ^4\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)} \mathrm{d} x$
求积分 $\int_1^{+x} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1+x^5+x^{10}}}$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数且 $f(0)=0$. 求证:
$\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \leqslant 4 \int_0^1(1-x)^2\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x,$
并求使上式成为等式的 $f(x)$.
计算积分 $\int_0^1 \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.